電磁場中磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算及解析

黃丹

（吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院，吉林長春130000）

電磁場中磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算及解析

黃丹

（吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院，吉林長春130000）

電磁場的計(jì)算問題，主要?dú)w結(jié)為電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算.其中電場強(qiáng)度的計(jì)算問題已經(jīng)有很多文獻(xiàn)報(bào)道了，而對于磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算還沒有文獻(xiàn)報(bào)道.本文主要闡述了穩(wěn)恒磁場中磁場強(qiáng)度的幾種計(jì)算方法，并通過典型的例題，對畢奧-薩伐爾定律法和安培環(huán)路定理法的解題步驟和適用范圍做了詳細(xì)的討論.

磁感應(yīng)強(qiáng)度；畢奧-薩伐爾定律；安培環(huán)路定理

磁場是電磁場的重要組成部分，是磁體及運(yùn)動電荷周圍空間存在的一種特殊物質(zhì)，磁場與實(shí)物不同，它不是由分子和原子組成的，但磁場是客觀存在的.磁感應(yīng)強(qiáng)度是描述磁場性質(zhì)的一個(gè)重要物理量，掌握各種求解磁感應(yīng)強(qiáng)度的方法是學(xué)好電磁學(xué)的基礎(chǔ).本文主要對穩(wěn)恒磁場中磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算方法進(jìn)行歸納總結(jié)，并通過例題解析，闡明了畢奧-薩伐爾定律和安培環(huán)路定理求磁感應(yīng)強(qiáng)度的思路和方法.

1 磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的計(jì)算方法

磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算方法主要分為以下四種：

（2）畢奧-薩伐爾定律法；

（3）安培環(huán)路定理法.

本文重點(diǎn)討論第（2）、（3）種方法.

2 畢奧-薩伐爾定律

畢奧-薩伐爾定律是計(jì)算穩(wěn)恒磁場中磁感應(yīng)強(qiáng)度的一種重要方法，它是由法國物理學(xué)家畢奧和薩伐爾等人對載流導(dǎo)體產(chǎn)生的磁場做了大量的實(shí)驗(yàn)研究，并在數(shù)學(xué)家拉普拉斯的幫助下總結(jié)出來的[1].定律的內(nèi)容是任意一段電流元Idl→在真空中某一點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與電流元的大小dB及電流元和它到該點(diǎn)的位置矢量r之間的夾角的正弦乘積成正比，與位矢大小的平方成反比方向相同，這一結(jié)論稱為畢奧-薩伐爾定律[2].其數(shù)學(xué)表達(dá)式分為矢量式和標(biāo)量式，（1）矢量式（2）標(biāo)量式

利用此定律可以計(jì)算任意一段載流導(dǎo)線在其空間任意一點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，進(jìn)而得到其周圍的磁場分布情況.具體的解題步驟為：

（1）將載流導(dǎo)體分割成無限多個(gè)電流元,并用右手定則判斷每一段電流元在所求點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向.

（3）利用磁感應(yīng)強(qiáng)度的疊加法，求出所有電流元在該點(diǎn)所產(chǎn)生的總磁感應(yīng)強(qiáng)度

在實(shí)施（3）時(shí)有兩點(diǎn)需要注意：①.若磁場為二維或者三維場時(shí)，則需將先正交分解，然后再積分；②.如果被積分的含有多個(gè)變量，則需利用數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)關(guān)系，將多個(gè)變量統(tǒng)一成一個(gè)變量，然后再積分.

下面列舉兩道經(jīng)典例題，具體分析畢奧-薩伐爾定律的應(yīng)用.

例2.1求有限長載流直導(dǎo)線周圍的磁場.如圖1所示，在真空中有一通有電流為I的長直導(dǎo)線C D，直導(dǎo)線長為L，試求距此導(dǎo)線為r0的一點(diǎn)P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

圖1

解析建立如圖所示的坐標(biāo)軸，將載流導(dǎo)體分割成無限多個(gè)電流元，每一段電流元在P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向都是沿O x軸的負(fù)方向；任取一電流元Idz，根據(jù)畢奧—薩伐爾定律，此電流元在點(diǎn)P所激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為dB=

式中θ為電流元與位矢之間的夾角.由于直導(dǎo)線上各個(gè)電流元的的方向都相同.因此點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小就等于各個(gè)電流元的磁感應(yīng)強(qiáng)度之和，用積分表示，有

由于式中含有多個(gè)變量，利用數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)關(guān)系，將多個(gè)變量統(tǒng)一成一個(gè)變量，然后再積分.從圖可以看出z,r和θ之間有如下關(guān)系：z=-r0cotθ，r=r0/sinθ.

于是，dz=r0dθ/sin2θ，因而上式可寫成

若載流直導(dǎo)線為“無限長”直導(dǎo)線，那么，可近似取θ1=0，θ2=π.這樣由上式可得

這就是“無限長”載流直導(dǎo)線附近的磁感應(yīng)強(qiáng)度，它表明，其磁感應(yīng)強(qiáng)度與電流成正比，與場點(diǎn)到導(dǎo)線的垂直距離成反比，此結(jié)論與畢奧—薩伐爾早期的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一致的.

例2.2圓形載流導(dǎo)線軸線上的磁場.設(shè)在真空中，有一半徑為的載流導(dǎo)線，通過的電流為，通常稱作圓電流.試求通過圓心并垂直于圓形導(dǎo)線平面的軸線上任意點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

圖2

解析建立如圖所示的坐標(biāo)軸，將載流導(dǎo)線分成多個(gè)電流元，每一段電流元在P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向都是不同的；在圓上任取一電流元I dl→，根據(jù)畢奧—薩伐爾定律，該電流元在P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

由于每一段電流元在P點(diǎn)產(chǎn)生的dB的方向都不同,因此需將dB先正交分解，然后再積分.取d分解成兩個(gè)分量：一個(gè)沿O x軸的分量dBx=dB cosα；另一個(gè)是垂直于O x軸的分量dB⊥=dBsinα.考慮到圓上任一直徑兩端的電流元對O x軸的對稱性，故所有電流元在點(diǎn)P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的分量d B⊥的總和應(yīng)等于零.所以，點(diǎn)P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的數(shù)值為

由于cosα=R/r,所以得到圓形載流導(dǎo)線軸線上的磁場為

的方向垂直于圓形導(dǎo)線平面沿O x軸的正向.

利用畢奧—薩伐爾定律，原則上可以求解任意電流系統(tǒng)產(chǎn)生的磁場問題，但一般計(jì)算較為復(fù)雜.當(dāng)電流分布具有某種對稱性時(shí)，利用安培環(huán)路定理能很簡單地算出磁感應(yīng)強(qiáng)度.

3 安培環(huán)路定理

安培環(huán)路定理是另一種求解穩(wěn)恒磁場中磁感應(yīng)強(qiáng)度的重要方法.目前有多篇文獻(xiàn)闡述了安培環(huán)路定理的推導(dǎo)過程[3-5]，這里不再給出此定理的推導(dǎo)，直接給出安培環(huán)路定理的內(nèi)容.在真空的穩(wěn)恒磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B→沿任一閉合路徑的線積分（即的環(huán)流），等于真空中的磁導(dǎo)率μ0乘以該閉合路徑所包圍的各電流的代數(shù)和，這就是安培環(huán)路定理[6].數(shù)學(xué)表達(dá)式為此定理僅適用于具有對稱性的穩(wěn)恒電流產(chǎn)生的磁場.

二進(jìn)制粒子群中，為了實(shí)現(xiàn)上述的概率選擇，將速度vid轉(zhuǎn)換到概率區(qū)間[0,1]的目的，引入函數(shù)Sigmoid，對其定義為：

安培環(huán)路定理的具體求解步驟：（1）對電流和磁場的分布進(jìn)行對稱性分析；（2）選取積分回路，所選回路上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度都相等；（3）應(yīng)用安培環(huán)路定理解題.下面舉例說明如何利用安培環(huán)路定理求解磁感應(yīng)強(qiáng)度.

例3.1求無限長載流圓柱體內(nèi)外的磁場.（已知圓柱體的底面半徑為R，恒定電流I沿軸線方向流動，且電流在截面積上的分布是均勻的）.

解析由于圓柱形導(dǎo)體很長，那么在導(dǎo)體的中部，磁場的分布可視為是對稱的；如圖3所示，設(shè)點(diǎn)P離圓柱體軸線的垂直距離為r，選取半徑為r的圓環(huán)為積分回路，由于對稱性，在以r為半徑的圓周上的值相等，方向都是沿圓的切線.

圖3

當(dāng)r＞R時(shí)：根據(jù)安培環(huán)路定理有

當(dāng)(r＜R)時(shí)：根據(jù)安培環(huán)路定理有

由結(jié)果可以看出：圓柱體內(nèi)部B與r成正比,在圓柱體外部B與r成反比.

例3.2求載流螺繞環(huán)內(nèi)的磁場.（如圖4所示，已知環(huán)上線圈的總匝數(shù)為N，電流為I）.

圖4

解析由于螺繞環(huán)內(nèi)的磁感線都是一些同心圓，故具有對稱性；通過P點(diǎn)取半徑為r的圓環(huán)作為積分回路，由于線上任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的量值相等，方向都與dl→同向，故得的環(huán)流為：

由安培環(huán)路定理：B2πr=μ0NI

4 總結(jié)

本文簡單介紹了四種求解磁感應(yīng)強(qiáng)度的方法，重點(diǎn)介紹畢奧-薩法爾定律法和安培環(huán)路定理法，并舉例說明了這兩種方法的解題步驟和適應(yīng)范圍.畢奧—薩伐爾定律是計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度最普遍、最基本的方法，而安培環(huán)路定理是在畢奧-薩法爾定律的基礎(chǔ)上加上無限長載流直導(dǎo)線等條件推導(dǎo)出來的，因此安培環(huán)路定理的應(yīng)用受到了很大限制，但是當(dāng)遇到電流具有對稱性的題，應(yīng)用安培環(huán)路定理來求解是很方便的.

〔1〕姜廣軍，程彥明.大學(xué)物理學(xué)（下冊）[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2013.64.

〔2〕馬文蔚.物理學(xué)教程（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2001.290.

〔3〕付靜，姜廣軍，袁明霞.普通物理學(xué)中磁場安培環(huán)路定理的證明[J].長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2012（33）:709-711.

〔4〕徐恩生，孫麗媛.穩(wěn)恒磁場安培環(huán)路定理的論述與推導(dǎo)[J].沈陽航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（22）:83-84.

〔5〕馮曉娟，強(qiáng)穩(wěn)朝，張頻，張建國.磁場安培環(huán)路定理證明的新方法[J].物理與工程，2010（20）:13-16.

〔6〕馬文蔚，周雨青，解希順.物理學(xué)教程（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2010.90.

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