含有周期分布轉(zhuǎn)動(dòng)振子的聲子晶體梁的彎曲振動(dòng)帶隙研究

朱學(xué)治， 陳照波， 焦映厚， 楊 凱

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001； 2. 陸軍航空兵學(xué)院，北京 101123)

含有周期分布轉(zhuǎn)動(dòng)振子的聲子晶體梁的彎曲振動(dòng)帶隙研究

朱學(xué)治1， 陳照波1， 焦映厚1， 楊 凱2

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001； 2. 陸軍航空兵學(xué)院，北京 101123)

將轉(zhuǎn)動(dòng)振子周期布置于基體梁上形成聲子晶體梁，受到外激勵(lì)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)振子對(duì)基體梁產(chǎn)生動(dòng)態(tài)反力矩作用?；跉W拉梁理論，采用傳遞矩陣法計(jì)算得到含轉(zhuǎn)動(dòng)振子的聲子晶體梁的復(fù)能帶結(jié)構(gòu)。計(jì)算結(jié)果表明，轉(zhuǎn)動(dòng)振子可以使得聲子晶體梁產(chǎn)生窄頻帶局域共振帶隙和寬頻帶Bragg帶隙。分析轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度對(duì)帶隙的調(diào)控作用，得到帶隙變化的一般規(guī)律。轉(zhuǎn)動(dòng)剛度恒定時(shí)，減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)拓寬局域共振帶隙。轉(zhuǎn)動(dòng)振子頻率恒定時(shí)，過(guò)大或過(guò)小的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度會(huì)減小局域共振帶隙帶寬。同時(shí)提高轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度可以有效拓寬Bragg帶隙。針對(duì)有限長(zhǎng)的含轉(zhuǎn)動(dòng)振子的聲子晶體梁，用譜單元法計(jì)算振動(dòng)傳遞率，驗(yàn)證了含轉(zhuǎn)動(dòng)振子的聲子晶體梁的帶隙特性。該研究為聲子晶體的帶隙設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

轉(zhuǎn)動(dòng)振子；聲子晶體梁；彎曲振動(dòng)帶隙；傳遞矩陣法

結(jié)構(gòu)振動(dòng)本質(zhì)上是彈性波在結(jié)構(gòu)中的傳播，對(duì)結(jié)構(gòu)中的彈性波的傳輸行為進(jìn)行人為的調(diào)控是減振降噪的有效思路和方法[1]。近些年來(lái)，在物理領(lǐng)域提出來(lái)的聲子晶體的概念，為實(shí)現(xiàn)彈性波傳輸?shù)恼{(diào)控提供了有效的手段。

聲子晶體具有彈性波帶隙特性，聲子晶體的帶隙共分為兩種，一種是Bragg散射型帶隙，一種是局域共振型帶隙[2]。彈性波在聲子晶體結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)，落在帶隙頻率范圍內(nèi)的波將無(wú)法傳遞[3-4]。因此，聲子晶體擁有巨大的減振應(yīng)用潛在價(jià)值。黃麗娟等[5]將局域共振聲子晶體結(jié)構(gòu)與蜂窩板結(jié)合，設(shè)計(jì)了周期附加振子的蜂窩板，利用帶隙特性實(shí)現(xiàn)了對(duì)蜂窩板彎曲振動(dòng)的有效抑制。左曙光等[6-8]探討了聲子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙特性應(yīng)用于汽車車身減振的技術(shù)形式。曾廣武等[9]研究了多組聲子晶體復(fù)合結(jié)構(gòu)的隔聲性能。

在帶隙特性的研究中，聲子晶體的實(shí)際結(jié)構(gòu)形式主要有：兩種或多種組元材料周期排列形成無(wú)限周期結(jié)構(gòu)[10]；具有特定形狀的散射體周期布置在基體介質(zhì)中形成的周期結(jié)構(gòu)[11-12]；被彈性層包覆的重質(zhì)量振子周期的嵌入基體材料中[13-14]；具有振子特性的特殊結(jié)構(gòu)進(jìn)行周期堆棧[15]。在聲子晶體帶隙特性的理論分析中，具有不同形式的振子一般采用具有集中參數(shù)的彈簧-質(zhì)量振子模型來(lái)進(jìn)行等效[16-18]，Hirsekorn[19]采用彈簧-質(zhì)量振子模型分析得到了帶隙邊界頻率的一般表達(dá)式。肖勇[20]在其博士學(xué)位論文中對(duì)含有彈簧-質(zhì)量振子模型的局域共振型聲子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙特性進(jìn)行了系統(tǒng)深入的研究。

目前，各種實(shí)際振子模型的等效彈簧-質(zhì)量振子模型均為具有直線位移特性的振子。以聲子晶體梁、板結(jié)構(gòu)為例，在其橫向振動(dòng)帶隙特性研究中，附加在基體上的彈簧-質(zhì)量振子與基體之間產(chǎn)生動(dòng)態(tài)反力作用。這種線位移振子并不能作為具有實(shí)際形式振子的完全等效模型，因?yàn)槁曌泳w結(jié)構(gòu)中實(shí)際的振子并不僅僅產(chǎn)生線位移形式的局域共振模式，還產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)形式的局域共振模式。本文中將彈簧-質(zhì)量振子模型擴(kuò)展為具有角位移特性的振子模型，即轉(zhuǎn)動(dòng)振子。將轉(zhuǎn)動(dòng)振子周期布置在基體梁上形成聲子晶體梁，轉(zhuǎn)動(dòng)振子對(duì)基體梁產(chǎn)生動(dòng)態(tài)反力矩作用，分析轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度對(duì)帶隙的影響，得到帶隙變化的基本規(guī)律，為聲子晶體帶隙的設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)依據(jù)。

1 理 論

具有周期分布轉(zhuǎn)動(dòng)振子的局域共振歐拉梁如圖1所示。晶格常數(shù)為a，每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)振子由轉(zhuǎn)動(dòng)剛度Kr，和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ir組成。

圖1 含轉(zhuǎn)動(dòng)振子聲子晶體梁

歐拉梁的自由彎曲振動(dòng)微分方程可以寫為

(1)

式中：E，ρ分別為歐拉梁的楊氏模量和密度；A，I分別為橫截面面積和關(guān)于梁軸線的截面慣性矩。y(x,t)為梁的橫向位移。如圖1中所示，設(shè)梁截面的寬和高分別為b，h。

對(duì)第N段梁，式(1)的解可以寫成

(2)

令

(3)

為梁的振幅。

對(duì)第N+1段梁，式(1)的解可以寫成

(4)

對(duì)于第n個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)振子，考慮到xn處梁上所有力矩的等效邊界條件，包括梁的初始力矩，可以得到

(5)

式中：Mn(t)為在連接點(diǎn)xn處轉(zhuǎn)動(dòng)振子與主梁之間的相互作用力矩；θn(t)=Θneiωt為轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)角位移；Θn為第n個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)振子的振動(dòng)幅值。力矩Mn(t)的表達(dá)式為

(6)

把式(6)代入式(5)得到

(7)

應(yīng)用以上各式來(lái)推導(dǎo)局域共振歐拉梁的能帶關(guān)系。在轉(zhuǎn)動(dòng)振子連接點(diǎn)xn處(也就是x=Na處)，根據(jù)梁橫向位移，傾角，彎矩，剪力的連續(xù)性有

Xn(a)=Xn+1(0)

(8a)

(8b)

(8c)

EIX?n(a)=EIX?n+1(0)

(8d)

把式(3)，式(6)代入式(8)得到

KΦn+1=HΦn

(9)

其中

(10)

(11)

(12)

(13)

在y方向上，具有無(wú)限周期特性的局域共振歐拉梁滿足Bloch周期定理

Φn+1=eiqaΦn

(14)

式中，q是沿著y方向的Bloch波波數(shù)。

將式(14)代入式(9)中得到特征值問(wèn)題

T-eiqaI=0

(15)

式中：T=K-1H，求解特征值問(wèn)題就可以得到波數(shù)q與頻率ω的關(guān)系，也就是能帶結(jié)構(gòu)。

2 數(shù)值計(jì)算與討論

2.1能帶關(guān)系計(jì)算

在計(jì)算周期分布轉(zhuǎn)動(dòng)振子的歐拉梁的能帶關(guān)系時(shí)，設(shè)定基體梁的材料為有機(jī)玻璃，材料參數(shù)設(shè)置為：密度ρ=1 062 kg/m3,楊氏模量E=3.228E+009；幾何參數(shù)設(shè)置為：截面寬b=0.01 m，高h(yuǎn)=0.005 m。轉(zhuǎn)動(dòng)振子的參數(shù)為：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ir0=4E-005 kg·m2,轉(zhuǎn)動(dòng)剛度Kr0=22 620 N·m/rad。轉(zhuǎn)動(dòng)振子的共振頻率為500 Hz。晶格常數(shù)a為80 mm，由式(15)計(jì)算得到簡(jiǎn)明復(fù)能帶關(guān)系如圖2所示。

圖2 聲子晶體梁的復(fù)能帶結(jié)構(gòu)

2.2振子參數(shù)對(duì)帶隙的調(diào)控

為了進(jìn)一步揭示含周期分布轉(zhuǎn)動(dòng)振子的聲子晶體梁形成的帶隙的特性，研究轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ir，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度Kr對(duì)局域共振帶隙和布拉格帶隙的調(diào)控作用。

為了使參數(shù)影響的探討結(jié)果更加具有普適的意義，文中采用無(wú)量綱化的參數(shù)進(jìn)行分析討論。

定義轉(zhuǎn)動(dòng)振子的無(wú)量綱質(zhì)量

(16)

式中，ρAa3/12為單個(gè)晶格單元繞著過(guò)振子連接點(diǎn)處的y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。其物理意義為轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與單個(gè)晶格單元轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的比值。

定義轉(zhuǎn)動(dòng)振子的無(wú)量綱剛度為

(17)

其物理意義為轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度與單個(gè)晶格單元彎曲剛度EI/a3的比值。

(1)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)帶隙的調(diào)控作用

設(shè)定轉(zhuǎn)動(dòng)振子的剛度為參考無(wú)量綱剛度κ0，令轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在參考無(wú)量綱質(zhì)量的1 000倍到1/1 000倍范圍內(nèi)取值，保證轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相對(duì)于主梁取得極小值和極大值范圍之間的值。轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)帶隙的調(diào)控規(guī)律如圖3所示。

圖3(a)描述了轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)局域共振帶隙的調(diào)控作用，橫坐標(biāo)表示振子無(wú)量綱質(zhì)量的取值，每個(gè)無(wú)量綱質(zhì)量取值對(duì)應(yīng)的帶隙的起始頻率、截止頻率以及帶寬分別用斜線條柱、白色條柱和灰色的條柱表示。由圖易知，隨著振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值減小，而振子的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度保持不變時(shí)，振子的固有頻率隨著轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的減小而提升，局域共振帶隙的位置頻率相應(yīng)提高，轉(zhuǎn)動(dòng)振子引起的局域共振帶隙位置頻率接近振子固有頻率。但是，與線位移振子明顯不同地，隨著無(wú)量綱質(zhì)量的減小，帶隙的寬度呈現(xiàn)出遞增的趨勢(shì)。在無(wú)量綱質(zhì)量γ較大，γ=10γ0，γ=100γ0時(shí)，產(chǎn)生的局域共振帶隙帶寬只有5 Hz、19 Hz。

圖3(b)描述了轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)一階Bragg帶隙的調(diào)控作用,當(dāng)振子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大于半個(gè)晶格單元的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，帶隙起始頻率嚴(yán)格等于一階Bragg頻率為618 Hz，Bragg帶隙的帶寬只取決于Bragg帶隙的截止頻率(圖中虛線所示)。振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大時(shí)，Bragg帶隙的截止頻率在穩(wěn)定在738 Hz附近。當(dāng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取值與單個(gè)晶格單元的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相當(dāng)時(shí)(圖中所示γ=10γ0到γ=γ0的范圍)，Bragg帶隙截止頻率取得最大值，帶寬最大。由此可知在帶隙設(shè)計(jì)中為了獲得更寬的Bragg帶隙時(shí)，應(yīng)該設(shè)置轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量至少為半個(gè)晶格單元的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，從而具有更高的截止頻率。當(dāng)振子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較小時(shí)，帶隙截止頻率嚴(yán)格等于一階Bragg頻率，此時(shí)帶寬取決于起始頻率。振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很小時(shí)，Bragg帶隙起始頻率趨近于一階Bragg頻率，帶寬顯著減小。由圖易知，振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較小時(shí)，Bragg帶隙的帶寬較小。

(a)

(b)

(2)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度對(duì)帶隙的調(diào)控作用

設(shè)定轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為參考無(wú)量綱質(zhì)量γ，令轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度在參考無(wú)量綱剛度的1 000倍到1/1 000倍范圍內(nèi)取值，保證轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度相對(duì)于主梁取得極小值和極大值范圍之間的值。轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度Kr對(duì)帶隙的調(diào)控規(guī)律如圖4所示。圖4的格式設(shè)置與圖3相同。

圖4(a)描述了轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度對(duì)局域共振帶隙的調(diào)控作用。與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量特性類似地，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的增加，振子的固有頻率提升使得局域共振帶隙的位置相應(yīng)提高。轉(zhuǎn)動(dòng)剛度在較小值和較大值時(shí)，都會(huì)削弱局域共振帶隙。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度很小時(shí)，振子與主梁的耦合特性被極度削弱，其極限情況就是振子與主梁的近似脫離狀態(tài)，局域共振帶隙將不明顯。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度很大時(shí)，振子的狀態(tài)近似于質(zhì)量點(diǎn)固連到主梁上，弱化了局域共振特性。轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度存在一個(gè)適中的值，能夠使局域共振帶隙相對(duì)比較明顯。

(a)

(b)

圖4(b)描述了轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度對(duì)Bragg帶隙的調(diào)控作用。轉(zhuǎn)動(dòng)剛度較小(小于參考轉(zhuǎn)動(dòng)剛度)時(shí)，圖中所示實(shí)線代表的Bragg帶隙的起始頻率嚴(yán)格等于一階Bragg頻率為618 Hz，Bragg帶隙的位置只與主梁的參數(shù)和周期特性相關(guān)。Bragg帶隙的帶寬只取決于Bragg帶隙的截止頻率(圖中虛線所示)。轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度很小時(shí)，振子與主梁接近于脫離狀態(tài)，Bragg散射能力被削弱，圖中表現(xiàn)為帶隙截止頻率趨近于起始頻率，帶隙帶寬明顯減小。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度增加時(shí)，Bragg帶隙的截止頻率隨之提升，無(wú)量綱剛度達(dá)到參考值，截止頻率取得最大值，帶寬最大。轉(zhuǎn)動(dòng)剛度繼續(xù)增加時(shí)，一階Bragg頻率變?yōu)锽ragg帶隙的截止頻率，Bragg帶隙的帶寬只取決于起始頻率，起始頻率在460 Hz左右。

(3)振子頻率固定時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)帶隙的調(diào)控作用

單一調(diào)諧振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量或轉(zhuǎn)動(dòng)剛度都會(huì)引起固有頻率的明顯變化，此時(shí)帶隙的位置會(huì)有較大的變化。而在實(shí)際的工程問(wèn)題中，我們期望用于減振的帶隙具有特定頻率范圍。這時(shí)，往往通過(guò)協(xié)同調(diào)諧振子的“質(zhì)量”和“剛度”來(lái)保證振子的固有頻率取得定值，以期獲得相對(duì)穩(wěn)定頻率范圍的帶隙。

設(shè)定轉(zhuǎn)動(dòng)振子的固有頻率為500 Hz，轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度同增同減，考察轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)帶隙的調(diào)諧作用，如圖5所示。

(a)

(b)

圖5(a)描述了轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)局域共振帶隙的調(diào)控作用。圖中清晰顯示了轉(zhuǎn)動(dòng)振子引起的局域共振帶隙頻率位置與振子固有頻率發(fā)生偏離的現(xiàn)象，而線位移振子引起的局域共振帶隙頻率位置適中在振子的固有頻率附近。只有當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很小時(shí)，局域共振帶隙位置才會(huì)接近振子的固有頻率，但需注意，此時(shí)的帶隙帶寬十分有限。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增加時(shí)，局域共振帶隙的頻率位置與振子的固有頻率偏離越多，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量每增加10倍，局域共振帶隙頻率位置則向低頻移動(dòng)100 Hz。值得注意的是，振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與單個(gè)晶格單元的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相當(dāng)時(shí)，局域共振帶隙帶寬才會(huì)較大，這是因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)慣量很大或很小時(shí)，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度也取得很大的值或很小的值，兩種取值狀態(tài)下，均會(huì)削弱振子與主梁的相互作用，使得局域共振帶隙帶寬變小。

圖5(b)描述了轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)Bragg帶隙的調(diào)控作用。圖中所示實(shí)線代表的Bragg帶隙的起始頻率始終嚴(yán)格等于一階Bragg頻率，而圖3(b)、圖4(b)中顯示，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的變化均會(huì)導(dǎo)致一階Bragg頻率在起始頻率和截止頻率間的轉(zhuǎn)換。這是因?yàn)楫?dāng)確定振子的固有頻率始終為500 Hz，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度同時(shí)增減變化。在增減變化中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度減小到更小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相對(duì)而言始終為較大量，此時(shí)，Bragg帶隙的起始頻率始終嚴(yán)格等于一階Bragg頻率。Bragg帶隙的帶寬只取決于Bragg帶隙的截止頻率(圖中虛線所示)。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取值很大時(shí)，截止頻率趨近于1 400 Hz，帶寬最大；當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取值很小時(shí)，截止頻率趨近于一階Bragg頻率618 Hz，帶寬最小。這是因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)慣量很大時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度值也很大，轉(zhuǎn)動(dòng)振子近似于固連到主梁上的較大集中質(zhì)量，Bragg散射能力強(qiáng)，引起較寬帶隙；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很小時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度也很小，轉(zhuǎn)動(dòng)振子接近脫離于主梁，Bragg散射能力弱，引起較窄帶隙。

3 含有轉(zhuǎn)動(dòng)振子的聲子晶體梁的振動(dòng)傳遞特性 用譜單元法計(jì)算聲子晶體梁的振動(dòng)傳遞特性。

如圖6所示,n-1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)振子附加在有限長(zhǎng)基體梁上，將基體梁分為n段，設(shè)定每一段為一個(gè)譜單元，譜單元編號(hào)為(1,2,3,…,j,…,n),節(jié)點(diǎn)編號(hào)為1,2,3,…,i,…,n,n+1。

圖6 振動(dòng)傳遞特性求解設(shè)置

譜單元(j)的動(dòng)剛度矩陣為[20]

(18)

其中各個(gè)子陣為[20]

(19)

(20)

(21)

其中

β=[-cos(kbaj)sinh(kbaj)+

sinh(kbaj)cosh(kbaj)](kbaj)/Δ

γ=[-cos(kbaj)+cosh(kbaj)](kbaj)2/Δ

Δ=1-cos(kbaj)cosh(kbaj)

(22)

每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)振子的附加動(dòng)剛度為

(23)

轉(zhuǎn)動(dòng)振子對(duì)基體梁的反力矩作用體現(xiàn)在譜單元的動(dòng)剛度矩陣中時(shí)需要將轉(zhuǎn)動(dòng)振子的附加動(dòng)剛度寫成矩陣形式

(24)

將各個(gè)譜單元的動(dòng)剛度矩陣和振子的動(dòng)剛度矩陣進(jìn)行組裝得到整個(gè)聲子晶體梁的動(dòng)剛度矩陣為

(25)

整個(gè)聲子晶體梁的動(dòng)力學(xué)方程可以寫成

Dbeanu=f

(26)

其中廣義坐標(biāo)

(27)

外激勵(lì)

(28)

表示在聲子晶體梁的最左端施加橫向力載荷。

根據(jù)式(26)計(jì)算振動(dòng)響應(yīng)，聲子晶體梁的材料和截面尺寸參數(shù)設(shè)置以及轉(zhuǎn)動(dòng)振子的參數(shù)與上面2.1節(jié)中帶隙計(jì)算中的設(shè)置相同，不再贅述。設(shè)定有限長(zhǎng)聲子晶體梁包含10個(gè)單元，即n=10。在聲子晶體梁的一端沿著橫向方向施加0～1 500 Hz的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，分別在兩端拾取位移振動(dòng)響應(yīng)A1(ω)，A2(ω)，計(jì)算振動(dòng)傳遞率

(29)

振動(dòng)傳遞特性曲線如圖7所示。在1 500 Hz內(nèi)，聲子晶體梁中的轉(zhuǎn)動(dòng)振子引起了2條振動(dòng)傳遞帶隙，帶隙范圍用灰色柱表征。振動(dòng)傳遞特性曲線上第一條帶隙范圍為182～293 Hz，帶隙內(nèi)有很強(qiáng)的振動(dòng)衰減能力，為局域共振帶隙。第二條帶隙范圍為610～1 156 Hz，帶隙的起始頻率對(duì)應(yīng)無(wú)限長(zhǎng)聲子晶體梁的一階Bragg頻率，帶隙位置受到聲子晶體梁周期特性調(diào)控，帶隙屬于Bragg帶隙。與圖2中的無(wú)限長(zhǎng)聲子晶體梁的能帶結(jié)構(gòu)對(duì)比得知，圖7中的振動(dòng)傳遞帶隙與無(wú)限長(zhǎng)聲子晶體梁的彈性波帶隙有精準(zhǔn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。以上兩條振動(dòng)傳遞帶隙能夠驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)振子引起聲子晶體梁中的彈性波傳播帶隙特性。

圖7 有限長(zhǎng)聲子晶體梁振動(dòng)傳遞特性

4 結(jié) 論

本文將轉(zhuǎn)動(dòng)振子周期布置在梁上構(gòu)成聲子晶體梁，研究了聲子晶體結(jié)構(gòu)中振子對(duì)基體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生動(dòng)態(tài)反力矩的情況下的帶隙特性。采用傳遞矩陣法計(jì)算得到了含轉(zhuǎn)動(dòng)振子聲子晶體梁的復(fù)能帶結(jié)構(gòu)，分析了轉(zhuǎn)動(dòng)振子的參數(shù)，即轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度對(duì)帶隙的調(diào)控作用，分析結(jié)果表明：

(1)轉(zhuǎn)動(dòng)振子能夠引起聲子晶體梁產(chǎn)生局域共振型和Bragg型兩種帶隙。局域共振帶隙的頻率位置與振子的固有頻率一致，轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是調(diào)控局域共振帶隙帶寬的主要參數(shù)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的增加會(huì)導(dǎo)致局域共振帶隙帶寬的減小，這與含有彈簧-質(zhì)量振子的聲子晶體梁的規(guī)律明顯不同。過(guò)大或過(guò)小的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度都會(huì)削弱轉(zhuǎn)動(dòng)振子與主梁的耦合作用，使得局域共振帶隙帶寬減小。需要指出的是，中低頻范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)動(dòng)振子引起的局域共振帶隙帶寬是非常有限的。

(2)相比于局域共振帶隙，Bragg帶隙有較大的帶寬。含有彈簧-質(zhì)量振子的聲子晶體梁的Bragg頻率是Bragg帶隙的截止頻率，明顯不同地，本文中的含轉(zhuǎn)動(dòng)振子聲子晶體梁中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是較大量時(shí)，Bragg帶隙的起始頻率是一階Bragg頻率，Bragg帶隙的帶寬主要取決于Bragg帶隙的截止頻率；轉(zhuǎn)動(dòng)剛度是較大量時(shí)，Bragg帶隙的截止頻率是一階Bragg頻率，Bragg帶隙的帶寬主要取決于Bragg帶隙的起始頻率。轉(zhuǎn)動(dòng)振子的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)振子的波反射能力影響比較大，同時(shí)增加轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量能夠有效的拓寬Bragg帶隙。

(3)用譜單元法計(jì)算有限長(zhǎng)的含轉(zhuǎn)動(dòng)振子的聲子晶體梁的振動(dòng)傳遞率，計(jì)算結(jié)果顯示聲子晶體梁具有較小帶寬的局域共振帶隙和較大帶寬的Bragg帶隙，驗(yàn)證了聲子晶體梁的帶隙特性。

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Flexuralvibrationbandgapsinaphononiccrystalbeamcontainingrotationalresonators

ZHUXuezhi1,CHENZhaobo1,JIAOYinghou1,YANGKai2

(1. School of Mechatronics Engineering Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China； 2. Army Aviation Institute, Beijing 101123, China)

Rotational resonators were attached to a host beam to form a phononic crystal beam. The complex band structure of the phononic beam containing rotational resonators was derived by using the transfer matrix method based on Euler-Bernoulli beam theory. The results show that narrow band locally resonant band gaps and wide band Bragg band gaps can be achieved by attaching rotational resonators. The effects of rotational resonator parameters, such as the rotational stiffness and moment of inertia on the band gaps were analyzed, and the general rule for the change of the band gaps was obtained. The locally resonant band gap could be broadened by minimizing the moment of inertia when the rotational stiffness remains constant. An excessively large or small rotational stiffness could minimize the locally resonant band gap while Bragg band gaps could be broadened effectively by increasing the rotational stiffness and moment of inertia simultaneously. Finally, the band gaps properties of the phononic crystal beam were verified though the transverse vibration transmission calculation using the Spectrum Element Method.

rotational resonator; phononic crystal beam; flexural vibration band gap; transfer matrix method

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.21.014

國(guó)家自然科學(xué)基金(11372083)

2016-04-29 修改稿收到日期：2016-06-21

朱學(xué)治 男，博士，1988年生

陳照波 男，博士，教授，1967年生。E-mail:chenzb@hit.edu.cn