構造函數(shù)法在不等式證明中的應用

廣東順德德勝學校528333 唐國秋

構造函數(shù)法在不等式證明中的應用

廣東順德德勝學校528333 唐國秋

構造函數(shù)法,是導數(shù)中的一個非常重要的方法,在導數(shù)中應用非常普遍,它很好地把數(shù)學中的各種方法聯(lián)系起來,比如作差法、放縮法、化歸法,也滲透著探索、概括、歸納的思想.能不能構造出一個適宜的函數(shù),往往決定著題目能不能順利解決,也體現(xiàn)學生的基本功是不是很扎實.本人研究近幾年的高考試題,總結(jié)幾類常見的構造函數(shù)的技巧,從而提高學生分析,解決問題的能力.

一、利用作差,構造函數(shù)

例1證明：當x＞0時,lnx＜x.

評注函數(shù)的不等式問題,應用導數(shù)工具的策略是：作差構造函數(shù).這種類型一般都是把式子全部移到不等式的一邊,構造輔助函數(shù),利用導數(shù)工具研究輔助函數(shù)的性質(zhì)、最值進而得證.

變式練習證明：當x∈(0,π)時,sinx＜x.

簡析構造函數(shù)f(x)=x-sinx,通過f(x)求導,得y=f(x)在x∈(0,π)單調(diào)遞增,得最小值f(0)=0,得證.

二、分離變量,構造函數(shù)

例2已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.對一切的x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

解析 ?x∈(0,+∞),有2xlnx≥-x2+ax-3,則

評注 對于一些含有參數(shù)的恒成立問題,可以把參數(shù)分離出來,然后把不等式的另一邊構造輔助函數(shù),利用導數(shù)工具研究輔助函數(shù)的最值,求解問題.

三、挖掘相似結(jié)構,構造函數(shù)

例3已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a＞0,函數(shù)f(x)的圖像上取定點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),(x1＜x2),記直線AB的斜率為k.證明：存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=k成立.

證明 由題意知,

令F(t)=et-t-1,則F′(t)=et-1

當 t＜ 0時,F′(t)＜ 0,F(t)單調(diào)遞減;當 t＞ 0時,F′(t)＞0,F(t)單調(diào)遞增.故F(t)＞F(0)=0,即

所以φ(x1)＜0,φ(x2)＞0.

因為函數(shù)y=φ(x)在區(qū)間[x1,x2]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在x0∈(x1,x2)使φ(x0)=0即f′(x0)=k成立.

評注 本題要善于挖掘出(x2-x1),把(x2-x1)看做一個整體t,進而構造輔助函數(shù).這種類型的題往往有多變量,把多變量“湊”成相同的結(jié)構,然后把這個結(jié)構記為整體,就變成一個變量了.數(shù)學中的整體觀,大局觀在構造函數(shù)中很重要.

四、合理放縮,構造函數(shù)

(I)求a,b的值.

證明 (I)a=0,b=-1,過程略;

(II)當x＞0時,由均值不等式得

則當0＜x＜2時,

所以 g(x)在 (0,2)內(nèi)是遞減函數(shù),又 g(0)=0,因為h′(x)＜0所以h(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù),又h(0)=0,所以h(x)＜0,所以當

評注 此題導函數(shù)比較復雜,直接分析導函數(shù),根本得不到單調(diào)區(qū)間,需要我們對導函數(shù)通過放縮,化簡,得到一個適宜的函數(shù),然后才能順利地求導,得到最值.構造函數(shù)法在導數(shù)題目中是一個很重要的方法,問題關鍵是要判斷導函數(shù)的符號,這是需要時刻清楚的.

對應練習已知a∈R,函數(shù)f(x)=4x3-2ax+a,證明：當0≤x≤1時,f(x)+|2-a|＞0.

簡析(1)當a≤2時,求g′(x),得g(x)＞0,得證.

五、構造“原函數(shù)”

例5(2015高考福建,理10)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=-1,其導函數(shù)f′(x)滿足f′(x)＞k＞1,則下列結(jié)論中一定錯誤的是（）

證明 由已知條件,構造函數(shù)g(x)=f(x)-kx,則g′(x)=f′(x)-k＞0,故函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增,且所以進而所以一定錯誤的是C,選項D無法判斷;構造函數(shù)h(x)=f(x)-x,則h′(x)=f′(x)-1＞0,所以函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增,且所以即選項A,B無法判斷,故選C.

評注 這些類型題目的特點是條件中有f′(x)這樣的式子.本題通過條件中f′(x)＞k＞ 1,構造出原函數(shù)g(x)=f(x)-kx和h(x)=f(x)-x,從而h(x),g(x)單調(diào)增,再分析得解.構造函數(shù)的思維采取了逆推,利用導數(shù)形式構造出原函數(shù).

變式練習設函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導函數(shù),f(-1)=0,當x＞0時,xf′(x)-f(x)＜0,則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是( )

簡析構造函數(shù)即可.

總之構造函數(shù)具有很強的靈活性、創(chuàng)新性、綜合性,在解數(shù)學題時,需要觀察題目條件結(jié)構特點,發(fā)現(xiàn)條件中的關系,靈活構造出符合題目特點的函數(shù).