橢圓曲線y2=qx(x2+4)的正整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)

鄭小英，趙建紅

(麗江師范高等專(zhuān)科學(xué)校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，云南 麗江 674199)

橢圓曲線y2=qx(x2+4)的正整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)

鄭小英，趙建紅*

(麗江師范高等專(zhuān)科學(xué)校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，云南 麗江 674199)

若q為無(wú)平方因子的正奇數(shù)，q的所有素因數(shù)qi(i∈Z+)都滿足qi≡3,7(mod 8)為奇素?cái)?shù)．本文主要利用同余、勒讓德符號(hào)的性質(zhì)等證明了橢圓曲線y2=qx(x2+4)當(dāng)q≡7(mod 8)為奇素?cái)?shù)時(shí)至多只有一個(gè)正整數(shù)點(diǎn)，除此以外均無(wú)正整數(shù)點(diǎn).

橢圓曲線；正整數(shù)點(diǎn)；勒讓德符號(hào)；奇素?cái)?shù)；同余

1 問(wèn)題的提出

橢圓曲線的整數(shù)點(diǎn)是數(shù)論中很重要的問(wèn)題，有許多學(xué)者研究過(guò)橢圓曲線

y2=qx(x2+a),q,a∈Z+

(1)

的整數(shù)點(diǎn)問(wèn)題．

a=1時(shí)，主要結(jié)論有：祝輝林和陳建華[1]、樂(lè)茂華[2]、管訓(xùn)貴[3]、楊海和付瑞琴[4]給出了為奇素?cái)?shù)時(shí)橢圓曲線(1)的整數(shù)解的情況；竇志紅[5]給出了為偶數(shù)時(shí)橢圓曲線(1)的整數(shù)解的情況．

a=2時(shí)，主要結(jié)論有：廖思泉和樂(lè)茂華[6]、杜曉英[7]、張瑾[8]給出了q為素?cái)?shù)時(shí)橢圓曲線(1)的整數(shù)解的情況；陳歷敏[9]、李玲和張緒緒[10]給出了q為奇數(shù)時(shí)橢圓曲線(1)的整數(shù)解的情況．

a=4時(shí)，主要結(jié)論有：2014年，崔保軍[11]給出了q為奇素?cái)?shù)時(shí)橢圓曲線(1)的整數(shù)解的情況．

a=4，q為無(wú)平方因子的正奇數(shù)，q的所有素因素qi(i∈Z+)都滿足qi≡3,7(mod 8)時(shí)橢圓曲線(1)的整數(shù)點(diǎn)的情況目前還無(wú)相關(guān)結(jié)論，本文給出了此時(shí)橢圓曲線(1)的整數(shù)點(diǎn)的情況．

2 相關(guān)引理

引理1[12]方程D1A2-D2B4=1,A,B∈N+，至多只有一組解.

3 相關(guān)定理

定理1 如果q為無(wú)平方因子的正奇數(shù)，q的所有素因素qi(i∈Z+)都滿足qi≡3,7(mod 8)，則橢圓曲線

y2=qx(x2+4)

(2)

當(dāng)q≡7(mod 8)為奇素?cái)?shù)時(shí)至多只有一個(gè)正整數(shù)點(diǎn)，除此以外均無(wú)正整數(shù)點(diǎn).

證明設(shè)(x,y)，x,y∈Z+是橢圓曲線(2)的正整數(shù)點(diǎn)，因?yàn)閝是無(wú)平方因子的正奇數(shù)，故由式(2)知q|y，設(shè)y=qz，z∈Z,將其代入式(2)，得：

qz2=x(x2+4)

(3)

因?yàn)間cd(x,x2+4)=gcd(x,4)=1或2或4，故式(3)可分解為以下3種可能的情形：

情形Ⅰx=ma2,x2+4=nb2,z=ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+,

情形Ⅱx=2ma2,x2+4=2nb2,z=2ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+,

情形Ⅲx=4ma2,x2+4=4nb2,z=4ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+,

下面分別討論這3種情形下橢圓曲線(2)的正整數(shù)點(diǎn)的情況．

1) 情形Ⅰ的討論

(ii)ngt;1時(shí)，n中至少含有一個(gè)素因子qj,j∈Z+，由題意得qj≡3,7(mod 8).將x=ma2代入x2+4=qb2，得

m2a4+4=qb2

(4)

對(duì)式(4)兩邊同時(shí)取模qj，得

(ma2)2≡-4(modqj)

(5)

2) 情形Ⅱ的討論

將x=2ma2代入x2+4=2nb2，得4m2a4+4=2nb2，即：

2m2a4+2=nb2

(6)

(i)n=1時(shí)，m=q，此時(shí)(6)式為

2q2a4+2=b2

(7)

由式(7)知2|b，則令b=2c,c∈Z+，則(7)式為2q2a4+2=4c2，即：

2c2-q2a4=1

(8)

對(duì)式(8)兩邊同時(shí)取模q，得2c2≡1(modq)，即：

(2c)2≡2(modq)

(9)

(ii)ngt;1時(shí)，n中至少含有一個(gè)素因子qj,j∈Z+，由題意得qj≡3,7(mod 8).對(duì)(6)式兩邊同時(shí)取模qj，得2m2a4≡-2(modqj)，即：

(ma2)2≡-1(modqj)

(10)

3) 情形Ⅲ的討論

(ii)ngt;1時(shí)，n中至少含有一個(gè)素因子qj,j∈Z+，由題意得qj≡3,7(mod 8).將x=4ma2代入x2+4=4nb2，得16m2a4+4=4nb2，即：

4m2a4+1=nb2

(11)

對(duì)式(11)兩邊同時(shí)取模qj，得4m2a4≡-1(modqj)，即：

(2ma2)2≡-1(modqj)

(12)

綜上定理1成立.

[1] 祝輝林,陳建華.兩個(gè)丟番圖方程y2=nx(x2±1)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2007,50(5)：1071-1074.

[2] 樂(lè)茂華.橢圓曲線y2=px(x2±1)的正整數(shù)點(diǎn)[J].湛江師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008,29(3)：1-2.

[3] 管訓(xùn)貴.關(guān)于橢圓曲線y2=px(x2+1)的一個(gè)注記[J].四川理工學(xué)院(自然科學(xué)版)，2010,23(4)：384 +393.

[4] 楊海,付瑞琴．一類(lèi)橢圓曲線有正整數(shù)點(diǎn)的判別條件[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2013,29(4)：338-341.

[5] 竇志紅.橢圓曲線y2=2px(x2+1)上正整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,27(2)：210-212+235.

[6] 廖思泉,樂(lè)茂華.橢圓曲線y2=px(x2+2)的正整數(shù)點(diǎn)[J].數(shù)學(xué)雜志,2009,29(3)：387-390.

[7] 杜曉英.橢圓曲線y2=px(x2+2)在p≡1(mod 8)時(shí)的正整數(shù)點(diǎn)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2014,44(15)：290-293.

[8] 張瑾.橢圓曲線y2=px(x2+2)有正整數(shù)點(diǎn)的判別條件[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2015,45(4)：232-235.

[9] 陳歷敏.Diophantine方程y2=px(x2+2)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2010,53(1)：83-86.

[10] 李玲,張緒緒.橢圓曲線y2=nx(x2+2)的整數(shù)點(diǎn)[J].西安工程大學(xué)學(xué)報(bào),2011,25(3)：407-409.

[11] 崔軍保.橢圓曲線y2=px(x2+4)的正整數(shù)點(diǎn)[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào),2014,32(6)：962-963.

[12] LJUNGGREN W.Ein satzüber die diophantische gleichungAx2-By4=C(C=1,2,4)[J].TolfteSkand Mat Lund, 1953, 8(2):188-194.

責(zé)任編輯：時(shí)凌

TheNumberofPositiveIntegerPointsonEllipticCurvey2=qx(x2+4)

ZHENG Xiaoying,ZHAO Jianhong*

(Department of Mathematics and Computer Science, Lijiang Teachers College,Lijiang 674199,China)

Letq≡7(mod 8) be an odd prime number, whose odd prime factor could beqi≡3,7(mod 8).It is proved the elliptic curvey2=qx(x2+4) has only one positive integer point by some properties of congruence and Legendre symbol.

elliptic curve；positive integer point；Legendre symbol;odd prime number；congruence

2017-03-24.

云南省科技廳應(yīng)用基礎(chǔ)研究計(jì)劃青年項(xiàng)目(2013FD061)

鄭小英(1986-)，女，主要從事數(shù)論及現(xiàn)代教育技術(shù)的研究.*

：趙建紅(1981-)，男，碩士，副教授，主要從事初等數(shù)論的研究.

1008-8423(2017)04-0420-03

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2017.12.015

O156.1

A