非均質(zhì)地基淺埋水平條形錨板承載力上限分析

黃明華，胡 倩，黃炎杰，趙明華

(湖南大學(xué)巖土工程研究所，湖南 長沙 410082)

非均質(zhì)地基淺埋水平條形錨板承載力上限分析

黃明華，胡 倩，黃炎杰，趙明華

(湖南大學(xué)巖土工程研究所，湖南 長沙 410082)

考慮地基土體的非均質(zhì)特性，采用非線性Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則及其關(guān)聯(lián)流動法則構(gòu)造了淺埋水平條形錨板的曲線型破裂機制與機動許可速度場，根據(jù)極限分析上限定理推導(dǎo)了條形錨板抗拔承載力的表達式。利用變分極值原理求得了錨板抗拔承載力及其上方土體破裂面的上限解，分析了錨板埋深、土體非均質(zhì)和非線性強度特性對錨板抗拔承載特性的影響，并將該上限解與已有計算方法進行了對比。結(jié)果表明：錨板埋深、土體非均質(zhì)和非線性強度特性對其抗拔承載力與破裂面特征具有明顯的影響。錨板埋深和土體非均質(zhì)系數(shù)越大以及土體非線性強度系數(shù)越小，錨板抗拔承載力和土體破裂面深度、寬度均是越大。該上限解與極限平衡和極限分析有限元方法的計算結(jié)果基本一致，驗證了所采用的曲線型破裂機制和地基非均質(zhì)變化規(guī)律有效性，為條形錨板設(shè)計提供了一定的參考。

條形錨板；非均質(zhì)地基；上限分析；抗拔承載特性；非線性強度準(zhǔn)則

錨板可以提供抗拔承載力來維持上部結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定，在高層結(jié)構(gòu)抗傾覆、地下結(jié)構(gòu)抗浮、輸電線塔/通訊塔底座基礎(chǔ)以及邊坡?lián)跬翂Φ却罅繋r土工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。在工程設(shè)計中，錨板的抗拔承載特性是設(shè)計和研究人員最為關(guān)注的核心問題。近年來，針對典型的淺埋水平條形錨板，國內(nèi)外學(xué)者對其極限承載力與土體破裂機制展開了較為系統(tǒng)的研究：茜平一等[1]根據(jù)試驗觀察結(jié)果，分析了淺埋錨板周邊土體的破壞特征。何思明[2]研究了條形錨板的抗拔破裂面形狀。Gunn[3]提出了錨板上方土體的三變量塊體破壞機制，給出了計算抗拔承載力的優(yōu)化方法，同時借鑒圓環(huán)受力的彈塑性分析方法建立了錨板抗拔承載力的下限解答。Meyerhof等[4]結(jié)合模型試驗，對地基中錨板的破裂面進行了簡化，其假定破裂面在錨板邊緣與豎直方向的夾角為φ/3～2φ/3(φ為土體內(nèi)摩擦角)，并根據(jù)破壞體豎向力的平衡，推導(dǎo)了錨板抗拔承載力解答。Murray等[5]對砂土中錨板抗拔承載性能進行了研究，并結(jié)合極限平衡和極限分析方法給出了錨板承載力的上限解答。Yu[6]采用空腔膨脹理論計算錨板上方土體的塑性區(qū)，并根據(jù)塑性區(qū)的發(fā)展規(guī)律獲得了錨板的抗拔承載力。王洪濤等[7]、黃阜等[8]采用上限分析與變分極值原理研究了非線性強度準(zhǔn)則及其關(guān)聯(lián)流動法則條件下土質(zhì)或巖質(zhì)地基淺埋條形錨板的抗拔承載特性。Merifield等[9]基于極限分析有限元法分析了黏土地基中傾斜淺埋錨板的抗拔承載特性。Saran等[10]基于錨板上方土體的斜線型破裂機制，考慮土體強度隨深度逐漸發(fā)揮的特性，利用破裂體豎向力的平衡建立了錨板極限抗拔荷載的解析表達式。Wang等[11]基于三維彈塑性有限元方法，研究了飽和均質(zhì)地基中條形錨板的抗拔承載系數(shù)與埋深率之間的關(guān)系。Singh等[12]對黏土地基淺埋錨板抗拔承載力的不同計算方法進行了對比分析。上述研究在淺埋錨板抗拔承載力計算和破裂機制刻畫方面均獲得了一些有益成果，為錨板設(shè)計與工程應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。但不足的是，目前大部分研究均將地基土體視為均質(zhì)介質(zhì)，很少涉及非均質(zhì)地基淺埋錨板抗拔承載特性的研究。

然而，在積壓和附加荷載等因素的長期作用下，地基土體通常呈現(xiàn)出明顯的非均質(zhì)特性[13～14]，其對淺埋錨板的抗拔承載特性往往具有很大的影響。目前，Merifield等[15]、劉嘉等[16]、Tho等[17]以及Wu等[18]利用極限分析有限元法和彈塑性有限元法便于分析復(fù)雜對象和工況的優(yōu)點，對飽和非均質(zhì)地基中淺埋錨板的抗拔承載特性進行了一些探討。但是，極限分析有限元法或者彈塑性有限元法的計算網(wǎng)格密度和模型參數(shù)對結(jié)果均有較大影響，同時建模和分析過程相對復(fù)雜、計算量大，不便于在實際工程中進行推廣應(yīng)用。極限分析上限法從能量角度出發(fā)，通過構(gòu)建機動許可速度場將復(fù)雜的力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為功能關(guān)系，以實現(xiàn)具體工程問題的求解，該方法規(guī)避了繁瑣的力學(xué)推演計算，便于應(yīng)用與推廣。鑒于此，本文擬采用該方法對非均質(zhì)地基淺埋條形錨板的抗拔承載特性進行研究。具體思路為：首先，基于非線性Mohr-Coulomb(MC)強度準(zhǔn)則及其關(guān)聯(lián)流動法則，構(gòu)造錨板上方土體在極限狀態(tài)下的破裂機制與機動許可速度場；其次，根據(jù)極限分析上限法，采用變分極值原理推導(dǎo)錨板抗拔承載力及其上方土體破裂面的上限解；最后，通過對比分析驗證該上限解答的有效性，探討錨板埋深以及土體非均質(zhì)和非線性強度特性對錨板抗拔承載力和土體破裂面特征的影響，以期為錨板設(shè)計提供一定參考。

1 土體的破裂機制與基本假設(shè)

對于非均質(zhì)地基中淺埋水平條形錨板，在構(gòu)建其上方土體的破裂機制時，做出如下基本假設(shè)：

①錨板為剛性體，其上方土體為理想剛塑性體且呈現(xiàn)整體破壞，即土體破裂面延伸至地表。同時，錨板與其上方土體之間不產(chǎn)生相對滑動，錨板拉桿及底面與土體間吸力可以忽略不計。借鑒文獻[7～8]研究成果，構(gòu)造出錨板上方土體在極限狀態(tài)下的曲線型破裂機制，如圖1所示。其中，錨板寬度為B(=2b)、埋深為H、破壞體在地表的寬度為2a、土體破裂面方程為待求函數(shù)f(z)。

圖1 非均質(zhì)地基淺埋水平條形錨板破裂機制Fig.1 Failure mechanism of the shallow horizontal strip anchor plate in heterogeneous soil

②錨板上方土體強度特性遵循非線性MC強度準(zhǔn)則及其關(guān)聯(lián)流動法則，即其屈服函數(shù)F和塑性勢函數(shù)δ可表示為[19～20]：

式中：τn，σn——土體達到破壞時的剪應(yīng)力與正應(yīng)力；

c，σt——土體的初始黏聚力和單軸抗拉強度，二者滿足c0≥0和σt≥0；

m——土體的非線性強度系數(shù)。

其中，1≤m≤2：m≥1保證莫爾強度包線是外凸的；當(dāng)mgt;2時，莫爾強度包線的曲率半徑小于莫爾圓的半徑，二者將有兩個交點，不滿足莫爾強度包線的定義[21～22]。

③錨板上方土體強度隨深度呈線性變化。對于服從非線性MC準(zhǔn)則的非均質(zhì)巖土材料，文獻[19]認(rèn)為初始黏聚力c是非均質(zhì)的，而單軸抗拉強度σt和非線性強度系數(shù)m則是均質(zhì)的。非均質(zhì)地基土體的初始黏聚力c(z)為[19～20]：

式中：c0——地表的初始黏聚力；

λ——非均質(zhì)系數(shù)。

2 錨板抗拔承載力上限分析

根據(jù)極限分析上限定理，如果錨板上方土體任意破裂機制下，上拔荷載、上方土體自重等外力的做功功率超過了土體破裂面的內(nèi)能耗損率，則上方土體不可能承受所施加的荷載。因此，通過計算破裂面上的內(nèi)能耗損率和外力做功功率，建立功率平衡方程，可以獲得錨板上拔荷載的上限解，且其值必定大于或等于實際極限荷載[23～24]。

2.1破裂機構(gòu)內(nèi)能耗損率

聯(lián)立式(3)和式(4)，得到破裂面的法向應(yīng)力σn為：

式中：s——f(z)在區(qū)間[0,H]上的長度。

2.2外力做功功率

2.3抗拔承載力上限分析

根據(jù)虛功功率原理，錨板上方土體破裂面的內(nèi)能耗損功率應(yīng)等于其所受外力的做功功率，即：

將式(7)～(9)代入式(10)中，得到非均質(zhì)地基淺埋水平條形錨板的抗拔承載力Qu為：

式中，Λ(·)為一泛函，具體表達式為：

根據(jù)極限分析上限定理，對于滿足機動許可的任意速度場，式(11)確定的荷載應(yīng)大于或等于錨板的真實極限上拔荷載，即真實速度場所確定的荷載必須為最小的。因此，必須尋求式(11)在對應(yīng)區(qū)間上的最小值，才能更接近錨板的真實抗拔承載力。這里，式(11)中的Qu由積分型泛函Λ(·)所確定，根據(jù)變分極值條件，得到：

將式(12)代入式(13)，整理得到：

上述方程為含有變系數(shù)c(z)的二階線性齊次微分方程。對該方程進行兩次積分，得到：

式中：A1，A2——積分常數(shù)，由邊界條件確定。

由于地表沒有受到切向力的作用，可在地表土體破裂處選取微元體進行受力分析。根據(jù)該微元體在x方向的受力平衡條件，可得：

其中，θ=arctan[f′(H)]。將地表土體破裂處的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力代入式(16)，可以求得：

同時，由圖1可知，錨板上方土體破裂面在z=0時滿足幾何邊界條件：

將式(15)和(17)代入式(18)，求得：

將式(17)和(19)代入式(15)中，整理得到極限狀態(tài)下非均質(zhì)地基淺埋水平條形錨板的破裂面方程為：

將式(20)代入式(11)中，得到錨板的抗拔承載力Qu為：

當(dāng)λ=0時，式(21)將退化為均質(zhì)地基中淺埋水平條形錨板的抗拔承載力計算公式，此時該表達式與文獻[7]得到的結(jié)果一致。對于砂土，其服從線性MC強度準(zhǔn)則，式(21)可以改寫為：

式中：φ——表層砂土的內(nèi)摩擦角；

λφ——砂土的非均質(zhì)系數(shù)，描述其內(nèi)摩擦角(密實程度)的變化。

3 方法驗證與參數(shù)分析

3.1對比計算與方法驗證

為驗證本文所建立方法的有效性，表1給出了Meyerhof amp; Adams[4]以及Merifield等[15]所得到的淺埋條形錨板抗拔承載力計算公式。其中，前者是針對均質(zhì)地基錨板抗拔承載特性問題，采用極限平衡方法建立的，可以考慮錨板上方土體自重(Qγ)、破裂面土體黏聚力(Qc)和破裂面摩擦力(Qφ)對抗拔承載力的貢獻；后者是針對飽和黏土地基錨板抗拔承載特性問題，根據(jù)極限分析有限元方法的數(shù)值算例結(jié)果擬合得到的，僅考慮了Qγ和Qc的貢獻。同時，Merifield等[14]對200多個數(shù)值算例的計算結(jié)果進行線性擬合，得到了非均質(zhì)與均質(zhì)飽和黏土地基淺埋條形錨板抗拔承載力的比例關(guān)系：

式中，Ncoλ和Nco分別為非均質(zhì)與均質(zhì)飽和黏土地基中淺埋錨板的抗拔承載力系數(shù)，二者均不計錨板上方土體自重的貢獻?？梢姡?23)僅反映了非均質(zhì)與均質(zhì)地基中淺埋條形錨板承載力Qc項的差異和關(guān)系。這里，為便于比較，對于均質(zhì)地基，根據(jù)Meyerhof amp; Adams[4]的理論公式，對Merifield等[15]的擬合公式增加Qφ項；對于非均質(zhì)地基，認(rèn)為其非均質(zhì)特性對錨板上方土體自重(Qγ)的影響可以忽略，而對破裂面上土體的黏聚力(Qc)和摩擦力(Qφ)則一致，即二者均可以采用比例關(guān)系式(23)來描述。

表1 淺埋條形錨板抗拔承載力計算公式

根據(jù)文獻[12～15]和工程地質(zhì)手冊[24]，取土體重度為18 kN/m3、地表土體黏聚力為20 kPa、土體抗拉強度42 kPa(內(nèi)摩擦角為25.3°)、錨板寬度為1 m、埋深率H/B為1～10、非均質(zhì)系數(shù)為10 kPa/m。根據(jù)上述參數(shù)，采用Meyerhof amp; Adams[4]、Merifield等[15]以及本文方法計算了均質(zhì)和非均質(zhì)地基中淺埋水平條形錨板的抗拔承載力，圖2給出了2種工況下錨板抗拔承載力隨埋深率的變化關(guān)系。

圖2 不同方法計算的淺埋條形錨板抗拔承載力Fig.2 Ultimate bearing capacity of the shallow strip anchor plate using different methods

可以看出，對于均質(zhì)地基，m=1時，本文方法與Meyerhof amp; Adams[4]解答(ku=1)計算得到的錨板抗拔承載力完全相同，二者計算值均為最大；m=1.2時，本文方法與Meyerhof amp; Adams[4]解答(ku=0.75)以及Merifield等解答[15]所得到結(jié)果基本一致；m=2.0時，本文方法計算結(jié)果較其他方法要小，構(gòu)成了錨板抗拔承載力的下界。對于非均質(zhì)地基，Meyerhof amp; Adams[4]解答(ku=1)計算的錨板抗拔承載力最大；本文方法在m=1.0時的計算結(jié)果次之、在m=2.0時的計算結(jié)果最?。籱=1.1時，本文方法計算值與Meyerhof amp; A dams[4]解答(ku=0.75)以及Merifield等解答[15]的計算結(jié)果吻合得很好?？傮w上，本文方法可以計算得到不同非均質(zhì)系數(shù)、非線性強度系數(shù)條件下淺埋錨板抗拔承載力，且計算結(jié)果與Merifield等解答[15]和Meyerhof amp; Adams[4]解答基本一致。由此可見，本文方法所采用的曲線型破裂機制、地基土體非均質(zhì)特性以及推導(dǎo)的抗拔承載力計算方法是可行、有效的。

3.2計算參數(shù)對錨板抗拔承載力的影響

式(21)表明，非均質(zhì)地基中淺埋條形錨板的抗拔承載力受到土體非均質(zhì)與非線性強度特性、土體力學(xué)參數(shù)以及錨板埋置方式等因素的影響。針對均質(zhì)地基淺埋條形錨板，文獻[7～8]較為系統(tǒng)地研究了土(巖)體重度、抗拉強度、初始黏聚力及錨板寬度等因素對其抗拔承載特性的影響。限于篇幅，本文主要分析地基非均質(zhì)系數(shù)、非線性強度系數(shù)以及錨板埋深率對其抗拔承載特性的影響。采取“3.1”中計算參數(shù)，并取非均質(zhì)系數(shù)為0～20 kPa/m、非線性強度系數(shù)1.0～2.0，圖3繪制了埋深率H/B為2，4，6，8和10時錨板的抗拔承載力變化曲線。

圖3 不同計算參數(shù)下淺埋條形錨板抗拔承載力Fig.3 Ultimate bearing capacity of the shallow strip anchor plate using different calculation parameters

可以看出，地基非均質(zhì)和非線性強度特性對淺埋錨板抗拔承載力具有明顯的影響：隨著非均質(zhì)系數(shù)的增大，錨板抗拔承載力呈現(xiàn)線性增加；而隨著非線性強度系數(shù)的增大，錨板抗拔承載力則呈非線性減小。同時，增加淺埋錨板埋深率，可以有效地提高其抗拔承載力；而且，錨板埋深率越大，土體非均質(zhì)和非線性強度特性對其抗拔承載力的影響趨勢也越顯著。

3.3計算參數(shù)對錨板破裂面特征的影響

為進一步分析不同參數(shù)對極限狀態(tài)下錨板上方土體破裂面特征的影響，采取“3.1”中計算參數(shù)，并取錨板埋深率H/B為2，4，6和8、非均質(zhì)系數(shù)為0，5，10，15和20 kPa/m、非線性強度系數(shù)1.0，1.25，1.5，1.75和2.0，圖4根據(jù)式(20)計算給出了淺埋錨板上方土體的破裂面形狀。

圖4 不同計算參數(shù)下淺埋條形錨板破裂面形狀Fig.4 Failure mechanism of the shallow strip anchor plate using different calculation parameters

可以看出，在其他計算參數(shù)保持不變的條件下，錨板上方土體破裂面的深度及其在地表的破裂寬度均隨著埋深率的增大而逐漸增加；同時，土體的非均質(zhì)和非線性強度特性對其破裂面形狀和范圍具有顯著的影響：錨板埋深率相同時，土體非均質(zhì)系數(shù)越大，其破裂寬度也越大；但是，隨著土體非線性強度系數(shù)的增加，其破裂面寬度則越??；此外，非均質(zhì)系數(shù)為零(均質(zhì)地基)或非線性強度系數(shù)為2(服從拋物線型強度準(zhǔn)則)時，錨板上方土體的破裂面呈兩側(cè)對稱的喇叭型(即內(nèi)凸型，圖4中僅給出其右側(cè)部分)，其與文獻[1～2]的研究結(jié)論一致；但是，隨著非均質(zhì)系數(shù)的增大和非線性強度系數(shù)的減小，土體破裂面的形狀逐漸由喇叭形(內(nèi)凸)演變?yōu)橥霠钚?外凸)，且在相同深度處，其破裂寬度也隨之增加。由此可見，錨板埋深對其土體破裂面的范圍(深度和寬度)影響顯著，而地基非均質(zhì)和非線性強度特性則對其破裂面的范圍以及形狀均明顯的影響。

4 結(jié)論

(1)考慮地基土體的非均質(zhì)特性，基于非線性MC強度準(zhǔn)則及其關(guān)聯(lián)流動法則，構(gòu)造了淺埋水平條形錨板的曲線型破裂面與機動許可速度場，采用極限分析上限法和變分極值原理推導(dǎo)了錨板抗拔承載力及其上方土體破裂面的上限解。

(2)分析了錨板埋深、土體非均質(zhì)和非線性強度特性對錨板抗拔承載力和土體破裂面特征的影響。結(jié)果表明：隨著錨板埋深和土體非均質(zhì)系數(shù)的增大以及非線性強度系數(shù)的減小，錨板抗拔承載力逐漸增加；土體破裂面的深度和寬度受到錨板埋深及土體非均質(zhì)和非線性強度特性的影響，同時其形狀受到土體非均質(zhì)和非線性強度特性的影響。

(3)將本文方法與已有極限平衡和極限分析有限元方法進行了比較，所得計算結(jié)果與已有研究基本一致，驗證了方法的有效性。但是土體強度參數(shù)、破裂機制等的影響因素眾多，本文方法的工程適用性和參數(shù)確定方法仍需進一步研究。

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責(zé)任編輯

：張明霞

Upperboundanalysisofthepulloutcapacityofshallowhorizontalstripanchorplateembeddedinheterogeneoussoils

HUANG Minghua, HU Qian, HUANG Yanjie, ZHAO Minghua

(InstituteofGeotechnicalEngineering,HunanUniversity,Changsha,Hunan410082,China)

Considering the heterogeneity of soils, a kinematic admissible velocity field was constructed to characterize a proposed curve failure mechanism of soils above the shallow strip anchor plate on the basis of the nonlinear Mohr-Coulomb criterion and the associated flow rule. The ultimate pullout force and failure mechanism of the shallow strip anchor plate were derived using the upper bound analysis method and the variation minimum principle. The influences of the embedded depth, heterogeneity and nonlinear strength features on its ultimate pullout force and failure mechanism were discussed, and comparisons between this upper bound solution and the existing solutions were also conducted. The results show that the embedded depth, heterogeneity and nonlinear strength features have obvious effects on the ultimate pullout force and failure mechanism of the shallow strip anchor plate. With the increases in the embedded depth and heterogeneity coefficient as well as the decrease in the nonlinear strength coefficient, the ultimate pullout force of the shallow strip anchor plate increases together with the failure zone (depth and width) of soils. The calculation results of this upper bound solution show good agreements with those of the limit equilibrium method and limit analysis by the finite element method, which shows the effectiveness of this proposed curve failure mechanism and heterogeneity law of soils, and provides some references for the design of shallow strip anchor plates.

strip anchor plate; heterogeneous soils; upper bound analysis; pullout characteristics; nonlinear strength criterion

10.16030/j.cnki.issn.1000-3665.2017.06.06

TU431

A

1000-3665(2017)06-0037-07

2017-04-22;

2017-05-26

國家自然科學(xué)基金項目資助(51508180)；中國博士后科學(xué)基金項目資助(2015M570678)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費項目資助

黃明華(1983-)，男，博士，助理教授，主要從事巖土工程科研與教學(xué)工作。E-mail: hmh666@163.com