全樣本場合下兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布的統(tǒng)計分析

徐曉嶺，王蓉華，顧蓓青*

(1. 上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 統(tǒng)計與信息學(xué)院，上海 201620； 2. 上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234)

全樣本場合下兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布的統(tǒng)計分析

徐曉嶺1，王蓉華2，顧蓓青1*

(1. 上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 統(tǒng)計與信息學(xué)院，上海 201620； 2. 上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234)

通過對數(shù)變換給出了求兩參數(shù)Birnbaum-Saunders(BS)疲勞壽命分布BS(α,β)在全樣本場合下參數(shù)的對數(shù)矩估計，并通過大量Monte-Carlo模擬比較了各種點估計方法的精度.基于對數(shù)變換通過一階泰勒展開，將兩參數(shù)BS疲勞壽命分布BS(α,β)近似看作兩參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布，由此得到了2個參數(shù)α,β的近似區(qū)間估計，通過Monte-Carlo模擬發(fā)現(xiàn)，所給出的近似方法比原有方法更精確.最后通過若干實例說明了方法的可行性.

兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布；形狀參數(shù)；刻度參數(shù)；點估計；近似區(qū)間估計

Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布是概率物理方法中的一個重要失效模型，該模型是BIRNBANUM和SAUDERS[1]于1969年在研究主因裂紋擴展導(dǎo)致材料失效過程中推導(dǎo)而來，主要應(yīng)用于疲勞失效研究，它比常用壽命分布如Weibull分布等更適合描述某些由疲勞引起失效的產(chǎn)品壽命失效規(guī)律.

設(shè)T服從兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS(α,β)，其分布函數(shù)與密度函數(shù)分別為：

其中，α>0為形狀參數(shù)，β>0為刻度參數(shù)(或者稱為尺度參數(shù))，φ(x),Φ(x)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)，即

關(guān)于兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS(α,β)的統(tǒng)計分析方法已有眾多研究[1-29].需要指出的是，2014年BALAKRISHNAN等[28]證明了在定數(shù)截尾和定時截尾下兩參數(shù)BS分布參數(shù)的MLE存在且唯一，這一結(jié)果說明當(dāng)形狀參數(shù)α>2時，文獻[4]關(guān)于似然函數(shù)有多個極值點這一看法是不正確的.關(guān)于兩參數(shù)BS分布刻度參數(shù)的區(qū)間估計通常采用文獻[19-20]所提出的2種方法，徐曉嶺等[29]通過Monte-Carlo模擬說明這2種方法可能無法得到參數(shù)β的區(qū)間估計.

論文通過對數(shù)變換給出了求兩參數(shù)BS疲勞壽命分布BS(α,β)在全樣本場合下參數(shù)的對數(shù)矩估計.基于對數(shù)變換通過一階泰勒展開，將兩參數(shù)BS疲勞壽命分布BS(α,β)近似看作兩參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布，由此得到了2個參數(shù)α,β的近似區(qū)間估計，通過Monte-Carlo模擬發(fā)現(xiàn)，本文的近似方法比原有方法更精確.最后通過若干實例說明方法的可行性.

1 參數(shù)點估計的綜合比較分析

1.1方法1：參數(shù)點估計的新方法——對數(shù)矩估計

設(shè)T1,T2,…,Tn為來自Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布總體T～BS(α,β)的一個容量為n的簡單隨機樣本，其樣本觀察值為t1,t2,…,tn.

若k為奇數(shù)時，E(Zk)=0；若k為偶數(shù)時，

Y的分布函數(shù)FY(y)和密度函數(shù)fY(y)分別為： 對-∞

E(Y)=μ+2E(Z)=μ，

E(Y2)=μ2+4E(Z2)=

引理1[30]設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X的容量為n的一個簡單隨機樣本，記E(X)=μ，D(X)=σ2<+∞，該總體X的4階中心矩v4=E(X-EX)4有限，若函數(shù)h(x)的四階導(dǎo)數(shù)存在且有界，則有

證明Y=2Z+μ,E(Y)=μ,Y-E(Y)=2Z，

則Y的一至四階中心矩為：

v1=E[Y-E(Y)]=0，

v2=E[Y-E(Y)]2=4E(Z2)=

v3=E[Y-E(Y)]3=8E(Z3)=0，

v4=E[Y-E(Y)]4=16E(Z4)=

令函數(shù)h(x)=ex，h(x)的任意階導(dǎo)數(shù)任為ex，則

易證上述方程有唯一正實根.

1.2 方法2： 參數(shù)的極大似然估計[2， 14]

似然函數(shù)為：

L(α,β)=

化簡得僅含參數(shù)β的超越方程：

需要指出的是，極大似然估計需要解非線性方程組，且計算較為復(fù)雜.

1.3 方法3： 矩估計

作簡單運算，可得BS(α,β)分布的如下特征.

引理2[14]設(shè)隨機變量T～BS(α,β)，則

(1)T-1～BS(α,β-1)；

化簡得僅含參數(shù)α的超越方程：

6α4+8α2+4=cα4+4cα2+4c，

即 (c-6)α4+4(c-2)α2+4(c-1)=0，

Δ=16(c-2)2-16(c-6)(c-1)=

16(3c-2)>0，

又 (c-2)2-(3c-2)=c2-7c+6=

(c-1)(c-6).

要使方法3的矩估計存在，則樣本數(shù)據(jù)應(yīng)滿足： 1

表1 10 000次模擬中滿足c≥6的次數(shù)

Table 1 The number that satisfies c≥6 in 10 000 times of simulations

1.4 方法4： 矩估計

從中可解得參數(shù)β,α的矩估計分別為：

1.5 方法5： 逆矩估計

文獻[15]給出了參數(shù)的逆矩估計如下：

1.6 方法6： 分位數(shù)估計

設(shè)T1,T2,…,Tn為來自Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布總體T～BS(α,β)的一個容量為n的簡單隨機樣本，其次序統(tǒng)計量記為T(1)≤T(2)≤…≤T(n).

進而參數(shù)α的點估計可取為

1.7 方法7： 回歸估計

文獻[21]利用回歸分析模型，給出了如下參數(shù)的最小二乘估計：

1.8 方法8： 回歸估計

由于

則

進而，

1.9 方法9： 回歸估計

由于

1.10 參數(shù)點估計的模擬及比較分析

比較上述9種點估計方法，方法2由于涉及復(fù)雜的超越方程求解，在此不推薦使用.

下面通過10 000次Monte-Carlo模擬比較方法1、方法3～方法9的β點估計的精度.給定樣本容量n=10,20,30,35，參數(shù)α=0.5,1,1.5，β=1，通過10 000次模擬得參數(shù)β的估計均值與均方差(其中方法3都滿足1

(1) 固定n，隨著α的增大，參數(shù)β估計的均值與真值的偏差增大，均方誤差也增大；

(2) 固定參數(shù)α的真值，參數(shù)β的估計隨著n的增加變精確；

(3) 方法1，4，5中參數(shù)β估計的無偏性較為明顯，同時其均方誤差也較小，相對而言，方法4的均方誤差更小，方法5與方法1均方誤差很接近.

下面通過10 000次Monte-Carlo模擬，比較方法1、方法3～方法8(方法9與方法8同)的α點估計的精度.給定樣本容量n=10,20,30,35，參數(shù)α=0.5,1,1.5，β=1，通過10 000次模擬得參數(shù)α的估計均值與均方差(其中方法3都滿足1

(1) 固定α，隨著n的增大，參數(shù)α估計的均方誤差在減少，即估計變精確；

(2) 方法1、方法4～方法7的均方誤差相差不大，考慮到其均值，使用方法6或方法7更合理.

2 參數(shù)區(qū)間估計的比較分析

首先，給出利用對數(shù)正態(tài)分布求參數(shù)的區(qū)間估計方法(記為方法2)，進而通過Monte-Carlo模擬與文獻[20-21]的方法(記為方法1)比較分析(在方法1能得到刻度參數(shù)β的區(qū)間估計的前提下).

記參數(shù)μ=lnβ，令Y=lnT,Yi=lnTi，i=1,2,…,n，則Y1,Y2,…,Yn為來自分布函數(shù)為

的一個容量為n的簡單隨機樣本，其次序觀察值記為y1,y2,…,yn.

表2 方法1、方法3～方法9參數(shù)β估計的Monte-Carlo模擬比較

Table 2 Comparisons on estimation methods 1, 3, 4,…, 9 of parameter β by Monte-Carlo simulations

表3 參數(shù)α估計方法的Monte-Carlo模擬比較

Table 3 Comparisons on estimation methods of parameter α by Monte-Carlo simulations

此時，

進而參數(shù)β的置信水平1-γ的近似區(qū)間估計為

參數(shù)α的置信水平1-γ的近似區(qū)間估計為

下面通過10 000次Monte-Carlo模擬，比較方法1、方法2關(guān)于參數(shù)α,β的區(qū)間估計的優(yōu)劣.給定樣本容量n=5,10,15，參數(shù)α=0.5,1,1.5，β=1，置信水平1-γ=0.90，通過10 000次模擬(方法1中的參數(shù)β的區(qū)間估計都存在)得參數(shù)α,β區(qū)間估計的平均下限、平均上限、平均長度，以及區(qū)間估計包含參數(shù)真值的次數(shù)，結(jié)果列于表4.可知方法1、方法2所得的區(qū)間估計包含參數(shù)的真值次數(shù)都大于9 000；方法2所得的區(qū)間估計的平均長度較方法1要短.可知方法2比方法1更優(yōu).

表4 參數(shù)區(qū)間估計的模擬比較

Table 4 Simulation comparisons of interval estimations of parameters

表5 例1的參數(shù)點估計

Table 5 Point estimations of parameters in example 1

3 計算實例

例1[14]數(shù)據(jù)來自BJERKEDAL(1960), 也被GUPTAETAL(1997)分析過.數(shù)據(jù)表示幾內(nèi)亞豬注射不同劑量結(jié)核桿菌的生存時間.幾內(nèi)亞豬對結(jié)核桿菌的敏感性比人類更高，首先關(guān)注在相同籠子里用相同養(yǎng)殖法養(yǎng)殖的豬.對于文中的養(yǎng)殖方法，有如下72個觀測值：

12，15，22，24，24，32，32，33，34，38，38，43，44，48，52，53，54，54，55，56，57，58，58，59，60，60，60，60，61，62，63，65，65，67，68，70，70，72，73，75，76，76，81，83，84，85，87，91，95，96，98，99，109，110，121，127，129，131，143，146，146，175，175，211，233，258，258，263，297，341，341，376.

經(jīng)計算得：c=1.651 2,d=0.063 1.

取置信水平為0.90，

利用區(qū)間估計方法1、方法2得參數(shù)β,α的置信水平為0.90的區(qū)間估計，如表6如示.

表6 例1的參數(shù)區(qū)間估計

Table 6 Interval estimations of parameters in example 1

例2[7]本實例中的數(shù)據(jù)集為6061-T6鋁合金的疲勞壽命.鋁合金的切取位置應(yīng)平行于軋制方向，振蕩頻率為18 Hz.該數(shù)據(jù)集包括101個觀測值，最大應(yīng)力為31 000 Pa.數(shù)據(jù)如下：

70， 90， 96， 97， 99，100，103，104，104，105，107，108，108，108，109，109，112，112，113，114，114，114，116，119，120，120，120，121，121，123，124，124，124，124，124，128，128，129，129，130，130，130，131，131，131，131，131，132，132，132，133，134，134，134，134，134，136，136，137，138，138，138，139，139，141，141，142，142，142，142，142，142，144，144，145，146，148，148，149，151，151，152，155，156，157，157，157，157，158，159，162，163，163，164，166，166，168，170，174，196，212.

經(jīng)計算得：c=1.027 7,d=0.003 6.

表7 例2的參數(shù)點估計

Table 7 Point estimations of parameters in example 2

表8 文獻[7]中參數(shù)的其他幾種點估計

Table 8 Other point estimations of parameters in reference[7]

文獻[7]還給出了其他幾種估計：

取置信水平為0.90，

取置信水平為0.95，

利用區(qū)間估計方法1、方法2得參數(shù)β,α的置信水平為0.90,0.95時的區(qū)間估計，如表9如示.

表9 例2的參數(shù)區(qū)間估計

Table 9 Interval estimations of parameters in example 2

例3[31]對于空氣污染物濃度，假定數(shù)據(jù)不相關(guān)且相互獨立，因此，一晝夜或循環(huán)趨勢分析是無必要的.這一假設(shè)得到了很多學(xué)者(包括GOKHALE和KHARE等)的支持.例如，環(huán)境數(shù)據(jù)有時以均值作為指標(biāo)，因此空間-時間依賴性不復(fù)存在.以下數(shù)據(jù)對應(yīng)的是1973年5～9月紐約每日的臭氧濃度(由紐約州環(huán)境保護部提供)： 41，36， 12，18，28，23，19， 8， 7，16，11，14，18，14，34，6，30，1，11，4，32，23，45，115，37，29，71，39，23，21，37，20，12，13，49，32，64，40，77，97，97，85，10， 27，7，48，35，61，79，63，16，108，20，52，82，50，64，59，39，9，16，78，35，66，122，89，110，44，65，22，59，23，31，44，21，9，45，168，73，76，118，84，85， 96，78，91，47，32，20，23，21，24，44，21，28，9，13，46，18，13，24，16，23， 36，7，14，30，14，18，20，11，135，80，28，73，13.

表10 例3的參數(shù)點估計

Table 10 Point estimations of parameters in example 3

經(jīng)計算得：c=1.607 8,d=0.092 8.

取置信水平為0.90，

利用區(qū)間估計方法1、方法2得參數(shù)β,α的置信水平為0.90時的區(qū)間估計，如表11如示.

表11 例3的參數(shù)區(qū)間估計

Table 11 Interval estimations of parameters in example 3

例4[32](1) 第1個實例是有關(guān)洪水峰值的超過數(shù)，含1958～1984年共72個超過數(shù)，四舍五入到小數(shù)點后1位，數(shù)據(jù)如下：

1.7，2.2，14.4，1.1，0.4，20.6，5.3，0.7，1.9，13.0，12.0，9.3，1.4，18.7，8.5，25.5，11.6，14.1，22.1，1.1，2.5，14.4，1.7，37.6，0.6，2.2，39.0，0.3，15.0，11.0，7.3，22.9，1.7，0.1，1.1，0.6，9.0，1.7，7.0，20.1，0.4，2.8，14.1，9.9，10.4，10.7，30.0，3.6，5.6，30.8，13.3，4.2，25.5，3.4，11.9，21.5，27.6，36.4，2.7，64.0，1.5，2.5，27.4，1.0，27.1，20.2，16.8，5.3，9.7，27.5，2.5，27.0.

經(jīng)計算得：c=2.001 2,d=0.247 5.

表12 例4第1個實例的參數(shù)點估計

Table 12 Point estimations of parameters in the first case of example 4

取置信水平為0.90，

利用區(qū)間估計的方法1、方法2得參數(shù)β,α的置信水平為0.90時的區(qū)間估計，如表13如示.

表13 例4第1個實例的參數(shù)區(qū)間估計

Table 13 Interval estimations of parameters in the first case of example 4

(2) 第2個實例是有關(guān)50個工業(yè)設(shè)備的使用期，時間為零時進行壽命測試，數(shù)據(jù)如下：

0.1，0.2，1，1，1，1，1，2，3，6，7，11，12，18，18，18，18，18，21，32，36，40，45，46，47，50，55，60，63，63，67，67，67，67，72，75，79，82，82，83，84，84，84，85，85，85，85，85，86，86.

經(jīng)計算得：c=1.506 2,d=0.382.

取置信水平為0.90，

利用區(qū)間估計方法1、方法2得參數(shù)β,α的置信水平為0.90時的區(qū)間估計，如表15如示.

表14 例4第2個實例的參數(shù)點估計

Table 14 Point estimations of parameters in the second case of example 4

表15 例4第2個實例的參數(shù)區(qū)間估計

Table 15 Interval estimations of parameters in the second case of example 4

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XU Xiaoling1, WANG Ronghua2, GU Beiqing1

(1.SchoolofStatisticsandInformation,ShanghaiUniversityofInternationalBusinessandEconomics,Shanghai201620,China; 2.MathematicsandScienceCollege,ShanghaiNormalUniversity,Shanghai200234,China)

Statisticalanalysisoftwo-parameterBirnbaum-Saundersfatiguelifedistributionunderfullsample. Journal of Zhejiang University(Science Edition),2017，44(6)： 692-704

The logarithmic moment estimations of parameters are proposed by logarithmic transformation for two-parameter Birnbaum-Saunders(BS) fatigue life distribution BS(α,β) under the full sample. The precisions of various point estimation methods are compared by a large number of Monte-Carlo simulations. Two-parameter BS fatigue life distribution BS(α,β) is approximately regarded as two-parameter lognormal distribution through the first order Taylor expansion based on logarithmic transformation. Then, the approximate interval estimations of two parametersα,βare obtained, and it can be found that this approximate method is more accurate than the original method by Monte-Carlo simulations. Finally, several examples show the feasibility of the methods.

two-parameter Birnbaum-Saunders fatigue life distribution; shape parameter; scale parameter; point estimation; approximate interval estimation

2016-12-07.

國家自然科學(xué)基金資助項目 (11671264).

徐曉嶺(1965—)，ORCID: http//orcid. org/0000-0002-9442-8555，男，博士，教授，主要從事應(yīng)用統(tǒng)計研究，E-mail：xlxu@suibe.edu.cn.

*通信作者： ORCID: http//orcid. org/0000-0003-1539-8747，E-mail：gubeiqing@suibe.edu.cn.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.06.008

O 213

A

1008-9497(2017)06-692-13