基于單自由度共振反應(yīng)的模態(tài)質(zhì)量計(jì)算方法

黃國(guó)平，侯蘇偉，王新忠

(1. 湖南城市學(xué)院 土木工程學(xué)院，湖南 益陽(yáng) 413000；2. 北京建筑大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院，北京 102616)

基于單自由度共振反應(yīng)的模態(tài)質(zhì)量計(jì)算方法

黃國(guó)平1，侯蘇偉2，王新忠1

(1. 湖南城市學(xué)院 土木工程學(xué)院，湖南 益陽(yáng) 413000；2. 北京建筑大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院，北京 102616)

基于單自由度在簡(jiǎn)諧荷載下的共振響應(yīng)結(jié)果反算單質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量的思想，提出一種計(jì)算多自由度結(jié)構(gòu)體系模態(tài)質(zhì)量的方法，并利用MIDAS有限元軟件求得模型模態(tài)質(zhì)量，解決若干有限元軟件不能直接提取模態(tài)質(zhì)量的問(wèn)題.模態(tài)質(zhì)量原始公式計(jì)算結(jié)果與仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比分析表明，該方法計(jì)算數(shù)值誤差均小于5%，計(jì)算結(jié)果可以滿足計(jì)算精度要求.

單自由度；共振響應(yīng)；模態(tài)質(zhì)量；有限元軟件

多自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)微分方程是一組二階常系數(shù)線性非齊次微分方程組，在物理坐標(biāo)系下，質(zhì)量矩陣、剛度矩陣等均不可避免地會(huì)出現(xiàn)相互耦合，導(dǎo)致求解方程組較為復(fù)雜。通常的做法是對(duì)方程組進(jìn)行解耦，亦即在振型坐標(biāo)系下借助振型的正交特性使得質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)換為對(duì)角矩陣，將多自由度系統(tǒng)解耦成為多個(gè)單自由度系統(tǒng)，由此方程求解大為簡(jiǎn)化，該方法所謂振型分解法或振型疊加法[1-2]。得到的對(duì)角矩陣(剛度矩陣、質(zhì)量矩陣)稱為模態(tài)剛度陣、模態(tài)質(zhì)量陣，簡(jiǎn)稱為模態(tài)剛度(廣義剛度)、模態(tài)質(zhì)量(廣義質(zhì)量)。模態(tài)剛度和模態(tài)質(zhì)量等都依賴于模態(tài)基坐標(biāo)系，沒(méi)有實(shí)際的物理意義，只具備數(shù)學(xué)計(jì)算功能。不過(guò)，在模態(tài)系下得到的該數(shù)學(xué)參量卻是結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析時(shí)重要的動(dòng)特性參數(shù)。比如，在振動(dòng)控制設(shè)計(jì)(如TMD設(shè)計(jì))時(shí)需要提取模態(tài)質(zhì)量，以此作為TMD系統(tǒng)質(zhì)量設(shè)計(jì)的依據(jù)[3]。當(dāng)前，研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題普遍借助有限元分析軟件進(jìn)行求解，而有些軟件程序往往又不能或不能直接獲得模態(tài)質(zhì)量等振動(dòng)參數(shù)。為此，基于振型分解法及單自由度諧振反應(yīng)，并依托MIDAS有限元軟件，提出一種輔助軟件獲得模態(tài)質(zhì)量的新方法。

1 單自由度諧振反應(yīng)

眾所周知，單自由度系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題較多自由度簡(jiǎn)單，一般可以獲得精確的解析解，但同時(shí)該體系卻包括了結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中涉及的所有物理量及基本概念.因此先研究以單自由度振動(dòng)體系在諧振荷載作用下的響應(yīng)問(wèn)題，若體系的物理3元素分別為質(zhì)量m、剛度k、阻尼系數(shù)c，受到幅值為p0、角頻率為ω的正弦諧振荷載p(t)作用，體系力學(xué)模型如圖1所示，其運(yùn)動(dòng)方程為[4-5]

圖1 彈簧―質(zhì)點(diǎn)體系

由式(1)可求得單自由度質(zhì)點(diǎn)受諧振荷載強(qiáng)迫振動(dòng)的反應(yīng)解析解為

式(2)為運(yùn)動(dòng)方程的全解，其中第一項(xiàng)為瞬態(tài)反應(yīng)u，即體系的自由振動(dòng)反應(yīng)uc，常量A、B給定的初始條件確定，由于exp(-ξωt)的存在瞬態(tài)反應(yīng)很快隨時(shí)間衰減而至消失.實(shí)際工程中往往關(guān)注其第二項(xiàng)穩(wěn)態(tài)反應(yīng)，該反應(yīng)是由外荷載引起的強(qiáng)迫振動(dòng)up，若只取穩(wěn)態(tài)諧振反應(yīng)則有

k為體系剛度有

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容和任務(wù)可分為2大類：一類是反應(yīng)分析，輸入動(dòng)力荷載至結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，然后輸出動(dòng)力反應(yīng)，為結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算問(wèn)題；另一類是通過(guò)輸入的動(dòng)力荷載和輸出的動(dòng)力反應(yīng)反求結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，為參數(shù)(或稱系統(tǒng))識(shí)別問(wèn)題.因此，按后者可根據(jù)輸出的動(dòng)力反應(yīng)反算體系的質(zhì)量，將(4)式代入(3)式并整理可得

更為簡(jiǎn)便的，若諧荷載頻率ω與體系體系頻率ω相等時(shí)，即上式中β=1，讓結(jié)構(gòu)發(fā)生共振反應(yīng)，則有

當(dāng)輸出最大位移反應(yīng)(位移幅值)時(shí)(6)式可變?yōu)?/p>

至此，可以根據(jù)體系共振時(shí)輸出的位移幅值反應(yīng)求得單自由度體系的質(zhì)量.

2 振型分解與模態(tài)質(zhì)量計(jì)算

更為一般地，工程結(jié)構(gòu)往往離散為多自由度，仍可以建立振動(dòng)體系的運(yùn)動(dòng)方程[4-5]如下：

位移用振型

展開(kāi).式(9)代入式(8)得

當(dāng)滿足阻尼陣[C]正交條件，式(10)左乘并利用振型正交性得

通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換將相互耦合的線性方程組式(8)分解為N個(gè)相互獨(dú)立的方程組式(10)，物理意義為多自由度體系的振動(dòng)問(wèn)題在廣義坐標(biāo)下表現(xiàn)為N個(gè)單自由度體系的振動(dòng)問(wèn)題.對(duì)比式(1)、式(10)，形式完全一樣，只是用Mn、Cn、Kn、pn及qn分別代替了m、c、k、p0sinωt和u.

目前工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析問(wèn)題往往借助有限元軟件程序完成，有時(shí)需要獲得模態(tài)質(zhì)量，而有些軟件程序不能直接提取，若提取振型向量及質(zhì)量矩陣后再用上述定義公式計(jì)算比較麻煩，對(duì)于龐大體系甚至是非常困難的.這樣即可采用上述振型分解思想及單自由度諧振反應(yīng)來(lái)間接求取模態(tài)質(zhì)量.具體做法為：若要求得多自由度體系某階模態(tài)下的模態(tài)質(zhì)量，先建立有限元模型，進(jìn)行模態(tài)分析，獲取各階自振頻率，及個(gè)階模態(tài)振型向量.當(dāng)求某階模態(tài)質(zhì)量時(shí)，在某節(jié)點(diǎn)位置處施加一集中諧振荷載p0sinωt，必須說(shuō)明的是此節(jié)點(diǎn)必須滿足該階模態(tài)振型向量在激振力作用方向不為0，最好是該向量值為較大或最大.其中ω為結(jié)構(gòu)某階自振頻率，然后再進(jìn)行諧振荷載時(shí)程分析，分析方法采用振型疊加法，程序計(jì)算得到響應(yīng)結(jié)果是前n階振型疊加后的發(fā)應(yīng)，但注意到此時(shí)體系發(fā)生第n階共振反應(yīng)，前n-1階反應(yīng)貢獻(xiàn)很小，n階共振反應(yīng)占主導(dǎo)，可近似認(rèn)為總反應(yīng)即為該第n階模態(tài)的共振的反應(yīng)，若為提高二者的接近程度，可通過(guò)人為設(shè)置合適阻尼實(shí)現(xiàn)，即前n-1階振型阻尼取大值，n階振型阻尼取小值的方法來(lái)抑制前n-1階模態(tài)反應(yīng)的貢獻(xiàn).需要說(shuō)明的是，此時(shí)設(shè)置的振型阻尼是假定的，與實(shí)際結(jié)構(gòu)阻尼情況并不相符，但對(duì)該數(shù)值方法求得模態(tài)質(zhì)量并無(wú)影響.故由式(9)有

若只取j節(jié)點(diǎn)位移幅值反應(yīng)則有

可得

將節(jié)點(diǎn)荷載轉(zhuǎn)為模態(tài)坐標(biāo)下的廣義荷載有

以Mn、pn及qn分別代替m、p0sinωt和umax后并將式(14)、式(15)代入式(7)得

3 算例1：簡(jiǎn)支梁有限元模型

現(xiàn)以一簡(jiǎn)單的算例來(lái)說(shuō)明上述方法來(lái)求得模態(tài)質(zhì)量Mn.模型概況：簡(jiǎn)支梁，跨徑l=10 m，截面面積A=1 m2，抗彎慣性矩Iyy=0.020 8 m4，材料彈性模量E=32 500 MPa，材料密度ρ=2.55 t/m3，建立MIDAS有限元模型如圖2所示.

圖2 簡(jiǎn)支梁有限元模型

先進(jìn)行模態(tài)分析求得其動(dòng)力特征參數(shù)頻率及模態(tài)向量，分析前幾階模態(tài)振型特征，求取某模態(tài)質(zhì)量時(shí)，以諧振荷載幅值p0，且頻率為該階自振頻率的激勵(lì)荷載作用于模態(tài)向量值較大處的節(jié)點(diǎn)處，作用方向與該模態(tài)向量一致，采用MIDAS軟件計(jì)算諧荷載時(shí)程分析時(shí)，分析方法采用振型疊加法，阻尼計(jì)算方法采用振型阻尼，阻尼比ξ可取0.05，在后處理中提取激勵(lì)荷載作用點(diǎn)及作用方向的節(jié)點(diǎn)位移反應(yīng)幅值，即可運(yùn)用式(16)求取該階模態(tài)質(zhì)量.現(xiàn)求取一階模模態(tài)質(zhì)量過(guò)程如下：在該階模態(tài)向量最大值的位置處(如圖2所示模型節(jié)點(diǎn)6)施加一集中正弦諧激勵(lì)振荷載p(t)作用，激勵(lì)荷載頻率取結(jié)構(gòu)一階自振頻率，取100 kN，頻率取50.7 rad/sec，則p(t)=100sin50.7t；且只截取一階模態(tài)進(jìn)行計(jì)算，各節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量(軟件可以直接提取，也可根據(jù)物理意義獲得)、一階模態(tài)向量及各點(diǎn)位移反應(yīng)幅值列于表1.

表1 模型一階模態(tài)參數(shù)

與分布參數(shù)體系解析解M1=m/2=12.75 t誤差同樣為2.1%.

表2為該簡(jiǎn)支梁模型前幾階模態(tài)質(zhì)量的求解參數(shù)及計(jì)算結(jié)果，其中激勵(lì)荷載Fz,6表示為荷載作用于6節(jié)點(diǎn)z方向，其他類同；所列模態(tài)向量及反應(yīng)幅值均為荷載作用點(diǎn)處及作用方向的數(shù)值.同時(shí)考慮到有多階模態(tài)疊加時(shí)，非共振模態(tài)的貢獻(xiàn)，采用了不同振型阻尼設(shè)置的多種計(jì)算工況.計(jì)算結(jié)果表明：多階模態(tài)疊加時(shí)采用該共振反應(yīng)法所得結(jié)果精度高，非共振反應(yīng)影響甚小，并且該數(shù)值計(jì)算模態(tài)質(zhì)量的方法對(duì)假定結(jié)構(gòu)的振型阻尼并不敏感.

表2 簡(jiǎn)支梁模型低階模態(tài)質(zhì)量計(jì)算

4 算例2：彎橋有限元模型

在橋梁工程中，彎橋常應(yīng)用于匝道橋、互通立交以及高速公路等，其結(jié)構(gòu)受力較為復(fù)雜，主要特征表現(xiàn)為梁在承受豎向彎曲時(shí)，受曲率影響，必然產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)，即彎扭耦合作用[6].在彎橋動(dòng)力分析時(shí)同樣存在彎扭耦合模態(tài)，現(xiàn)以一實(shí)際彎橋模型為依托，說(shuō)明該計(jì)算模態(tài)質(zhì)量方法的有效性及適用性.

計(jì)算思路及步驟如算例1所述，首先建立起某彎橋有限元模型如圖3所示，單元采用空間梁?jiǎn)卧Ｐ凸?jié)點(diǎn)編號(hào)始于彎橋橋面單元自左至右排列.其一階模態(tài)的部分節(jié)點(diǎn)的振型向量如表3所列，可知，該彎橋第一階模態(tài)的振型就出現(xiàn)了多向的偶聯(lián)振動(dòng).

圖3 某彎橋有限元模型

彎橋模型第一階模態(tài)質(zhì)量的求解參數(shù)及計(jì)算結(jié)果如表4所列，其中相關(guān)符號(hào)及數(shù)值含義與表2類同，在求取一階模態(tài)質(zhì)量時(shí)采用了不同的激勵(lì)方式，計(jì)算表明：彎橋的藕聯(lián)振動(dòng)并不影響采用共振反應(yīng)法來(lái)獲得模態(tài)質(zhì)量，同時(shí)Fz,5的激勵(lì)方式所得結(jié)果欠佳，主要是因?yàn)樵撎幍哪B(tài)向量數(shù)值太小所致計(jì)算誤差較大，故如前面所述激勵(lì)荷載應(yīng)選擇模態(tài)向量數(shù)值較大處.

表3 彎橋一階模態(tài)下部分節(jié)點(diǎn)振型向量

表4 彎橋一階模態(tài)質(zhì)量計(jì)算

5 結(jié)語(yǔ)

結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量是其控制設(shè)計(jì)和動(dòng)力載荷設(shè)計(jì)的基本參數(shù)之一，實(shí)際工程結(jié)構(gòu)體系比較復(fù)雜，有時(shí)結(jié)構(gòu)模型單元數(shù)量非常龐大，直接求解模態(tài)質(zhì)量頗為困難，從工程實(shí)用角度出發(fā)，往往只需獲得較低幾階模態(tài)質(zhì)量.

(1)基于單自由度諧振荷載的共振反應(yīng)，推導(dǎo)得到了一種計(jì)算模態(tài)質(zhì)量的新方法；并結(jié)合MIDAS有限元分析軟件對(duì)一簡(jiǎn)單有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析和諧荷載時(shí)程分析，得到了模態(tài)質(zhì)量，并通過(guò)比較原始定義公式和演化公式計(jì)算得到的模態(tài)質(zhì)量，結(jié)果表明所提新方法計(jì)算結(jié)果精度可靠，驗(yàn)證了該方法的可行性及有效性。

(2)模態(tài)質(zhì)量基于模態(tài)基向量，算例計(jì)算得到的一階模態(tài)質(zhì)量為1 t，驗(yàn)證MIDAS程序已將模態(tài)向量進(jìn)行模態(tài)質(zhì)量歸一處理。

(3)若實(shí)際工程中要得到模態(tài)最大值歸一下的模態(tài)質(zhì)量，則只需將式(16)的最大模態(tài)向量φj,n取1即可。

(4)除此，該推導(dǎo)公式同樣適用于實(shí)驗(yàn)方法獲得模態(tài)質(zhì)量。

[1]CHOPRA A K. Dynamics of Structures[M]. New Jersey: Prentice Hall, 1995.

[2]CLOUGH R W, PENZIEN J. Dynamics of Structures[M]. New York: McGraw-Hill Inc, 1993.

[3]陳政清, 華旭剛. 人行橋的振動(dòng)與動(dòng)力設(shè)計(jì)[M]. 北京: 人民交通出版社, 2009.

[4]劉晶波, 杜修力. 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社,2004.

[5]Penzien W J. 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)[M]. 王光遠(yuǎn), 譯. 北京: 科學(xué)出版社,1981.

[6]孫廣華. 曲線橋計(jì)算[M]. 北京: 人民交通出版社, 1995.

(責(zé)任編校：陳健瓊)

A Computing Method Modal Mass Based on the Single Degree of Freedom of Resonance Reaction

HUANG Guoping1,HOU Suwei2,WANG Xinzhong1

（1. School of Civil Engineering, Hunan City University, Yiyang, Hunan 413000, China; 2. School of Civil and Transportation Engineering,Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing 102616, China)

Based on the ideas of the resonance response results of the single degree of freedom under harmonic load calculated by the elemental point quality the authors put forward the new way of a multi-degree of freedom structure system to calculate with the modal of the quality. On this method with the finite element software it is to obtain modal quality, to solve a number of problem that the finite element software that it can not extract directly the modal quality. Compared with the results that be calculated by the modal quality in the original formula, the numerical calculation on this method is up to the enough accuracy.

the single degree of freedom; resonance; resonance response; modal mass the finite element software

TU311.3

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2017.05.0002

1672–7304(2017)05–0007–05

2017-02-10

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51508019)；湖南省教育廳科研項(xiàng)目(2017C0304)；2016年益陽(yáng)市科技計(jì)劃項(xiàng)目

黃國(guó)平(1982-)，男，江西樟樹(shù)人，講師，博士研究生，主要從事橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)與控制研究. E-mail: 614807827@qq.com