高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)探討

譚春

【摘 要】本文針對高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)問題進(jìn)行探討，提出正確理解函數(shù)的定義域、掌握函數(shù)單調(diào)性的界定原則、建立導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系、分清單調(diào)函數(shù)的極值與最值的關(guān)系四種策略，以更好地理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 函數(shù)單調(diào)性 定義域 極值 最值

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）09B-0134-02

在高中教學(xué)當(dāng)中，函數(shù)單調(diào)性作為重要的教學(xué)部分，需要學(xué)生掌握其中的基本原理和概念，能夠通過求導(dǎo)作圖來表示函數(shù)的增減性。函數(shù)的單調(diào)性主要包括：對函數(shù)增減區(qū)間界定、求解函數(shù)的極值、了解和求解最值問題、掌握函數(shù)圖形和求導(dǎo)。這需要教師創(chuàng)新教學(xué)策略，讓學(xué)生掌握函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)知識點，促進(jìn)學(xué)生解題能力得到更好的提升。

一、正確理解函數(shù)的定義域

在講解函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，學(xué)生需要清楚了解函數(shù)的定義域，明確函數(shù)在哪些區(qū)間是有意義的。如果對函數(shù)定義域理解不夠透徹，那么就會直接導(dǎo)致學(xué)生在求解函數(shù)單調(diào)性的過程中出現(xiàn)錯誤，影響判斷函數(shù)的單調(diào)性。

在講解函數(shù)的定義域時，筆者首先針對 x 取值范圍列出幾個有代表性的函數(shù)，然后來詢問學(xué)生：“這些函數(shù)的定義域都是（-∞，+∞）嗎？如果不是請說明?！边@個時候，學(xué)生很快得出不同函數(shù)有不同的定義范圍，不都是定義在實數(shù) R 集合內(nèi)。此時，筆者會給學(xué)生講解道：“函數(shù)的定義域包括兩種形式，第一種為題目直接給出定義域，讓學(xué)生求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。另一種為題目沒有給定區(qū)間，但是函數(shù)自身隱藏著某種要求，例如 y=ln（x2+5x-6）函數(shù)?！比缓笞寣W(xué)生求解 y=ln（x2+5x-6）這個函數(shù)的定義域。為了減輕學(xué)生的理解困難，筆者提醒學(xué)生：“這個函數(shù)是由哪兩個函數(shù)復(fù)合而成呢？”學(xué)生通過分析判斷，得出該函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為 y=lnx1 和 y=x2+5x-6 兩個函數(shù)，也就是說，原函數(shù)是由兩個函數(shù)構(gòu)成的。通過判定 x1>0 來等價于 x2+5x-6>0，從而得出函數(shù) x 的定義域為（-∞，-6）∪（1，+∞）。這時，筆者對學(xué)生要求道：“求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間，需要做的是先對其定義域進(jìn)行求解，只有這樣才能保證后續(xù)解題的正確性?！?/p>

二、全面掌握函數(shù)單調(diào)性的界定原則

當(dāng)下，很多學(xué)生對單調(diào)性基本概念不夠重視，沒有深入去理解其中的基本內(nèi)涵，導(dǎo)致學(xué)生在做題過程中出現(xiàn)較多的問題。這就需要教師針對函數(shù)單調(diào)性的基本概念進(jìn)行講解，讓學(xué)生掌握其中的重要原理。

在確定函數(shù)單調(diào)性時，筆者讓學(xué)生摸清函數(shù)單調(diào)性的界定原則，為后續(xù)求解奠定堅實的基礎(chǔ)。函數(shù)單調(diào)性是指在函數(shù)定義的區(qū)間內(nèi)，有任意的兩個變量，其中 x1f（x2），則該函數(shù)為減函數(shù)。接著，筆者會針對該定義的關(guān)鍵內(nèi)容進(jìn)行提問：“請說明該定義中，需要著重掌握的部分?！睂W(xué)生通過重新審視函數(shù)定義得出：“定義域內(nèi)一定存在任意 x1 和 x2?！边@時，筆者會給學(xué)生列舉實際問題來加深對概念的理解。例如：

函數(shù) 實數(shù)集 R 上為增函數(shù)嗎？

這時學(xué)生通過對原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得出 f′（x）=3x-4，從而會認(rèn)為 是增函數(shù)。此時，筆者會引導(dǎo)學(xué)生道：“在斷定函數(shù)單調(diào)性時，首先要明確其定義域?！边@時學(xué)生將函數(shù) 的定義域表示為（-∞，0）∪（0，+∞）。筆者接著問學(xué)生：“該函數(shù)在 x=0 處沒有定義，與單調(diào)函數(shù)中存在任意 x1，x2 不符，所以該函數(shù)在實數(shù) R 上不為增函數(shù)?！苯又?，筆者會問學(xué)生：“如果要求解該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，那么應(yīng)該怎樣去確定呢？”學(xué)生按照函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解步驟，通過定義域和求導(dǎo)來求得該函數(shù)增區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞），在各自區(qū)間內(nèi)函數(shù)為增函數(shù)。筆者此時給學(xué)生總結(jié)道：“只有充分掌握函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本概念，才能按照正確的步驟將函數(shù)單調(diào)性求解出來，有效解決問題。”

想要求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間，首先要把它的定義理解清楚，按照規(guī)范的要求來求解問題。這樣，學(xué)生才能真正掌握函數(shù)單調(diào)性質(zhì)，為后來的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

三、建立導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，便于直觀確定函數(shù)單調(diào)性

畫好函數(shù)的圖象對掌握單調(diào)性有很大幫助，它可以讓學(xué)生直觀、清晰地確定函數(shù)的增減性，從而更好地得出函數(shù)增減區(qū)間。這就需要建立函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，通過求導(dǎo)來得出函數(shù)圖象。

在對函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行教學(xué)時，筆者首先會跟學(xué)生一起復(fù)習(xí)基本函數(shù)的圖象。例如，筆者會問學(xué)生：“三角函數(shù)圖象都是什么類型呢？”此時學(xué)生立刻得出：“正弦函數(shù)圖象為定義在實數(shù) R 上，圖象的波峰出現(xiàn)在 ； 余弦函數(shù)圖象的波峰出現(xiàn)在 x=kπ 處；正切函數(shù)圖象關(guān)于 kπ 對稱，y 取值范圍為實數(shù) R?！痹谶@個時候，筆者會問學(xué)生：“f′（x）的大小與原函數(shù)增減性有什么關(guān)系呢？”學(xué)生針對 基本概念得出，f′（x）表示為原函數(shù)的切線，若存在 f′（x）>0 則該函數(shù)為增函數(shù)，反之則表示為減函數(shù)。在這個時候，筆者讓學(xué)生做他們熟悉的二次函數(shù)的圖象。這時很多學(xué)生都通過判定二次函數(shù)的 a 值、與 x 軸的交點大致畫出函數(shù)圖象。在這個時候，筆者會提高畫函數(shù)圖象的難度，讓學(xué)生去分析三次或者高次冪函數(shù)的圖象。例如：

已知函數(shù) f（x）=x4-x3+2x2-8，請畫出這個函數(shù)的圖象。

因為學(xué)生沒有畫過 4 次函數(shù)圖象，所以不知道怎樣去確定該函數(shù)的形狀。這個時候，筆者會給學(xué)生提示道：“求高次冪函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首要需要做的是對其原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)降冪，通過轉(zhuǎn)化成熟悉的函數(shù)來間接求解其單調(diào)性?！贝藭r，-學(xué)生通過一次求導(dǎo)得出 f′（x）=4x3-3x2+4x。但是，學(xué)生對三次冪函數(shù)仍舊不夠了解，需要對其進(jìn)行二次求導(dǎo)，得出=12x2-6x+4。在這個時候，學(xué)生通過對二次導(dǎo)數(shù)分析來間接找到原函數(shù)的增減性，從而推導(dǎo)出原函數(shù)的增減區(qū)間。這時，學(xué)生對函數(shù)圖象和導(dǎo)數(shù)就有了更明確的認(rèn)識，理解如何結(jié)合導(dǎo)數(shù)和圖象來界定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而為求函數(shù)的增區(qū)間或減區(qū)間提供較大的方便。

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，就需要學(xué)生對函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和圖象有清晰的認(rèn)識，明確導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的增減性是對應(yīng)的，從而快速解決函數(shù)問題。

四、清晰劃分單調(diào)函數(shù)極值與最值關(guān)系

學(xué)生在確定函數(shù)單調(diào)性后，往往要針對函數(shù)的增減性來求解極值和最值問題。這時，很多學(xué)生在這個上面存在較多問題，容易混淆這兩個基本概念。這就需要教師針對函數(shù)極值和最值對學(xué)生進(jìn)行重點教學(xué)，讓學(xué)生深入理解兩者的異同點。

函數(shù)極值與最值問題，是單調(diào)函數(shù)常?？疾榈闹匾獌?nèi)容。很多學(xué)生對兩者的區(qū)別不是特別清楚，因此筆者會結(jié)合具體案例以便學(xué)生理解。例如：

函數(shù) y=x2，在區(qū)間[-1，1]和（-1，1）中是否均存在極值和最值呢？

這時，學(xué)生分析判斷后得出，在區(qū)間[-1，1]中存在極小值、最小值和最大值，沒有極大值；而在（-1，1）中只存在極小值、最小值。在這個時候。筆者給學(xué)生總結(jié)道：“在求解最大值和最小值時，要觀察函數(shù)所在的區(qū)間，并一定要注意它的開閉性?！苯又P者會問學(xué)生：“極大、極小值等同于最大、最小值嗎？”有的學(xué)生認(rèn)為極值與最值是相等的，有的學(xué)生認(rèn)為極值與最值不相等。在這個時候，筆者會給學(xué)生出兩道函數(shù)題，讓學(xué)生去求極大值和極小值。例如：

函數(shù) y=x3-5x2+6，在區(qū)間[0，]和[-1，6]中，求解函數(shù)的極值和最值。

此時，學(xué)生通過求解發(fā)現(xiàn)，在第一個區(qū)間內(nèi)函數(shù)的極值與最值是相等的，而在第二個區(qū)間內(nèi)函數(shù)的極大值在 x=6 處。這時，筆者讓學(xué)生去分析極值與最值的步驟。學(xué)生通過上述題目得出，極值出現(xiàn)在 f'（x）=0 處，而最值需要統(tǒng)籌考慮極值和區(qū)間兩邊的值。這時，學(xué)生對函數(shù)單調(diào)區(qū)間有更為明確的認(rèn)識，理解極值與最值的基本內(nèi)涵。

函數(shù)單調(diào)性在教學(xué)中占據(jù)重要地位，需要學(xué)生掌握函數(shù)單調(diào)性的求解步驟，按照規(guī)范的要求來求解。這就需要教師在教學(xué)中，從函數(shù)定義域、單調(diào)性的基本概念、函數(shù)圖象和導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系、區(qū)分最值和極值關(guān)系入手，講清函數(shù)單調(diào)性的基本知識，使學(xué)生全面理解與掌握，從而提高學(xué)生的解題能力。

（責(zé)編 盧建龍）