淺談數學推廣
——以若干不等式為例

徐彥輝

(溫州大學數學與信息學院，浙江溫州 325035)

淺談數學推廣
——以若干不等式為例

徐彥輝

(溫州大學數學與信息學院，浙江溫州 325035)

推廣是數學知識發(fā)展的一種基本方式，也是數學家研究和創(chuàng)造的一種基本手段和策略，沒有推廣就沒有數學的發(fā)展，推廣是引導數學發(fā)現的一種重要手段.本文以兩道習題的解答與推廣為例，展示了數學推廣的基本形式與過程.并提出：好的推廣應具有滿意的廣泛性，而又保留了有趣的實例的味道.好的數學推廣是一項綜合性較強、難度較大的創(chuàng)造性研究工作，需要具備一定的經驗和運用科學的思維方法.

數學推廣；數學知識發(fā)展；推廣的過程

推廣是數學研究的一種基本方法，也是數學家發(fā)現數學規(guī)律的一種重要手段.數學自身的發(fā)展很大程度上依賴于推廣.數學家從不滿足于局部范圍的統(tǒng)一，而總是通過推廣原有的概念和理論去尋求更大范圍內的統(tǒng)一，發(fā)展和構建新的理論.用數學家Pierce C. S.的話說：“數學思想的一個特征是當它不能推廣時，它就沒有成功”[1].一當有必要，數學家們總是力圖使概念一般化（推廣）.數學研究工作者若能成功地推廣已有的理論或方法，則其研究就推進了一步.數學能用這個方法擴大其范圍，這一工作確實是無可限量的[2].綜觀整個數學的發(fā)展進程，基本上就是一個數學知識、理論和方法不斷推廣的過程.可以說，數學知識的進步，大都建立在把所獲得的原則加以推廣的過程上.推廣是促進數學理論及其應用適用范圍擴大的一種有效手段，數學中許多新概念、新理論、新學科的形成和發(fā)展，大都展示出推廣方法的重要作用.

從數學知識發(fā)展的歷史進程來看，我們也可以發(fā)現：數學的進步常常不是出自于新的概念，而是由于認識到可以把舊概念推廣到用于新的情況.波利亞（Polya G.）曾把許多數學結果的發(fā)現歸因于“幸運的推廣”，并指出：推廣對于數學知識的發(fā)展非常重要[3].推廣是數學發(fā)展的一種基本目標和手段，也是數學家研究和創(chuàng)造的一種基本策略.在一定程度上可以說，沒有推廣就沒有數學的發(fā)展，在數學學習和研究中絕對必須要具有善于推廣的意識和能力.張慧欣[4]舉例說明了數學上推廣的兩種形式與技巧.朱華偉、張景中[5]舉例說明了兩種類型的推廣.筆者[6]曾舉例分析了數學推廣的四種常見形式.本文將再以兩道數學習題的解答與推廣為例，進一步論述數學推廣的基本形式與過程，并基于此談一點對數學推廣的看法.

1 問題1的解答及推廣

證明：由柯西不等式得

而

即

故

證明：由柯西不等式得

推廣2 設a, b, c∈R+，且求證

證明：由柯西不等式得

證明：由柯西不等式得

推廣4 設a, b, c∈R+，且求證

證明：由柯西不等式得

2 問題2的解答及推廣

解：

（1）開始.初看到這個問題，想到運用均值不等式，可是如何運用均值不等式呢?想到設一個參數λ＞0，即即猜想可化為則必須有

因為

所以

又由柯西不等式得：

即

（4）得出結論（評價）.通過對原始問題的解答，抓住問題的本質，得到其變式和拓展問題，這是數學家常用的一種思維方式，學生必須掌握和學會這種思維方式.由于推廣命題時用分數指數冪表示，有些不太符合常規(guī)習慣，為此將推廣命題改為：若求證：

3 結 語

可見，作出一個推廣，其目的并不僅僅在于把更多的情況包括進來，而且還在于把不必要的假設丟棄掉[7].這樣，就能進一步突現其本質特征和性質（如問題1與問題2的推廣），致使其適用范圍將會更廣闊.但如果沒有新的想法而進行推廣，那將只是沒有意義的玩弄，從而導致產生大量越來越多無用的定理.假如我們只是為了一般化而去尋求一般性，那么我們就誤解了這種趨勢.這種廉價的一般化并沒有給數學增添實質性的東西，而只不過是用水沖淡了美味和富有營養(yǎng)的濃湯，如此而已[8]（如問題1的推廣）.菲爾茨獎獲得者高爾斯也指出[9]：“要將一個概念一般化，我們應當先找出與其相聯系的一些性質，再將這些性質進行一般化.這樣做通常只有一種自然的方式，但有時，不同的性質組合會導致不同的一般化，而多種一般化方法有時會碩果累累”.

好的推廣不是單純地將一個命題簡單的一般化，而是抓住命題的本質，用簡單優(yōu)美的方法把其隱含的本質規(guī)律揭示出來，把大量先天彼此毫無關系的個別情況加以綜合，這種有價值推廣所得的命題及其證法，往往不是簡單照搬原命題而輕易得到，這種推廣要求在一般化的情景中提煉新想法而不是已有結論的規(guī)范化，需要具有深刻的洞察力和高度的抽象能力，還需要具有豐富的知識、理論、方法和工具（如問題2的推廣）.好的推廣應具有滿意的廣泛性，而又保留了有趣的實例的味道[10].好的推廣常能給人以啟迪，結果也往往十分有用.好的推廣（如問題2的推廣）是不容易得到的，實踐中，所研究的對象如果彼此過分相似，它們的推廣就稍欠情趣.但是，對于彼此面貌迥異的對象，只要可以辨認出它們共同的性質，則推廣就非常有價值.

好的推廣（如問題2的推廣）其實是一項綜合性較強、難度較大的創(chuàng)造性研究工作，它需要具有一定的經驗，需要充分科學地運用模擬、抽象、聯想、想象、實驗、猜想、歸納、類比等方法，通過抓住原命題的本質特征，深入挖掘和發(fā)現隱含信息，進一步將一類對象或情境轉換到另一類與之關聯的對象或一般化的情境中來，提出假設和新的構思，并運用科學的方式進行驗證，從而得到更深刻的數學命題[11].做“數學推廣”有時也是一種“好的”數學，需要具有一定的數學美的驅動，才能發(fā)現隱藏在問題中的數學模式，才能發(fā)現隱藏在問題中的一種特征化性質，通過改變這種特定的特征化性質或聯系其他的問題（如問題2的推廣），就會產生一連串相應的問題（推廣）.只有長期做這樣類似的工作，才能養(yǎng)成數學推廣的意識和能力，才能在新的情境中識別出有利于推廣的因素，抓住問題的關鍵和本質，嘗試推廣得到新的命題及其證明.

[1] 劉培杰.數學奧林匹克試題背景研究[M].上海：上海教育出版社，2006：272.

[2] 米山國蔵.數學的精神、思想和方法[M].毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986：23-24.

[3] Polya G. How to solve it [M]. 2nd ed. Princeton: Princeton University Press, 1957: 117.

[4] 張慧欣.淺談數學上的推廣[J].數學通報，2000，39（1）：17.

[5] 朱華偉，張景中.論推廣[J].數學通報，2005，44（4）：55-56.

[6] 徐彥輝.數學推廣及其常見形式舉例分析[J].數學通報，2010，49（4）：17-20.

[7] 戴維?蓋爾.蟻跡尋蹤及其他數學探索[M].朱惠霖，譯.上海：上海教育出版社，2001：224.

[8] H?外爾.詩魂數學家的沉思[M].袁向東，譯.南京：江蘇教育出版社，2008：196.

[9] 蒂莫西·高爾斯.數學[M].劉熙，譯.南京：譯林出版社，2014：84.

[10] Kapur J N.數學家談數學本質[M].王慶人，譯.北京：北京大學出版社，1989：92.

[11] 熊光漢.推廣數學命題的幾種思考方法[J].中學數學月刊，1999（4）：15-17.

(編輯：封毅)

Brief Exploration on Mathematical Generalization——Take Several Inequalities as an Example

XU Yanhui
(College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

Generalization is a kind of basic way of mathematical knowledge development and is also a common approach and strategy to research and even create mathematics by mathematicians. Without the generalization, there will be no development of mathematics. Generalization is an important means to guide the mathematical discovery. It is demonstrated in this paper that the basic form and process of the mathematical generalization based on the generalization of two mathematics problems. And the excellent generalization with satisfactory generality and full of the character of living examples. All in all, a perfect mathematical generalization is a kind of creative research work with stronger comprehensiveness and greater difficulty, thus such a job needs a certain experience as well as a scientific method of thinking.

Mathematical Generalization; Development of Mathematical Knowledge; Process of Generalization

O1-0

A

1674-3563(2017)04-0001-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.04.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2016-11-24

教育部人文社科2012年青年基金項目(12YJC880131)

徐彥輝(1975- )，男，江西豐城人，副教授，博士，研究方向：數學教育的理論與實踐