因軸而生 想象為翼

王志南

【摘 要】本文對“蘇教版”小學數(shù)學三年級上冊“軸對稱圖形”一課的兩種教學設計進行了詳細比較，教學設計的差異反映出教師對教材內(nèi)涵的不同理解。要讓學生走向數(shù)學意義的深入理解，教師就要讓教學更加貼近學生，將教學的節(jié)奏放慢下來，把數(shù)學學習的過程做完整、做豐富。

【關鍵詞】“蘇教版”；軸對稱圖形；教學設計；比較

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）28-0055-03

近期參加市級教學研討活動，聽了兩位老師同課異構的“軸對稱圖形”一課。本課是“蘇教版”小學數(shù)學三年級上冊的教學內(nèi)容，也是學生初次認識軸對稱圖形。兩位老師的設計在教學思路是一致的，但細節(jié)的處理卻迥然不同。教學設計的差異反映出教師對教材內(nèi)涵的不同理解，而在兩種教法的比較和思考中，筆者也獲得了許多有益的啟發(fā)。

【教學設計一】

1. 認識物體對稱

教師引導學生欣賞自然界中的對稱現(xiàn)象后，出示例3中的蝴蝶、祈年殿、飛機模型的實物圖片。請學生觀察圖片，找出這些物體的特點，再在組內(nèi)交流它們的共同特征。

交流：這些物體有什么共同特征？

指出：我們觀察這些物體的兩邊，經(jīng)過比較，發(fā)現(xiàn)它們的形狀、大小都一樣，是完全相同的，我們就說這樣的物體是對稱的。

你還見到哪些物體也具有這樣對稱的特征？

2. 認識軸對稱圖形

引導：我們把蝴蝶、祈年殿和飛機沿著輪廓畫好剪下來，可以得到你們手中的3個圖形。

提出要求：請同學們拿出這幾個圖形。對折，比一比，看一看，你能發(fā)現(xiàn)什么，把你的發(fā)現(xiàn)和同組的同學說一說。

指出：對折后兩邊大小相等、形狀相同，可以說成“完全重合”。

揭示：像這樣，對折后能完全重合的圖形，是軸對稱圖形。

3. 操作深化：出示例4，明確要求

（1）教師演示剪松樹圖的完整過程。

（2）讓學生用一張紙對折，再照樣子畫一畫、剪一剪。

（3）讓學生按上面的方法再剪一個軸對稱圖形。

4. 教學“試一試”

幾何圖形中也有一些是軸對稱圖形，你能一眼看出哪些是軸對稱圖形嗎？

每組從材料袋中拿出材料驗證，填寫記錄單。

【教學設計二】

1. 談話導入，引發(fā)思考

談話：小朋友們玩過剪紙嗎？猜一猜，這張紙剪下來的圖片是什么？它們有什么共同的特點？在我們身邊，你還見過哪些具有類似特征的東西嗎？

2. 操作感悟，探究新知

（1）探究軸對稱圖形。

談話：剛才同學們說到了蝴蝶、飛機、房子……我們把它畫成圖形，如果給你這些圖形，怎樣才能看出它們是對稱的呢？

學生活動，對折例題三幅圖。

對折時觀察：對折后的圖形的邊線和圖形會怎樣？

組織匯報：你是怎么折的？（上下、左右）你發(fā)現(xiàn)什么？

交流概括：總體上看，只能看到圖形的一半，細節(jié)上看，對折后左右兩邊（或上下兩邊）邊線和線條都完全重合。

小結：對折后圖形兩側不多不少地“完全重合”在一起。（板書：完全重合）像這樣對折后能完全重合的圖形就是軸對稱圖形。

（2）識別軸對稱圖形。

談話：如果老師現(xiàn)在給你一些圖形圖案，你能不能很快說出哪些是軸對稱圖形？

展示課件中的圖，判斷哪些是軸對稱圖形：

①猜一猜：看看哪些是軸對稱圖形，哪些不是？

②折一折：六人合作，驗證猜想。

③填一填：完成答題紙。

學生活動，教師巡視。

組織匯報。隨機談話：怎樣驗證的？說說你判斷的依據(jù)。

【兩種設計的比較與思考】

在學習本課之前，學生已經(jīng)從生活中的對稱現(xiàn)象中積累了許多對稱的經(jīng)驗，因此兩位老師的設計有著許多共同之處。如都注重引導學生在生活中感知對稱性，在觀察、操作中研究軸對稱圖形的對稱性，都注重學生應用所學知識解決實際問題的能力培養(yǎng)。尤其是，兩位老師都注重對本課核心概念的意義建構，即“什么是軸對稱圖形？”“軸對稱圖形的本質(zhì)特征是什么？”應該說，兩位老師的設計各有特色，都凸顯了自己對教學內(nèi)容的思考。

但是，細細品味兩節(jié)課的設計，在欣賞之余，卻又感覺缺失了什么。比如：兩位老師在設計中均未提及軸對稱圖形的“軸”在哪里？學生對軸對稱圖形的理解也局限于“對折后兩邊能夠完全重合的圖形”，缺少必要的變式。在軸對稱圖形的判斷上方式單一，主要依靠動手操作進行判斷和驗證。因而，站在更高的視角來看，在這熱鬧的課堂背后又始終感覺少了點什么，我們必須冷靜地思考，課堂中學生究竟該學習什么？又該怎樣開展數(shù)學探究學習活動？教師又如何在學生的探究活動中發(fā)揮應有的主導作用？

事實上，要讓學生走向數(shù)學意義的深入理解，教師就要讓教學更貼近學生，將教學的節(jié)奏放慢下來，把數(shù)學學習的過程做完整、做豐富。如本課的教學，教師需要教學“軸對稱圖形”這一核心概念時放慢節(jié)奏，組織學生進行充分、深入地探究?；谶@樣的認識，筆者在此探討三個問題。

1. 對稱軸“呼之欲出”，為何卻沒有出現(xiàn)？

三年級的學生，教師教學軸對稱圖形時為什么沒有揭示“對稱軸”這一核心概念？應該說，整節(jié)課研究的是軸對稱圖形，在學生通過對折、觀察等探究活動，明確軸對稱圖形的含義后，揭示“對稱軸”的含義本應是水到渠成，呼之欲出，但兩位教師在處理時均未明確揭示“對稱軸”這一概念。為什么會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？仔細研讀教材不難發(fā)現(xiàn)，教材在圖中給出了標有“對稱軸”的圖形，但沒有給“對稱軸”下定義或做出描述。因此，許多教師就誤以為，教學軸對稱圖形，讓學生在觀察和操作中體會軸對稱圖形的基本特征就可以了，至于“對稱軸”，只要讓學生有一個直觀的感受就可以了。因為，有關對稱軸的概念，到四年級下冊還要具體學習。那么，對于這樣的觀點，我們又該持怎樣的態(tài)度呢？endprint

事實上，平移、旋轉、軸對稱是小學數(shù)學“圖形與幾何”內(nèi)容中最為生動的部分，是在“圖形的運動”這個標題下給出的。而判斷一個物體的運動是需要參照物的，我們在拉上了遮光板的飛機上無法感知飛機的運動。史寧中教授這樣定義軸對稱：“參照物是一條直線。稱圖形翻轉到直線的另一側，對應點到直線距離相等、對應點連線與直線垂直的運動為軸對稱。”從本質(zhì)上講，應當是先有參照物然后再規(guī)定圖形的運動。由此可見，軸對稱圖形可謂是“因軸而生”，脫離對稱軸來學習軸對稱圖形，或?qū)ΨQ軸這一概念避而不談，顯然是對教材的誤解。

在“蘇教版”小學數(shù)學教材中，雖然不以概念的形式定義“對稱軸”，不代表可以忽略對稱軸的存在。事實上，我們判斷一個圖形是否是軸對稱圖形，就是要尋找一條神奇的線（對稱軸），沿著此線對折后，圖形的兩邊能夠完全重合則就是軸對稱圖形。忽視了“對稱軸”的存在，談何“完全重合”呢？事實上，由于圖形的不同，學生在進行操作活動時首先需在腦海上進行預設，按怎樣的方向（或說沿著哪一條線）進行對折。只要對折活動的存在，就必須思考沿著什么對折的問題，如能完全重合，這條線即這個圖形的對稱軸。另一個角度而言，在引導學生理解軸對稱圖形的概念以后，就此揭示對稱軸的概念對學生來說是水到渠成的事，學生在具體數(shù)學活動中也易于理解對稱軸的含義。而在后續(xù)的學習活動中，要求學生剪出一個軸對稱圖形時，先讓學生將一張紙對折然后再剪，其實也暗含了軸對稱圖形是“因軸而生”的。

2.“完全重合”怎樣理解，如何走出誤區(qū)？

在教學中我們不難發(fā)現(xiàn)，很多時候由于教師對數(shù)學基本概念鉆研不夠深入，理解不夠到位，往往使得概念的教學游離于表層意義，不能引導學生深入理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵。而就學生而言，數(shù)學概念的深入理解和掌握是推動其數(shù)學思考的關鍵因素，一些成人看似簡單的數(shù)學概念學生在理解時卻是復雜和抽象的。如果學生對數(shù)學基本概念掌握得不夠深刻，那么一段時間以后，學生對這些基本概念的理解將會變得模糊，記憶中的相關知識將不再牢靠。在本課中，理解軸對稱圖形的特征是本課教學的核心目標，只有學生真正理解，才能在后續(xù)練習中正確地判斷。而軸對稱圖形的特征教學的關鍵在于：一是什么是“完全重合”，其本質(zhì)屬性是什么？二是怎樣引導學生深入理解“完全重合”的含義？

具體地說，設計一中師生對“完全重合”的理解是存在偏差的。在學生交流后教師指出：“對折后兩邊大小相等、形狀相同，可以說成‘完全重合。”這樣的表述科學嗎？還有學生在表述什么是完全重合時，這樣表述：對折后的圖形是原圖形的一半，對折后的圖形兩邊完全相同。這樣的表述揭示了完全重合的本質(zhì)屬性嗎？顯然，這樣表述“完全重合”是錯誤的，將一個平行四邊形沿對角線對折所得的兩個三角形也是完全相同，對折后的圖形也是原圖形的一半，但平行四邊形并不是軸對稱圖形。

我們知道，數(shù)學語言講究精確，尤其是當學生表達存在錯誤或偏差時，教師要正視問題而不是簡單地加以肯定。教師可以啟發(fā)學生：你們同意他的觀點嗎？你們還有什么補充嗎？引導學生在交流中糾偏糾錯，不斷地逼近正確結論。當然，這也需要教師進行教學設計時更充分地理解和鉆研教材，由表及里，逐層深入，理解“完全重合”的本質(zhì)內(nèi)涵。相比而言，設計二中教師的處理則準確地把握了“完全重合”的本質(zhì)內(nèi)涵。教師提問：你是怎么折的？觀察對折后的圖形的邊線和線條會怎樣？進而學生發(fā)現(xiàn)：總體上看，對折后只能看到圖形的一半，細節(jié)上看，對折后左右兩邊（或上下兩邊）邊線和線條都完全重合。進而教師揭示：像這樣，對折后圖形兩側不多不少地重合了就是“完全重合”。顯然，這樣的教學處理比較精細，準確地揭示了“完全重合”的數(shù)學含義。

更進一步而言，第二種設計教師還可適當?shù)丶右愿倪M，深化學生對“完全重合”的理解。即在學生對折發(fā)現(xiàn)軸對稱圖形對折時完全重合后，教師給學生提供若干圖形，有的是軸對稱，有的不是軸對稱，讓學生先判斷再動手操作驗證，發(fā)現(xiàn)有的圖形對折后是“部分重合”，進而加深“完全重合”的理解。這樣的活動設計放慢了教學節(jié)奏，促進學生對“完全重合”含義的深刻理解和內(nèi)化。有了這樣的認識，學生在判斷平行四邊形是否是軸對稱圖形時就不會再糾結和困惑了，他們會發(fā)現(xiàn)，雖然平行四邊形對折后“圖形兩部分相等”，但是顯然圖形兩部分沒有“完全重合”，因而不是軸對稱圖形。

3.“動手操作”的確實用，是否是判斷的唯一路徑？

研究表明，幾何表象不僅僅是事物或事件的知覺表征，它一方面反映的是圖形的相關概念，具有思維的特征；另一方面又具有一定的形象性，可以在頭腦中對它進行各種操作，如旋轉、切割、黏合、折疊、拓展等。那么，需要思考的是，判斷軸對稱圖形的方法只能依賴于動手操作嗎？除了動手操作進行驗證，是否可以引導學生借助圖形在頭腦中展開想象，判斷其是否“完全重合”呢？

案例中，兩位教師在組織學生判斷一些平面圖形是否是軸對稱圖形時，都采用讓學生先猜想再驗證的教學思路，而驗證的主要方式就是動手操作。雖然教師在操作驗證前也讓學生進行猜想，但問題是：判斷一個圖形是否是軸對稱圖形，引導學生猜想時，教師是否可以進行必要地指導，而使猜想不再單純依靠學生的直覺？

因而，教師在認可動手操作的實用性的同時，還需認識到，判斷圖形是否對稱的方法是多樣的。教師還可以引導學生在觀察活動中充分感知和建構軸對稱圖形的形象、位置、關系等特征，形成相應的幾何表象。在判斷長方形、平行四邊形、三角形等是否是軸對稱圖形時，假設以某一條線為對稱軸，在頭腦中展開想象，將圖形的一邊進行“翻折”，想象“翻折”后其是否能夠“完全重合”。有了想象“翻折”活動的參與，學生的判斷才顯得更可靠。當然，對于學生想象“翻折”后仍無法確定是否“完全重合”的圖形，教師可引導學生在對圖形進行想象“翻折”獲得初步結論后再進行操作驗證，驗證自己的判斷是否正確。而這一從糾結到確認的認知過程，有助于學生建立豐富的、精準的平面圖形“翻折”的幾何表象，促進學生相應空間觀念的形成。

在教材的編排中，也滲透了一些需要想象“翻折”活動參與的習題，如圖：下面的圖案分別是從哪張對折的紙上剪下來的？連一連。這樣的題型也可以引導學生在頭腦中想象將上一行的圖形進行“翻折”的過程，找到相對應的對折的紙。當然，對于極少數(shù)想象有困難的學生，教師還可以讓其在想象后再動手剪一剪，驗證想象是否正確，同時幫助他們逐步建立相應的幾何表象，促進學生對軸對稱圖形的空間形式和關系的深刻理解。

參考文獻：

[1] 史寧中.基本概念與運算法則：小學數(shù)學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社， 2013：60.

[2] 鮑建生，周超.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009：274.

（編輯：趙 悅）endprint