基于新閾值函數(shù)的小波閾值去噪算法

盧廣森， 黎 英， 毛 敏

(昆明理工大學 信息工程與自動化學院，云南 昆明 650500)

基于新閾值函數(shù)的小波閾值去噪算法

盧廣森， 黎 英， 毛 敏

(昆明理工大學信息工程與自動化學院，云南昆明650500)

小波基、分解層數(shù)、閾值和閾值函數(shù)是小波閾值去噪的關鍵性因素。針對小波基和分解層數(shù)的確定，提出了一個算法來實現(xiàn)；對于傳統(tǒng)硬、軟閾值函數(shù)的局限性和閾值函數(shù)在臨界閾值處不存在平滑過渡區(qū)的現(xiàn)象，提出了一個參數(shù)化的新閾值函數(shù)，該閾值函數(shù)具有更高階，通過靈活調(diào)節(jié)參數(shù)使之介于硬、軟閾值函數(shù)之間，且兼具硬、軟閾值函數(shù)的優(yōu)點，并在臨界閾值內(nèi)添加平滑過渡區(qū)，可在閾值處理時保留一部分有用的高頻信號，較好地抑制了細節(jié)系數(shù)的過扼殺和信號振蕩現(xiàn)象。仿真結果表明：新閾值函數(shù)提高了去噪信號的信噪比，減小了均方誤差，取得了較好的去噪效果。

小波變換； 去噪； 閾值； 閾值函數(shù)

0 引 言

小波變換在信號去噪領域中有著廣泛的用途。目前，小波去噪方法大致可以分為三類：一是利用小波變換模極大值原理去噪；二是小波系數(shù)相關性去噪；三是小波閾值去噪。由于閾值去噪方法不僅實現(xiàn)簡單，計算量較小，幾乎能夠完全抑制噪聲，并且可以較好地保留能夠反映原始信號的特征尖峰點，因此，小波閾值去噪是工程應用中最常用的信號去噪方法之一。閾值的選取規(guī)則是閾值去噪算法的關鍵。在常用的硬閾值和軟閾值函數(shù)去噪處理中，硬閾值算法可以很好地保留信號邊緣等局部特征，但處理過的小波系數(shù)在閾值處不連續(xù)，在信號重構時容易產(chǎn)生偽吉布斯(Pseudo-Gibbs)現(xiàn)象[1]；軟閾值函數(shù)去噪算法處理相對平滑，但小波估計系數(shù)與含噪聲信號的小波系數(shù)之間總是存在著恒定的偏差，直接影響重構信號和原始信號的逼近程度。為了解決硬閾值和軟閾值存在的問題，學者提出介于硬、軟閾值函數(shù)之間的Garrote閾值函數(shù)、半軟閾值方法等方法[2～4]。文獻[5]中提出的閾值函數(shù)介于硬、軟閾值之間，改變函數(shù)參數(shù)也能夠減小小波估計系數(shù)與含噪聲信號的小波系數(shù)之間的恒定偏差，在整個小波空間域內(nèi)，函數(shù)雖然連續(xù)，但是其高階不可導，在臨界閾值λ處曲線連續(xù)但不是平滑過渡的。

為了解決硬閾值的不連續(xù)性和軟閾值造成的偏差問題，本文在文獻[4]的基礎上作出改進，提出了一個介于硬、軟閾值之間的新閾值函數(shù)，該閾值函數(shù)具有高階可導，且在噪聲(小波系數(shù))與有用信號(小波系數(shù))之間存在一個平滑過渡區(qū)，改善閾值函數(shù)的連續(xù)性，進一步提高了信噪比，減小了均方誤差，獲得更好的去噪效果。

1 小波閾值去噪、閾值及閾值函數(shù)

小波閾值去噪的過程分為對含噪信號進行小波分解，高頻系數(shù)的閾值量化處理和用小波逆變換實現(xiàn)信號重構3個步驟[6,7]。其基本原理如圖1所示。

圖1 小波閾值去噪原理

含噪信號經(jīng)小波分解后，通常信號的系數(shù)要大于噪聲的系數(shù)，選擇一個合適的λ作為臨界閾值，將小于該閾值的分解系數(shù)認為是由噪聲引起的，予以舍棄；而大于該閾值的分解系數(shù)認為主要是由信號引起的，加以保留，即閾值去噪[8]。

針對硬、軟閾值函數(shù)具有一定的局限性，文獻[5]提出了一種改進的閾值函數(shù)1如下

(1)

式中α為正數(shù)。閾值函數(shù)1介于硬閾值和軟閾值之間，通過改變α能夠減小估計小波系數(shù)與含噪信號的小波系數(shù)之間的恒定偏差，且有一定的函數(shù)連續(xù)性。在整個小波空間域內(nèi)，函數(shù)雖然連續(xù)，但是其高階不可導，在臨界閾值λ處曲線連續(xù)但不是平滑過渡的。

2 新閾值函數(shù)的構建

針對硬閾值的不連續(xù)性、軟閾值造成的偏差問題、閾值函數(shù)1不平滑過渡現(xiàn)象，提出了一種新的閾值函數(shù)。

新閾值函數(shù)

(2)

式中k和α為調(diào)節(jié)因子，且k和α為正數(shù)。

新閾值函數(shù)具有以下3個特征：

1)新閾值函數(shù)在定義域(-∞, +∞)內(nèi)是連續(xù)的。

說明：新閾值函數(shù)的這種連續(xù)性，克服了硬閾值函數(shù)在閾值處的不連續(xù)性，同時也避免了因不連續(xù)導致的Pseudo-Gibbs現(xiàn)象。

2)新閾值函數(shù)在(-∞, -λ] 和 [+λ, +∞)定義域內(nèi)的漸近線為硬閾值曲線。

3)新閾值函數(shù)在(-∞, -λ]、 (-λ, +λ)和 [+λ, +∞)定義域內(nèi)高階可導。

證明：新閾值函數(shù)在(-∞, -λ] 、 (-λ, +λ)和 [+λ, +∞)定義域內(nèi)是初等函數(shù)，根據(jù)初等函數(shù)的可導性質，可以知道，新閾值函數(shù)是一個高階可導函數(shù)。

說明：新閾值函數(shù)的高階可導性可以消除振蕩現(xiàn)象，使重構信號顯得平滑。

當k→∞時，新閾值函數(shù)為閾值函數(shù)1，在此條件下，當α→0時，新閾值函數(shù)為軟閾值函數(shù)；當α→∞時，新閾值函數(shù)為硬閾值函數(shù)。因此，通過改變α值，新閾值函數(shù)可以在硬、軟閾值之間靈活變化。新閾值函數(shù)在硬、軟閾值之間，其參數(shù)k必須大于等于1，k決定了小波閾值的逼近程度，調(diào)節(jié)k使新閾值函數(shù)在閾值處理時能夠保留一部分有用信號的高頻部分，較好地抑制細節(jié)系數(shù)的過扼殺和信號振蕩現(xiàn)象。

靈活調(diào)節(jié)k，α，新閾值函數(shù)曲線在硬、軟閾值之間變化，如圖2所示。

圖2 不同k，α值時的新閾值函數(shù)曲線

3 小波基和分解層數(shù)的確定

小波基函數(shù)和分解層數(shù)的確定一定程度上決定去噪效果。分解層數(shù)過多，對各層小波空間系數(shù)進行閾值處理會造成信號的信息丟失嚴重，信噪比下降，且運算量大，處理變慢；分解層數(shù)過少，去噪效果不理想，信噪比不會下降，但是提高不多[12～14]。

對于小波基函數(shù)和分解層數(shù)的確定，提出了一個算法，能夠對待處理的含噪信號進行分析，計算使用不同小波基函數(shù)對于含噪信號處理后的信噪比改善量，得出不同小波基函數(shù)與去噪信噪比改善量的關系，和分解層數(shù)與去噪信噪比改善量的關系，然后選擇合適的小波基函數(shù)和最優(yōu)的分解層數(shù)。

小波基函數(shù)的確定算法具體過程為：提供4種閾值選擇方法(sqtwolog，rigrsure，heursure，minimaxi)，分解層數(shù)(1～10)和3種小波系(dbN，symN，coifN)；利用wden函數(shù)對給出的含噪信號進行去噪；由去噪后的信號和污染信號求出信噪比snr2；然后求差值snr2-snr1(注明：snr1為污染信號和原信號的信噪比)，循環(huán)改變閾值選取方式，分解層數(shù)和小波基函數(shù)，重復以上過程，得到差值矩陣；取差值矩陣每一行差值的最大值，構成新的一行，將構成的新的一行中的最大值賦給相應階數(shù)的小波。過程如圖3所示。

分解層數(shù)的確定算法具體過程為：基于小波基函數(shù)的確定，對污染信號使用wden函數(shù)進行去噪；去噪后得到的信號與原始信號進行信噪比計算得到snr2；求差值snr2-snr1(注明：snr1為污染信號和原信號的信噪比)依次改變分解層數(shù)，循環(huán)以上過程，最后得到一個差值序列；求差值序列中的最大值。過程如圖4所示。

圖3 不同小波基函數(shù)處理后信噪比改善量的流程

圖4 不同分解層數(shù)對信噪比改善量的流程

4 仿真實驗與分析

實驗采用Matlab軟件，選取用于測試小波去噪效果的典型測試數(shù)據(jù)Droppler，bumps信號，對其加入snr=10 dB的高斯白噪聲，分別用傳統(tǒng)的硬、軟閾值和文獻[4]中的閾值函數(shù)以及新閾值函數(shù)進行仿真。對于含噪Droppler信號，利用新算法實現(xiàn)小波基的確定，新算法運行結果：小波基函數(shù)及其信噪比改善量曲線，如圖5所示。根據(jù)圖5分析，本文選擇5 dB小波作為處理含噪信號的小波基函數(shù)。

圖5 不同小波基函數(shù)能達到的最大信噪比改善量

選取5 dB小波作為處理含噪信號的小波基函數(shù)，再利用分解層數(shù)的新算法，改變分解層數(shù)，仿真得由不同分解層數(shù)及其信噪比改善量形成的曲線，如圖6所示。根據(jù)圖6分析，選擇小波分解的層數(shù)是5層。

圖6 不同分解層數(shù)達到的最大信噪比改善量

小波基函數(shù)和分解層數(shù)確定后，對含噪Droppler信號進行小波閾值去噪，去噪后的波形如圖 7所示。和處理Droppler信號的過程一樣，對bumps信號加入SNR=10 dB的高斯白噪聲，利用新算法選擇合適的小波基函數(shù)sym4，利用新算法確定分解層數(shù)為4層，然后對bumps信號進行小波閾值去噪處理。

圖7 Droppler信號去噪效果

含噪bumps信號去噪后的波形如圖 8所示。Droppler信號和bumps信號經(jīng)各閾值函數(shù)處理后的信噪比SNR和均方誤差MSE數(shù)據(jù)如表1和表2所示。

圖8 bumps信號去噪效果

閾值函數(shù)SNR/dBMSE閾值函數(shù)SNR/dBMSE含噪信號10.03220.0085閾值函數(shù)1(α=16)19.24940.0010硬閾值17.62140.0015新閾值函數(shù)(α=16)20.62620.0007軟閾值18.29990.0013閾值函數(shù)1(α=20)19.57750.0009閾值函數(shù)1(α=9)19.22980.0010新閾值函數(shù)(α=20)20.40390.0008新閾值函數(shù)(α=9)20.32540.0008

通過大量仿真實驗，由結果分析如下：

1)含噪的Droppler和bumps信號經(jīng)硬閾值函數(shù)去噪后，波形有一些振蕩點分布，經(jīng)軟閾值函數(shù)去噪后，波形比較光滑。閾值函數(shù)1處理含噪信號后波形沒有明顯的振蕩點且光滑，新閾值函數(shù)比閾值函數(shù)1處理后的波形更加光滑，沒有附加振蕩。同時對比信噪比和均方誤差指標，新閾值函數(shù)比閾值函數(shù)1提高了SNR，同時進一步減小了MSE。研究表明：可以用SNR數(shù)值較大和MSE數(shù)值較小者作為評價去噪效果較好的規(guī)則。因此，無論從波形直觀上或者從指標客觀上均說明了新閾值函數(shù)去噪效果優(yōu)于硬、軟閾值和閾值函數(shù)1。

表2 各閾值函數(shù)對bumps信號去噪后的信噪比和均方誤差

2)調(diào)節(jié)α值，使新閾值函數(shù)可以在硬、軟閾值之間靈活變化。調(diào)節(jié)k值使新閾值函數(shù)在閾值處理時能夠保留一部分有用信號的高頻部分，較好地抑制細節(jié)系數(shù)的過扼殺和信號振蕩現(xiàn)象。對于文中的含噪信號，當k=1時取得了較好去噪的效果。

3)對于小波基函數(shù)和分解層數(shù)的確定，提出的新算法起到了重要的作用。小波變換前的這種預處理計算速度快，同時算法簡單，為去噪提供最佳的選擇產(chǎn)生更優(yōu)的效果。

5 結 論

針對硬閾值的不連續(xù)性、軟閾值造成的偏差問題，提出了一種更高階、平滑過渡的新閾值函數(shù)。仿真結果表明：相比于硬、軟閾值函數(shù)和文獻[6]提出的閾值函數(shù)1，新閾值函數(shù)在臨界閾值內(nèi)添加平滑過渡區(qū)，可在閾值處理時保留一部分有用的高頻信號，較好地抑制了細節(jié)系數(shù)的過扼殺和信號振蕩現(xiàn)象，進一步提高了去噪信號的信噪比，減小均方誤差，獲得較好的去噪效果。同時，針對具體的含噪信號，可以靈活調(diào)節(jié)閾值函數(shù)的k和α參數(shù)，滿足不同信號處理的去噪要求，具有很高的實用價值。在仿真實驗過程中，提出了一個新算法，完成小波基函數(shù)和分解層數(shù)的確定。針對具體的含噪信號，如何自動調(diào)整閾值函數(shù)的k和α參數(shù)，確定適合的小波基函數(shù)和分解層數(shù)，獲得最佳的去噪效果，成為下一個研究目標。

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Waveletthresholdde-noisingalgorithmbasedonnewthresholdfunction

LU Guang-sen, LI Ying, MAO Min

(CollegeofInformationEngineeringandAutomation,KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming650500,China)

The wavelet basis,decomposition levels,threshold and threshold function are the key factors of wavelet threshold de-noising.An algorithm is proposed to realize the determination of wavelet basis and decomposition levels.Aiming at limitations of the traditional hard and soft threshold function and the phenomenon of no smooth transition in the critical threshold,the new parameterized threshold function is proposed.This new threshold function has higher order,with a smooth transition at a critical threshold,making it between hard and soft threshold functions through flexibly adjust parameters and possessing the advantages of both hard and soft threshold function.What’s more,it could retain part of some useful high frequency signal in threshold processing and effectively suppress the stifle of detail coefficients and the phenomenon of signal oscillation.Simulation results show that new threshold function improves the SNR of signal,reduces the MSE and obtains a better de-noising effect.

wavelet transform; de-noising; threshold; threshold function

10.13873/J.1000—9787(2017)12—0141—04

TN 911.7

A

1000—9787(2017)12—0141—04

2016—09—02

盧廣森(1988-)，男，碩士研究生，主要研究方向為小波分析信號去噪。黎 英(1962-)，男，通訊作者，教授，主要從事電力電子技術及運動控制、嵌入式系統(tǒng)開發(fā)及其應用等方面的研究工作。