飽和輸入限制下欠驅(qū)動自主水下航行器水平面航跡跟蹤控制

江夢潔， 李家旺， 呂艷芳， 周家煒， 黃漢濤

(寧波大學(xué) 海運(yùn)學(xué)院, 浙江 寧波 315211)

飽和輸入限制下欠驅(qū)動自主水下航行器水平面航跡跟蹤控制

江夢潔， 李家旺， 呂艷芳， 周家煒， 黃漢濤

(寧波大學(xué) 海運(yùn)學(xué)院, 浙江 寧波 315211)

針對控制輸入存在飽和限制的欠驅(qū)動自主水下航行器水平面航跡跟蹤問題，提出了一種飽和控制方法。在航跡跟蹤誤差方程基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種誤差信號觀測器對原有跟蹤誤差進(jìn)行近似，以避免由于跟蹤誤差直接求導(dǎo)所引起的控制器表達(dá)式的復(fù)雜化現(xiàn)象；推導(dǎo)得到一種新的誤差動力學(xué)方程，通過引入一種光滑有界函數(shù)作為輸入飽和條件的近似，以及一種Nussbaum型偶函數(shù)，設(shè)計(jì)了飽和動力學(xué)控制器；根據(jù)Lyapunov理論證明了該控制器能夠使得自主水下航行器在控制輸入飽和限制下，可以實(shí)現(xiàn)對任意光滑水平面航跡的跟蹤控制，并保證跟蹤誤差是全局最終一致有界的。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該設(shè)計(jì)方法是有效的，且對于模型參數(shù)誤差具有一定的魯棒性。

控制科學(xué)與技術(shù)； 欠驅(qū)動自主水下航行器； 輸入飽和； 跟蹤控制； 誤差觀測器； Nussbaum型函數(shù)

0 引言

自主水下航行器(AUV)已經(jīng)成為重要的軍用和民用海洋裝備之一。AUV的平面跟蹤自動控制問題也一直是控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。對于這類問題，其難點(diǎn)主要在于AUV具有明顯的欠驅(qū)動特性，即在某些自由度上不存在有效輸入。目前，國內(nèi)外的研究人員針對該類問題已經(jīng)獲得了很多研究成果。在這些研究成果中，根據(jù)平面參考軌跡生成方式的不同，主要分為兩類：軌跡跟蹤和航跡跟蹤。在軌跡跟蹤問題中，參考軌跡由“虛擬模型”產(chǎn)生，該模型具有和真實(shí)的AUV相同的動力學(xué)特性，可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)AUV位置和方向角的跟蹤[1-4]，但參考軌跡的形式存在很多限制，且難以提前設(shè)定，因此在實(shí)際應(yīng)用時(shí)存在很大的局限性。與之不同，在航跡跟蹤問題中，僅要求AUV實(shí)現(xiàn)位置跟蹤，使得參考軌跡可以是提前設(shè)定的任意平面曲線或一系列航跡點(diǎn)，因此其更能體現(xiàn)實(shí)際中AUV的跟蹤需求[5-10]。

需要指出的是，上述研究成果均未考慮控制輸入的飽和限制問題，因此，所設(shè)計(jì)的控制方法在實(shí)際應(yīng)用中可能無法達(dá)到預(yù)期的控制性能。為此，文獻(xiàn)[11]研究了存在速度和輸入飽和限制的欠驅(qū)動船舶的航跡跟蹤問題，但其未考慮建模誤差與環(huán)境干擾的影響。文獻(xiàn)[12]針對某型存在輸入飽和限制的AUV，提出了一種基于線性矩陣不等式(LMI)方法的水平面路點(diǎn)跟蹤策略，但其僅能保證跟蹤誤差的局部穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[13]基于多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和自適應(yīng)魯棒控制方法設(shè)計(jì)了一種航跡跟蹤控制器以降低建模誤差和環(huán)境干擾的不利影響，但其控制器形式較為復(fù)雜，且并未從嚴(yán)格意義上證明誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

在上述研究基礎(chǔ)上，本文針對帶有飽和控制輸入的欠驅(qū)動AUV的水平面航跡跟蹤問題進(jìn)行了研究。主要工作和創(chuàng)新點(diǎn)包括：1) 基于跟蹤誤差方程，提出了一種誤差觀測器模型，并以觀測值作為新的控制對象，建立了新的誤差動力學(xué)方程，從而避免了由于對原始跟蹤誤差信號的直接求導(dǎo)所引起的控制器“膨脹”現(xiàn)象；2) 通過引入一種Nussbaum型偶函數(shù)，設(shè)計(jì)了欠驅(qū)動AUV的航跡跟蹤飽和控制器，使得AUV的控制輸入能夠在不觸發(fā)飽和情況下，實(shí)現(xiàn)對參考航跡的跟蹤。最后通過數(shù)值仿真方式對所設(shè)計(jì)的控制器的有效性和魯棒性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 AUV數(shù)學(xué)模型及問題描述

1.1 AUV水平面運(yùn)動模型

AUV水平面航跡跟蹤問題的示意圖及相關(guān)坐標(biāo)系定義如圖1所示。

在圖1中：Oxy表示地面坐標(biāo)系；BxByB表示隨體坐標(biāo)系，其中點(diǎn)B一般取在AUV的質(zhì)心或浮心處；Γ表示參考航跡；(xd,yd)表示當(dāng)前參考航跡點(diǎn)在Oxy中的坐標(biāo)。

假設(shè)AUV具有軸對稱外形，質(zhì)量均布，且升沉、縱搖和橫滾等運(yùn)動的影響可忽略不計(jì)，則AUV的3自由度水平面運(yùn)動方程[14]可表示為

(1)

(2)

由(1)式可以看出，AUV在ByB軸方向上不存在控制輸入，因此該AUV是欠驅(qū)動的。

在實(shí)際情況下，由于AUV的控制輸入始終是有限的，因此(1)式中的τ必然存在飽和限制，即

τi=sat(τi)=sgn (τi)min (|τi|,τimax),i=u,r,

(3)

式中：sat(·)表示飽和函數(shù)；sgn(·)表示標(biāo)準(zhǔn)符號函數(shù)；τumax和τrmax分別表示對應(yīng)輸入的最大值。

此外，由實(shí)際情況可知(1)式中的干擾項(xiàng)D(t)也是始終有界的。為了方便控制設(shè)計(jì)，對其作出以下假設(shè)。

假設(shè)1：環(huán)境干擾D(t)滿足|du|

不僅如此，將假設(shè)1和(3)式代入(1)式的第2個(gè)方程中，通過分析也不難得到，AUV的速度向量U必然是有界的。

此外，考慮到在實(shí)際情況下，AUV需要跟蹤的參考航跡隨時(shí)間的變化率應(yīng)為有限值，因此下面對參考航跡(xd,yd)做出限制。

1.2 問題描述

本文所研究的控制問題可描述為：針對由(1)式表示的AUV水平面運(yùn)動模型，對于給定的任意一條光滑的參考平面航跡(xd,yd)，在由(3)式表示的輸入飽和限制條件下，通過設(shè)計(jì)螺旋槳推力τu和舵轉(zhuǎn)矩τr，使得跟蹤誤差(xd-x,yd-y)收斂到原點(diǎn)附近一個(gè)有界的鄰域內(nèi)。

為此，定義以下跟蹤誤差變量：

(4)

式中：xe=xd-x；ye=yd-y；ψd表示AUV相對于參考坐標(biāo)點(diǎn)的視線角，具體定義為

ψd=0.5π[1-sgn (xe)]sgn (ye)+arctan (ye/xe),

(5)

由(5)式可知ψd∈[-π,π)。

對(4)式求導(dǎo)，可得跟蹤誤差方程如下：

(6)

式中：ξ=[e,ψe]T；U1=[u,r]T；H=diag{cosψe,1}；E=[Ee,Eψ]T，Ee和Eψ分別為

(7)

由(6)式不難得知，上述跟蹤控制問題等價(jià)于下述鎮(zhèn)定控制問題，即：通過設(shè)計(jì)τu和τr，使得跟蹤誤差變量(e,ψe)收斂到原點(diǎn)附近的有界鄰域內(nèi)。

2 控制設(shè)計(jì)

針對跟蹤誤差方程式(6)式，常用的控制方法包括反步法[9]和滑模控制法[10]等。但這些控制方法都需要對(6)式進(jìn)行直接求導(dǎo)，這不僅增加了設(shè)計(jì)難度，也會使得最終的控制器形式較為復(fù)雜而難以應(yīng)用。為此，本節(jié)中將給出一種控制設(shè)計(jì)方法以避免上述不足。該方法包含兩個(gè)部分：1)設(shè)計(jì)誤差觀測模型對(6)式進(jìn)行近似，以避免在后續(xù)設(shè)計(jì)中對其直接求導(dǎo)，從而避免出現(xiàn)控制器表達(dá)式“膨脹”現(xiàn)象；2) 根據(jù)跟蹤誤差變量的觀測值，定義新的誤差向量，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)飽和動力學(xué)控制器，以使得跟蹤誤差能夠收斂至零點(diǎn)附近的有界區(qū)域內(nèi)。

2.1 基于觀測估計(jì)的跟蹤誤差模型

針對(6)式，設(shè)計(jì)以下誤差信號觀測器：

(8)

(9)

其中λH和λE都是正常數(shù)。

根據(jù)(6)式和(8)式，可知觀測誤差滿足：

(10)

(11)

經(jīng)過簡單分析不難得知：

(12)

2.2 飽和控制器設(shè)計(jì)

(13)

式中：kξ>0；e=-δ，δ=[δ0,0]T表示期望的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差，δ0≥0. 對(13)式求導(dǎo)，并結(jié)合(1)式、(6)式、(8)式和(9)式，可得新的跟蹤誤差方程為

(14)

考慮到τu和τr滿足(3)式，為了方便設(shè)計(jì)，定義以下光滑有界函數(shù)作為(3)式的近似：

(15)

針對(14)式，為了鎮(zhèn)定新的誤差向量ξm，選擇控制輸入信號τu和τr如下：

(16)

(17)

式中：kχi和λχi均為正常數(shù)。

將(15)式～(17)式代入(14)式，可得跟蹤誤差方程為

(18)

以及控制誤差方程為

(19)

(20)

根據(jù)假設(shè)2，結(jié)合(7)式、(9)式和(12)式，利用Young不等式ab≤?a2/2+b2/2?，?a,b≥0，??>0，(20)式可簡化為

(21)

(22)

式中：χi0=χi(0)；χit=χi(t). 由(22)式可知，當(dāng)χit有界時(shí)，V(t)也是有界的。因此，為了證明V(t)的有界性，僅需證明χit是有界的。下面采用反證法進(jìn)行證明。

(23)

綜上可知，χit是有界的，因此V(t)也是有界的。而根據(jù)V(t)和X(t)之間關(guān)系，可知X(t)是有界的，進(jìn)而可知e,i、ξm,i和都是有界的。根據(jù)e,i定義，考慮到δ為常向量，因此i是有界的，而根據(jù)2.1節(jié)中相關(guān)結(jié)果可知，跟蹤誤差ξ也會收斂至零點(diǎn)附近的一個(gè)有界區(qū)域內(nèi)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證上述控制方法的性能，以文獻(xiàn)[10]中的“REMUS”AUV模型為對象進(jìn)行了相關(guān)仿真實(shí)驗(yàn)。該AUV模型的動力學(xué)方程為

(24)

式中：模型參數(shù)為mu=31.41 kg，mv=65.98 kg，mr=38.95 kg·m2，Xu=8.806 5 kg/s，Yv=65.545 7 kg/s，Nr=6.735 2 kg·m2·s；干擾項(xiàng)設(shè)定為du=sin (0.05t)，dv=cos (0.05t)，dr=0.5sin (0.05t). AUV的初始狀態(tài)設(shè)定為η(0)=[-20,80,-8π/9]T，U(0)=[0,0,0]T. 控制輸入的最大值為τumax=40 N和τrmax=20 N·s. AUV的參考水平面路徑設(shè)定為

(25)

控制參數(shù)設(shè)定為λξ=5，λH=1.5，λE=0.5，kξ=2，δ0=1，θ=0.9，kα=2，kζu=kζr=5，λα=15，λ0=100，ku=kr=20，dumax=drmax=10，λχu=λχr=0.1，kχu=107和kχr=104. 仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 AUV水平面航跡跟蹤仿真結(jié)果Fig.2 Simulated results of path tracking of AUVs on horizontal plane

由圖2可以看出，所設(shè)計(jì)的控制器能夠使得AUV在較短的時(shí)間內(nèi)跟蹤上參考航跡，并保證穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差始終保持在零點(diǎn)附近的一個(gè)小范圍內(nèi)。另外，在整個(gè)控制過程中，螺旋槳推力的最大值約為39.36 N，舵轉(zhuǎn)矩最大值約為7.33 N·m，都未觸發(fā)飽和現(xiàn)象。

考慮到在實(shí)際情況下，AUV模型參數(shù)可能存在一定的誤差，圖2中還給出了AUV模型存在建模誤差時(shí)的跟蹤仿真結(jié)果。其中，相關(guān)模型參數(shù)名義值取為mu0=0.5mu，mv0=0.7mv，mr0=1.4mr，Xu0=0.5Xu，Yv0=0.7Yv，Nr0=1.5Nr. 控制參數(shù)同前。由圖2可以看出，無論建模誤差存在與否，控制器均具有一致的穩(wěn)態(tài)跟蹤精度，且誤差收斂時(shí)間與控制輸入大小都十分接近，證明了所設(shè)計(jì)的控制器對于AUV建模誤差具有良好的魯棒性。

此外，為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文控制器的性能，對存在較大初始位置誤差條件下的AUV水平面航跡跟蹤問題進(jìn)行了數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，并分別與經(jīng)典PID方法和文獻(xiàn)[13]中方法做了對比，其中AUV的初始狀態(tài)設(shè)定為η(0)=[-250,100,π/3]T，U(0)=[0,0,0]T. 相關(guān)控制器參數(shù)的選擇滿足最佳控制性能要求，具體仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 較大初始誤差下的AUV水平面航跡跟蹤控制仿真對比Fig.3 Simulated results of path tracking of AUVs on horizontal plane with large initial tracking errors

由圖3可知，當(dāng)存在較大初始誤差時(shí)，本文的控制方法與文獻(xiàn)[13]中方法均實(shí)現(xiàn)了對參考航跡的跟蹤，且跟蹤誤差收斂時(shí)間與穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差均十分接近。而PID方法僅在控制過程后段實(shí)現(xiàn)了對參考航跡的跟蹤，但穩(wěn)態(tài)位置跟蹤誤差較大，且角度跟蹤誤差并未收斂。另外，在這3種控制方法中，文獻(xiàn)[13]方法與PID方法均觸發(fā)了控制器飽和現(xiàn)象，而本文的控制方法所產(chǎn)生的螺旋槳推力的最大值約為38.79 N，舵轉(zhuǎn)矩最大值約為17.9 N·m，都未觸發(fā)飽和現(xiàn)象。因此，本文的控制方法具有更好的綜合控制性能。

4 結(jié)論

本文對帶有飽和輸入限制條件的欠驅(qū)動AUV的水平面航跡跟蹤控制問題進(jìn)行了研究。針對位置和角度跟蹤誤差信號，設(shè)計(jì)了一種誤差觀測器，以避免由于對原始誤差信號直接求導(dǎo)所引發(fā)的控制器表達(dá)式“膨脹”現(xiàn)象。在此基礎(chǔ)上，建立了一種新的誤差動力學(xué)方程，針對該方程，考慮到控制輸入的飽和限制條件，通過引入一種Nussbaum型函數(shù)，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的飽和控制器，可使得AUV的水平面航跡跟蹤誤差最終收斂至零點(diǎn)附近的一個(gè)有界區(qū)域內(nèi)。仿真實(shí)驗(yàn)證明了所提出的方法是有效的，且對于建模誤差具有良好的魯棒性。此外，通過與現(xiàn)有控制方法的對比，也證明了本文方法具有更好的跟蹤精度與抗飽和性。后續(xù)的進(jìn)一步工作包括將本文中的控制方法拓展至AUV的三維空間航跡跟蹤問題以及相關(guān)的模型試驗(yàn)研究等。

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PathTrackingControlofUnderactuatedAutonomousUnderwaterVehiclesonHorizontalPlanewithinInputSaturationLimit

JIANG Meng-jie， LI Jia-wang， LYU Yan-fang， ZHOU Jia-wei， HUANG Han-tao

(Faculty of Maritime and Transportation, Ningbo University, Ningbo 315211, Zhejiang, China)

A saturation controller is designed for the path tracking control of underactuated autonomous underwater vehicles (AUVs) on the horizontal plane within input saturation limitation. A first-order observer is designed to estimate the tracking errors to avoid complicating the controller expressions due to the direct derivation of tracking errors. An improved error dynamic model is derived. A saturated dynamic control strategy for the actual inputs is proposed by utilizing smooth bounded functions as the estimations of the saturated inputs and introducing a Nussbaum-type even function. The stability analysis via the Lyapunov’s theory shows that the proposed controller can achieve the tracking of arbitrary smooth paths of AUVs on horizontal plane within input saturation limit, and the tracking errors are globally ultimately uniformly bounded. Some simulated results are presented to illustrate the effectiveness and robustness of the proposed controller.

control science and technology； underactuated AUV; input saturation; tracking control; error observer; Nussbaum-type function

TP273+.2

A

1000-1093(2017)11-2207-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.11.017

2017-05-08

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51309133)

李家旺(1981—), 男, 副教授, 碩士生導(dǎo)師。E-mail: lijiawang@nbu.edu.cn