初中數(shù)學(xué)“翻折與旋轉(zhuǎn)”問題的題型及教學(xué)策略研究

梁興安

【摘要】本文總結(jié)初中數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的翻轉(zhuǎn)問題的題型與翻轉(zhuǎn)問題題型的衍生題型——旋轉(zhuǎn)問題題型，論述不同題型的教學(xué)策略。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 翻轉(zhuǎn)問題 旋轉(zhuǎn)問題 題型總結(jié) 教學(xué)策略

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）09A-0038-02

學(xué)數(shù)學(xué)的目的之一是將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活當(dāng)中并解決相應(yīng)的問題。翻折問題和旋轉(zhuǎn)問題是比較貼近生活的，學(xué)生需要通過生活去總結(jié)這類幾何問題的規(guī)律，并且充分運(yùn)用想象力，讓圖形能夠“動(dòng)”起來，感受“翻折與旋轉(zhuǎn)”問題在現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中的含義。

一、翻折問題

翻折問題其實(shí)質(zhì)就是對(duì)稱問題，在一個(gè)平面當(dāng)中，對(duì)稱問題可以分成兩大類，首先是圖形之間的對(duì)稱，通常為兩個(gè)圖形之間存在對(duì)稱關(guān)系，也可以是多項(xiàng)式當(dāng)中的數(shù)與數(shù)關(guān)于某個(gè)基點(diǎn)相互對(duì)稱，這種對(duì)稱方式我們稱之為中心對(duì)稱；還有對(duì)稱方式是關(guān)于一條特定直線形成的對(duì)稱，這種對(duì)稱方式我們稱之為軸對(duì)稱。在一個(gè)較為立體的空間當(dāng)中，還有兩個(gè)幾何體關(guān)于特定平面之間的對(duì)稱，但是在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中應(yīng)用得不多。在初中數(shù)學(xué)中，翻折問題主要分為矩形翻折、紙片翻折、三角形翻折、圓形翻折四類問題。

（一）矩形翻折

在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，矩形的翻折問題是非常多見的，因?yàn)榫匦蔚男误w比較簡(jiǎn)單，學(xué)生在想象時(shí)也較為容易，可變化程度也較高，因此得到了廣大出題教師的喜愛。例如：將一張長方形紙片按如圖1的方式折疊，其中BC，BD為折痕，折疊后BG和BH在同一條直線上，∠CBD= 度。

這個(gè)題目是典型的矩形翻折問題，教師在講解這個(gè)題目時(shí)，首先需要讓學(xué)生認(rèn)清哪些是不變量、哪些是變量。在弄清楚兩者之后，學(xué)生對(duì)題目就會(huì)有更加深刻的認(rèn)識(shí)。在這道題當(dāng)中，原條件是一張長方形紙片，由BC和BD兩道折痕可以得出∠ABC與∠GBC是相等的、∠HBD與∠EBD是相等的，因此∠CBD實(shí)際上是180°的一半，即90°。教師在講解此類題目時(shí)，一定要提示學(xué)生在解題時(shí)注意每一個(gè)折疊過程當(dāng)中的“變”與“不變”，理解折疊問題當(dāng)中的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角之間的關(guān)系。

（二）紙片翻折

紙片翻折與矩形翻折相類似，但是不同的是紙片翻折問題更具有普遍性，它是翻折問題的精髓所在，對(duì)學(xué)生在紙片翻折問題上的概念理解有更高的要求。在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，出題者往往根據(jù)學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的同位角、對(duì)頂角和互補(bǔ)角的性質(zhì)來出題。例如：如圖2，有一條直的寬紙帶，按圖折疊，則∠α的度數(shù)等于（ ）。

這個(gè)題目很典型地引出了紙片翻折問題，在講解這類題目時(shí)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生將圖形中的點(diǎn)用A、B、C、D、E、F等標(biāo)記出來，如圖2.1所示，學(xué)生在標(biāo)記的過程中也能對(duì)題目有進(jìn)一步的理解，幫助學(xué)生高效讀題；之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生分析題目中給出的條件，嘗試解答。由題意可知∠DEF=30°，根據(jù)對(duì)頂角關(guān)系可知∠BEA=∠DEF=30°，同時(shí)又根據(jù)同位角關(guān)系得知∠GAE=∠BEA=∠DEF=30°，這樣就可以求出∠1=∠2=75°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°求出∠α=75°。在這個(gè)題目當(dāng)中，求角α的度數(shù)運(yùn)用了折疊前后的不變性來解題。在初中數(shù)學(xué)的紙片翻折問題當(dāng)中，這樣類型的題目占了大多數(shù)。

（三）三角形翻折

三角形作為初中數(shù)學(xué)當(dāng)中常見的幾何圖形，三角形中的翻折問題也是中考的常見類型。教師在出題的時(shí)候，對(duì)于三角形的翻折問題是比較重視的，由于學(xué)生在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中已經(jīng)接觸得比較多三角形了，因此在做題時(shí)比較得心應(yīng)手[1]。三角形的種類較多，在實(shí)際解題中會(huì)衍生出多樣的情況，因此教師在講解三角形中的翻折問題時(shí)，應(yīng)著重加強(qiáng)學(xué)生對(duì)已知條件的分析及對(duì)三角形自身的條件的分析能力，使得翻折問題更加明確、容易解決。

例如：如圖3，把Rt△ABC（∠C=90°）進(jìn)行翻折，使A，B兩點(diǎn)重合，得到折痕ED，再沿BE折疊，C點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，則CE：AE=_________________。

這是一個(gè)典型的與三角形相關(guān)的翻折問題，在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中也較為常見，在直角三角形ABC當(dāng)中，由已知得△ADE與△BDE是關(guān)于ED對(duì)稱的，而△DBE與△CBE是關(guān)于EB對(duì)稱的。因此就可以很快得出結(jié)論，CE與ED是相等的，CB=BD=AD，再根據(jù)勾股定律來解題，假設(shè)AD=1，很快就可以得出CE與AE的比值。此題較為綜合，也是典型的勾股定理、三角形轉(zhuǎn)化與翻折相互結(jié)合的題目。

除此之外還有較為典型的探究類型的題目，例如：在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，現(xiàn)把△CDE沿DE進(jìn)行不同的折疊得△C′DE，對(duì)折疊后產(chǎn)生的夾角進(jìn)行探究：

①如圖4.1，把△CDE沿DE折疊在四邊形ADEB內(nèi)，求∠1+∠2的和；

②如圖4.2，把△CDE沿DE折疊覆蓋∠A，則求∠1+∠2的和；

③如圖4.3，把△CDE沿DE斜向上折疊，探求∠1、∠2、∠C的關(guān)系。

根據(jù)折疊前后的圖象全等可知，∠1=180°-2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出答案。諸如此類的探究題目，在題目當(dāng)中往往都有固定的條件，教師在指導(dǎo)學(xué)生做題時(shí)，需要讓學(xué)生注意各個(gè)條件之間的關(guān)系，并且通過題目當(dāng)中的條件去做一定的整改，把握好折疊的本質(zhì)，這樣一來，學(xué)生解題就會(huì)游刃有余。

（四）圓形折疊

由于初中生對(duì)于圓性質(zhì)的掌握還不夠熟練，因此在與圓形相關(guān)的折疊問題上可操作性不大。在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，圓形折疊問題不常見，但是仍然需要學(xué)生掌握。

例如：如圖5，正方形ABCD的邊長為2，⊙O的直徑為AD，將正方形的BC邊沿EC折疊，點(diǎn)B落在圓上的F點(diǎn)，求BE的長。

圓形折疊問題雖然看起來比較復(fù)雜，但是越是復(fù)雜的題目實(shí)際上卻越簡(jiǎn)單。教師在講解此題時(shí)，可首先指導(dǎo)學(xué)生作出輔助線如圖5.1所示，接著引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圓、三角形的特征分析圖中的邊角關(guān)系，從而得出結(jié)論。

翻折問題在初中階段多為以上幾類，除此之外，學(xué)生還需要掌握運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來做題的策略，善于觀察生活當(dāng)中的細(xì)微之處，聯(lián)系、分析和比較異同，這樣才能夠在解決翻折問題時(shí)不受阻撓。

二、旋轉(zhuǎn)問題

旋轉(zhuǎn)問題是初中數(shù)學(xué)當(dāng)中的難點(diǎn)與重點(diǎn)，一般都是以綜合類型題目的形式出現(xiàn)。旋轉(zhuǎn)問題通?？梢宰鳛榉蹎栴}的衍生題，教師應(yīng)該先讓學(xué)生熟練掌握翻折問題，隨后旋轉(zhuǎn)問題自然就迎刃而解了[2]。

例如：如圖6所示，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8，0），直線BC經(jīng)過點(diǎn)B（-8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α°得到四邊形OA′B′C′，此時(shí)直線OA′，直線B′C′分別與直線BC相交于點(diǎn)P，Q。

（1）四邊形OABC的形狀是______，當(dāng)α=90時(shí)，的值是______；

（2）①如圖6（b），當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在y軸的正半軸上時(shí)，求的值；

②如圖6（c），當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在直線BC上時(shí)，求△OPB′的面積。

這是典型的旋轉(zhuǎn)問題，在這個(gè)題目當(dāng)中，可以明確地觀察到四邊形OABC旋轉(zhuǎn)后的每一個(gè)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵點(diǎn)。教師在指導(dǎo)學(xué)生做旋轉(zhuǎn)類型的題目時(shí)，需要讓學(xué)生時(shí)刻抓住題目的關(guān)鍵點(diǎn)和關(guān)鍵步驟，弄清楚在旋轉(zhuǎn)過程當(dāng)中會(huì)變化的量和不會(huì)變化的量，這樣做題才會(huì)更加地得心應(yīng)手。

總而言之，隨著教育體系的進(jìn)一步深化改革，貼近學(xué)生生活的翻折與旋轉(zhuǎn)問題得到了越來越多的應(yīng)用。教師應(yīng)該順應(yīng)教育潮流、根據(jù)實(shí)際情況，幫助學(xué)生發(fā)散思維及培養(yǎng)創(chuàng)新能力，總結(jié)現(xiàn)階段出現(xiàn)的翻折和旋轉(zhuǎn)問題，讓圖形動(dòng)起來，提高學(xué)生的幾何分析能力和綜合思維水平，幫助學(xué)生在未來的學(xué)習(xí)生活當(dāng)中打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知模式及教學(xué)理論研究[D].南京師范大學(xué)，2013.

[2]戴爾·申克著，學(xué)習(xí)理論：教育的視角[M].韋小滿等譯.南京：江蘇教育出版社，2012.

（責(zé)編 劉小瑗）endprint