木棒摩擦銅碗發(fā)聲的實(shí)驗(yàn)探究

陳海深

(廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

·物理實(shí)驗(yàn)·

木棒摩擦銅碗發(fā)聲的實(shí)驗(yàn)探究

陳海深

(廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

本文由木棒摩擦銅碗發(fā)聲的現(xiàn)象引發(fā)思考,借助普通智能手機(jī)自帶的GoldWave軟件和朗威DISLab聲音傳感器探究其發(fā)聲原理，分別進(jìn)行摩擦銅碗(加水)發(fā)聲和敲擊銅碗(加水)發(fā)聲的實(shí)驗(yàn)探究,研究得出木棒摩擦銅碗發(fā)聲的初步實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

摩擦;銅碗;發(fā)聲;實(shí)驗(yàn)探究

圖1

如圖1，用手平托銅碗底部,用圓木棒沿銅碗邊緣摩擦并慢慢旋轉(zhuǎn),在開始摩擦?xí)r,木棒旋轉(zhuǎn)的頻率不能太快,摩擦幾圈后,開始聽到“嗡嗡”的響聲,隨著木棒連續(xù)穩(wěn)定地摩擦銅碗,“嗡嗡嗡”的聲響越來越大.若在銅碗中放入少量水,摩擦銅碗發(fā)聲時(shí)可見到銅碗中的“水花四濺”,與用手摩擦“魚洗”的“魚耳”時(shí)“水花四濺”的現(xiàn)象相似.所用銅碗規(guī)格如表1所示.

表1 銅碗規(guī)格

探究木棒摩擦銅碗發(fā)聲時(shí),由于存在手與棒的驅(qū)動(dòng)力,在驅(qū)動(dòng)力作用下銅碗產(chǎn)生振動(dòng).當(dāng)“嗡嗡”的聲響較大時(shí),推測(cè)是銅碗的驅(qū)動(dòng)力頻率與其固有頻率大致相同產(chǎn)生的共振.首先考慮測(cè)量銅碗固有頻率,物理學(xué)中常用聲學(xué)法測(cè)量木工銑刀的頻譜圖,借助傳感器測(cè)量聲音的頻譜圖,觀察振幅最大時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率即為銅碗的固有頻率,為了驗(yàn)證推測(cè)進(jìn)行以下實(shí)驗(yàn).

1 借助手機(jī)GoldWave軟件探究木棒摩擦銅碗的發(fā)聲頻譜

首先,左手平托銅碗底部,用圓木棒沿銅碗邊緣開始摩擦,盡量保持穩(wěn)定頻率旋轉(zhuǎn)摩擦,在安靜的室內(nèi)環(huán)境利用智能手機(jī)GoldWave軟件記錄并觀察木棒摩擦銅碗發(fā)聲的頻譜，如圖2所示.

圖2 木棒摩擦銅碗發(fā)聲的頻譜

從圖2中看出頻率隨時(shí)間變化的關(guān)系圖,發(fā)現(xiàn)有一條明顯的黑線,其頻率為700 Hz.這個(gè)頻率顯然不是銅碗的固有頻率,因?yàn)槿耸帜Σ赁D(zhuǎn)動(dòng)的頻率不可能達(dá)到700 Hz,故利用共振求固有頻率的方法不可行.根據(jù)圖3的欠阻尼振動(dòng)波形圖,推測(cè)木棒停止摩擦銅碗后的發(fā)聲可能是阻尼振動(dòng),而阻尼振動(dòng)是因?yàn)檎駝?dòng)系統(tǒng)受阻力作用而振幅減小的運(yùn)動(dòng).

圖3 欠阻尼振動(dòng)圖像

2 木棒摩擦銅碗發(fā)聲實(shí)驗(yàn)原理探析

對(duì)于常見彈簧振子系統(tǒng)受到阻尼振動(dòng),根據(jù)牛頓第二定律，有

(1)

其中ω0為物體的固有圓頻率,β為阻尼因數(shù).

依據(jù)微分方程理論,在實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到振幅隨時(shí)間衰減且周期性變化,判斷這是欠阻尼狀態(tài),對(duì)于欠阻尼狀態(tài)有

(2)

由于阻尼振動(dòng)不是周期運(yùn)動(dòng),但cos(ω′t+α)是周期變化的,它保證了質(zhì)點(diǎn)連續(xù)兩次通過平衡位置并沿相同方向運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間間隔相同，即

(3)

木棒摩擦銅碗發(fā)聲若是受迫振動(dòng),則需要進(jìn)一步分析欠阻尼狀態(tài)下受迫振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(4)

其中β、f0和ω0為參數(shù).根據(jù)微分方程理論可求解出(4)式的解為

x=Ae-β tcos(ω′t+α)+A0cos(ωt+φ).

(5)

A和α是由初始條件決定的,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)包含兩個(gè)分運(yùn)動(dòng),其中x=Ae-β tcos(ω′t+α)是阻尼振動(dòng),是受迫振動(dòng)的暫態(tài),與驅(qū)動(dòng)力無關(guān).第2項(xiàng)是受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài),x=A0cos(ωt+φ),穩(wěn)態(tài)表面看像簡諧運(yùn)動(dòng),但ω不是固有頻率,而是驅(qū)動(dòng)力頻率.可通過求阻尼狀態(tài)下的圓頻率ω′求固有圓頻率ω0.上述實(shí)驗(yàn)中得到相對(duì)穩(wěn)定的頻率為700 Hz,之前已排除是驅(qū)動(dòng)力頻率,故推測(cè)可能是阻尼狀態(tài)的頻率．但為什么出現(xiàn)一些相對(duì)穩(wěn)定簡諧波波形?分析發(fā)現(xiàn)彈性力-kx屬于保守力.它只能引起動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換,并不影響總的機(jī)械能．對(duì)整個(gè)系統(tǒng)而言,在全周期內(nèi)驅(qū)動(dòng)力做正功不斷補(bǔ)償消耗的能量使銅碗維持某一振幅振動(dòng),可以解釋為什么會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的簡諧波.故測(cè)量阻尼振動(dòng)狀態(tài)下的一段簡諧波,并試圖求出其周期、圓頻率和頻率.

3 借助DISLab探究木棒摩擦銅碗發(fā)聲實(shí)驗(yàn)

根據(jù)上述分析,用朗威DISLab聲音傳感器采集木棒摩擦銅碗發(fā)聲的聲音,觀察電腦顯示的振動(dòng)圖像,當(dāng)出現(xiàn)比較穩(wěn)定的圖像時(shí)停止摩擦,選取其中2～3處,調(diào)節(jié)好坐標(biāo)后截圖如圖4,圖5是停止摩擦后銅碗阻尼振動(dòng)的聲音振動(dòng)圖像.

圖4 摩擦銅碗發(fā)聲的振動(dòng)圖像

圖5 停止摩擦銅碗的振動(dòng)圖像

由于采用頻率為10 kHz,即兩個(gè)點(diǎn)之間時(shí)間間隔為0.0001 s.可以通過兩波峰之間的記數(shù)點(diǎn)計(jì)算出木棒摩擦銅碗發(fā)聲的周期、圓頻率、頻率如表2.

表2 銅碗發(fā)聲的周期、圓頻率、頻率

表3 銅碗發(fā)聲的振幅及阻尼因素

由表2和表3 求得銅碗固有圓頻率和周期分別為

由表4可知其發(fā)聲頻率處于中音.

表4 樂理中的音域與頻率

若往銅碗加入220 mL水和加600 mL水繼續(xù)摩擦發(fā)聲實(shí)驗(yàn),操作同實(shí)驗(yàn)1,實(shí)驗(yàn)截圖如圖6和圖7,并測(cè)得銅碗在水量不同的3種情況下的周期、頻率和圓頻率，見表5.

圖6 加220mL水的振動(dòng)圖像

圖7 加600mL水的振動(dòng)圖像

物理量不加水加220mL水加600mL水系統(tǒng)總質(zhì)量m/g368570966T′/s000140001500017f′/Hz714366675882ω=2πf/Hz448841893696

從上表數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)總質(zhì)量越大,周期越大.推測(cè)銅碗發(fā)聲類似彈簧振動(dòng).

4 摩擦銅碗(加水)發(fā)聲的實(shí)驗(yàn)探究

通過比較不同質(zhì)量下測(cè)量的周期與計(jì)算的周期之間的關(guān)系,進(jìn)一步推測(cè)銅碗加水組成的系統(tǒng)是否有類似于彈簧振子的振動(dòng).而對(duì)于在穩(wěn)定平衡位置附近的微小振動(dòng),根據(jù)力和勢(shì)能的關(guān)系,在穩(wěn)定平衡位置處,振動(dòng)系統(tǒng)的勢(shì)能必取最小值,而勢(shì)能曲線在穩(wěn)定狀態(tài)處應(yīng)該達(dá)到最低點(diǎn).根據(jù)力和勢(shì)能的關(guān)系,則有

(6)

又因?yàn)槠胶馐欠€(wěn)定的,所以有

(7)

現(xiàn)在將Ep(x)在x=0處泰勒級(jí)數(shù)展開,即

(8)

當(dāng)在位移足夠小時(shí),可以忽略x3以及更高次方項(xiàng),于是有

(9)

于是可得質(zhì)點(diǎn)的受力為

(10)

(11)

由此可知,kgt;0,于是(10)式變?yōu)?/p>

F(x)=-kx.

(12)

這正是回復(fù)力的表達(dá)式.因此,在穩(wěn)定平衡位置附近的微小振動(dòng)就是簡諧運(yùn)動(dòng),振動(dòng)的角頻率為

(13)

表6

圖8T2-m的關(guān)系

從數(shù)據(jù)的誤差分析中推斷銅碗與水組成的振動(dòng)系統(tǒng)明顯不滿足彈簧振子模型.

5 敲擊銅碗(加水)發(fā)聲的實(shí)驗(yàn)探究

用朗威DISLab聲音傳感器采集木棒敲擊銅碗發(fā)聲的聲音,盡量用同樣穩(wěn)定的頻率敲擊銅碗,并選取其中2～3處比較穩(wěn)定的振動(dòng)圖像,調(diào)節(jié)好坐標(biāo)后截圖并保存，如圖9、圖10.

圖9 加220 mL水敲擊的振動(dòng)圖像

圖10 加600 mL水敲擊的振動(dòng)圖像

用同樣方法測(cè)得在不同水量的3種情況下敲擊銅碗的周期、頻率和圓頻率，如表7.

表7 木棒敲擊銅碗(不同水量)發(fā)聲的物理參數(shù)

通過木棒敲擊銅碗發(fā)聲的波形圖如圖11,判斷明顯不是簡諧波,但通過分析發(fā)現(xiàn)它與同方向不同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)合成的波形圖以及形成拍的波形圖(如圖12)相似.

圖11 非簡諧運(yùn)動(dòng)合成圖

圖12 簡諧運(yùn)動(dòng)拍的合成

假設(shè)這是同方向不同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成:設(shè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向的簡諧運(yùn)動(dòng),頻率為ω10和ω20,為了突出頻率不同引起的效果,設(shè)振幅相同,且初相位均等于0,有

x1=Acosω10t,x2=Acosω20t.

(14)

合振動(dòng)的位移為

x=x1+x2=Acosω10t+Acosω20t.

(15)

利用三角函數(shù)和差化積得

(16)

A調(diào)(t)=2Acosω平t,x=A調(diào)(t)cosω平t.

若敲擊銅碗發(fā)聲時(shí)是由兩個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)合成，有

不加水敲時(shí)，

加220 mL水時(shí)，

加600 mL水時(shí)，

從計(jì)算結(jié)果分析,頻率之和并沒有遠(yuǎn)大于頻率之差,形成的波形圖不是拍的波形圖.數(shù)據(jù)分析推斷敲擊銅碗振動(dòng)發(fā)聲可以近似看成是兩個(gè)同方向不同頻率的簡諧波的振動(dòng)合成.在同一介質(zhì)中兩列頻率、振動(dòng)方向且振幅也相同的簡諧波,在同一直線沿相反方向傳播時(shí)疊加成駐波,進(jìn)一步判斷是因?yàn)槟景裟Σ零~碗振動(dòng)產(chǎn)生的聲波是駐波.

通過設(shè)定適當(dāng)條件的x軸和y軸得到摩擦銅碗發(fā)聲的振動(dòng)圖像如圖13和停止摩擦銅碗發(fā)聲的振動(dòng)圖像如圖14.

圖13 摩擦銅碗發(fā)聲的振動(dòng)圖像

圖14 停止摩擦銅碗的振動(dòng)圖像

6 實(shí)驗(yàn)初步結(jié)論

實(shí)驗(yàn)測(cè)得銅碗的固有圓頻率為173.5 Hz,固有頻率為1090 Hz,品質(zhì)因數(shù)為2.08.木棒摩擦銅碗發(fā)聲的振動(dòng)屬于受迫振動(dòng),停止摩擦后是欠阻尼振動(dòng).驅(qū)動(dòng)力大小和頻率維持在某個(gè)穩(wěn)定數(shù)值時(shí),使銅碗在阻尼狀態(tài)中維持某個(gè)振幅的暫態(tài)振動(dòng),并可得到確切的數(shù)值解釋為什么木棒連續(xù)穩(wěn)定摩擦銅碗發(fā)聲能得到一段連續(xù)的簡諧波.發(fā)出“嗡嗡嗡”的聲音是因?yàn)槟景裟Σ零~碗發(fā)聲產(chǎn)生的是駐波.木棒敲擊銅碗振動(dòng)發(fā)聲的聲波是由幾個(gè)簡諧波合成的,但不能形成拍.

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2 張三慧.大學(xué)物理學(xué)(第3版)B版[M].北京:清華大學(xué)出版社,2009.

3 盧德馨.大學(xué)物理學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2003.

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本文為2016廣西高等教育本科教學(xué)改革工程項(xiàng)目重點(diǎn)課題“探索理科師范生探究教學(xué)能力發(fā)展的培養(yǎng)體系構(gòu)建”(課題批準(zhǔn)號(hào):2016JGZ113)階段性成果；廣西高校中青年教師基礎(chǔ)能力提升課題“理科生從事科普活動(dòng)資源開發(fā)的實(shí)踐研究”(批號(hào)：2017KY0047)階段性成果.

2017-02-28)