三角函數(shù)求解中的思維障礙

■廣東省惠州惠陽一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校 楊寧平

三角函數(shù)及解三角形知識中的公式多、概念廣,解題方法與技巧多樣,所以同學(xué)們經(jīng)常會出現(xiàn)遺漏條件、忽視范圍以及忘記分類等思維障礙,本文就其過程展示給大家,希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)能有所幫助。

1.圖像變換中忽略變換順序或缺少“整體變量觀念”。

錯(cuò)解分析:先周期后相位或先相位后周期,忽視變換順序,或缺少整體變量的觀念。

總結(jié):求三角函數(shù)的值域讓定義域先行且隱含有界性,同時(shí)把握三角公式中的二次關(guān)系式可換元化歸為一次函數(shù)或二次函數(shù),通過研究函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性求解。

2.三角形中忽視“大邊對大角、大角對大邊”的制約。在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c,且4bsinA=7a。若a,b,c成等差數(shù)列,且公差大于0,求cosA-cosC的值。

錯(cuò)解分析:錯(cuò)解中忽略了a＜b＜c對角A,B,C的限制,從而導(dǎo)致產(chǎn)生增解。

總結(jié):注意對“△ABC中,a＞b?A＞B?sinA＞sinB”的理解和應(yīng)用,可以幫助我們縮小角的范圍,正確地進(jìn)行取舍。本題易忽視“a,b,c成等差數(shù)列,且公差大于0”對角B的范圍的限制,導(dǎo)致思維受阻。

3.忽視題設(shè)條件中對角的制約關(guān)系。

在△ABC中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,則∠C的大小為( )。

總結(jié):解三角形問題中的題設(shè)條件常隱含角與角之間的制約關(guān)系,需要充分挖掘和應(yīng)用,如此題條件cos比較隱蔽,不易發(fā)現(xiàn),忽略常常出錯(cuò)。

4.忽視解三角形漏解或增解的檢驗(yàn)。在△ABC中,B=30°,AB=23,AC=2,求△ABC的面積。

總結(jié):已知兩邊和其中一邊的對角,求其他的邊和角,三角形解的情況可能是無解或一解或兩解,要依據(jù)三角形中大邊對大角進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜∩?也可通過作出圖形判斷三角形解的個(gè)數(shù)。