主軸系統(tǒng)建模與刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測研究*

劉成穎，劉 巍，鄭 烽，張 智，張 潔

(1.清華大學(xué) a.機(jī)械工程系；b.精密超精密制造裝備及控制北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084；2.電子科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，成都 611731)

主軸系統(tǒng)建模與刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測研究*

劉成穎1a,1b，劉 巍1a,1b，鄭 烽2，張 智1a,1b，張 潔1a,1b

(1.清華大學(xué) a.機(jī)械工程系；b.精密超精密制造裝備及控制北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084；2.電子科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，成都 611731)

為了獲取穩(wěn)定性葉瓣圖所需要的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，基于響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)分析法(RCSA)提出一種主軸系統(tǒng)建模方案。根據(jù)電主軸系統(tǒng)在實(shí)際使用過程中變化與不變化的部分將系統(tǒng)劃分成主軸-刀柄基座、刀柄懸伸部分-刀具夾持部分和刀具懸伸部分三個(gè)子結(jié)構(gòu)，并利用錘擊實(shí)驗(yàn)、有限差分法、逆RCSA方法以及Timoshenko梁模型仿真獲取各子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)。這種模型不僅避免了復(fù)雜的結(jié)合面建模與參數(shù)識別過程，而且能簡單、快速、準(zhǔn)確地通過剛性耦合預(yù)測出不同刀柄-刀具組合下的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)。以170XDS20Z11型電主軸系統(tǒng)為研究對象，對以上建模方法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，驗(yàn)證了本方法的實(shí)用性與準(zhǔn)確性。

響應(yīng)耦合；頻響函數(shù)；子結(jié)構(gòu)；預(yù)測

0 引言

在高速銑削加工過程中，機(jī)床的顫振是限制加工效率和影響加工表面質(zhì)量的重要因素。目前，普遍采用葉瓣圖來預(yù)測各種加工參數(shù)下顫振是否發(fā)生，而葉瓣圖的準(zhǔn)確繪制依賴于機(jī)床主軸系統(tǒng)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的準(zhǔn)確獲取。通常采用實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的方法獲取刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，這種方法對于實(shí)際應(yīng)用中不同的刀柄-刀具組合，需要重復(fù)大量測試，不僅耗時(shí)費(fèi)力，而且影響機(jī)床的正常生產(chǎn)加工。為此，國內(nèi)外許多學(xué)者通過對主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)的建模提出了各種刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的預(yù)測方法，其中，響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)分析法(RCSA)是最有效的方法之一。

Schmitz等[1]首次將RCSA方法引入到刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測研究中，成功預(yù)測了不同長徑比刀具的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，他開發(fā)了三代RCSA方法(半解析法)，對子結(jié)構(gòu)劃分以及刀柄-刀具結(jié)合面模型進(jìn)行了改進(jìn)，提高了預(yù)測的準(zhǔn)確度[2-3]。隨后，Namazi和Altintas采用均布平動(dòng)和扭轉(zhuǎn)彈簧對主軸-刀柄錐形結(jié)合面建模[4]。Ahmadi對刀柄-刀具結(jié)合面采用連續(xù)的彈性界面層建模等優(yōu)化了結(jié)合面建模方法[5]。?zsahin等通過對刀具非對稱刀齒部分的精確計(jì)算與建模增強(qiáng)了刀具模型的合理性[6]。與結(jié)合實(shí)驗(yàn)測量的半解析法不同的是，Ertürk等[7]提出了一種全解析方法，將主軸系統(tǒng)中的各個(gè)子結(jié)構(gòu)利用梁模型替代，而后利用RCSA方法耦合預(yù)測刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，進(jìn)一步研究了軸承和結(jié)合面對刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的影響[8]。國內(nèi)學(xué)者在結(jié)合面參數(shù)識別上進(jìn)行了大量研究，閆蓉等[9]以均布彈簧-阻尼單元對刀柄-刀具結(jié)合面建模，采用實(shí)驗(yàn)和仿真結(jié)合的方法識別了結(jié)合面剛度和阻尼，李孝茹[10]和王二化[11]分別采用遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法識別了結(jié)合面參數(shù)，提高了刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的預(yù)測精度。

上述研究中，通常對主軸系統(tǒng)根據(jù)結(jié)合面進(jìn)行子結(jié)構(gòu)的劃分，同時(shí)需要對結(jié)合面進(jìn)行復(fù)雜的建模和參數(shù)識別，計(jì)算量大，而且容易引入誤差。在實(shí)用性上，全解析法由于其模型簡化會(huì)帶來較大的預(yù)測誤差，可靠性有待驗(yàn)證；傳統(tǒng)半解析法預(yù)測吻合度較高，但對于不同的刀柄-刀具組合，都需要對其結(jié)構(gòu)進(jìn)行重新分析計(jì)算，仍然難以做到簡單、快速地預(yù)測刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)。本文提出的預(yù)測模型巧妙避免了結(jié)合面建模過程，采用錘擊實(shí)驗(yàn)、有限差分法、逆RCSA方法以及Timoshenko梁模型仿真獲取各子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)，并作為主軸系統(tǒng)特征參數(shù)存儲于數(shù)據(jù)庫中，根據(jù)不同的刀柄-刀具組合調(diào)用相應(yīng)的子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)，通過簡單的剛性耦合即可快速預(yù)測刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)。

1 主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)建模方案

如圖1所示，機(jī)床主軸系統(tǒng)包括主軸、刀柄(包括刀柄基座和刀柄懸伸部分)、刀具(包含夾持刀桿、懸臂刀桿和刀齒部分)。

圖1 主軸系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)劃分

對于一臺機(jī)床而言，在實(shí)際使用中需要更換不同的刀柄-刀具組合，對于不同的刀柄，與主軸結(jié)合的刀柄基座部分卻是相同的，同樣，對于與同一刀柄搭配的不同刀具，其結(jié)合部分變化也很小。因此，可以將主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)劃分成主軸-刀柄基座(I)、刀柄懸伸部分-刀具夾持部分(II)和刀具懸伸部分(III)三個(gè)子結(jié)構(gòu)，分別獲取不同的刀柄對應(yīng)的子結(jié)構(gòu)II的頻響函數(shù)和不同刀具對應(yīng)的子結(jié)構(gòu)III的頻響函數(shù)并儲存于數(shù)據(jù)庫中。

圖2 刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測流程圖

如圖2所示，在實(shí)際應(yīng)用中調(diào)用不同刀柄-刀具組合對應(yīng)的子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)，利用RCSA剛性耦合理論即可快速、準(zhǔn)確地預(yù)測刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)。

1.1 RCSA剛性耦合理論

如圖3所示，子結(jié)構(gòu)A和子結(jié)構(gòu)B剛性耦合為子結(jié)構(gòu)C，下面以該圖示結(jié)構(gòu)為例說明兩子結(jié)構(gòu)RCSA剛性耦合的原理。對于子結(jié)構(gòu)A而言，考慮兩個(gè)自由度(平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng))時(shí)，其頻響函數(shù)矩陣可以表示為：

(1)

(2)

式中，[Aij]表示j點(diǎn)單位激勵(lì)下i點(diǎn)的響應(yīng)，其中各元素表示的頻響函數(shù)為：Hij表示j點(diǎn)單位力作用下i點(diǎn)的位移響應(yīng)；Lij表示j點(diǎn)單位力矩作用下i點(diǎn)位移響應(yīng)；Nij表示j點(diǎn)單位力作用下i點(diǎn)轉(zhuǎn)角響應(yīng)；Pij表示j點(diǎn)單位力矩作用下i點(diǎn)轉(zhuǎn)角響應(yīng)。

同理可以給出子結(jié)構(gòu)B的頻響函數(shù)矩陣[B]，根據(jù)兩個(gè)子結(jié)構(gòu)在結(jié)合處的平衡條件和相容性條件，可以利用矩陣[A]、[B]推導(dǎo)得到矩陣[C]，如式(3)和式(4)所示[7]。

(3)

(4)

在RCSA剛性耦合理論中，為了得到裝配體頻響函數(shù)，首先要準(zhǔn)確獲各子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)。以下利用RCSA剛性耦合理論討論如何準(zhǔn)確獲取圖1中3個(gè)子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)。

圖3 兩結(jié)構(gòu)剛性耦合示意圖

2 子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)獲取方法

2.1 子結(jié)構(gòu)I頻響函數(shù)

假設(shè)圖1所示子結(jié)構(gòu)II和子結(jié)構(gòu)III的頻響函數(shù)已知，則可由式(4)耦合得到II-III組合體的頻響函數(shù)矩陣[R]，記為：

(5)

利用錘擊實(shí)驗(yàn)獲取I-II-III裝配體末端3b點(diǎn)處頻響函數(shù)G3b3b，由式(4)得：

G3b3b=R3b3b-R3b2a(R1b1b+R2a2a)-1R2a3b

(6)

利用上式反求可得R1b1b(逆RCSA法)：

R1b1b=R2a3b(R3b3b-G3b3b)-1R3b2a-R2a2a

(7)

然而，G3b3b矩陣中只有位移頻響H3b3b可以直接實(shí)驗(yàn)獲取，與轉(zhuǎn)動(dòng)自由度相關(guān)的頻響函數(shù)則采用間接計(jì)算獲取。如圖4所示，激勵(lì)1點(diǎn)，分別測量相距s的1、2、3點(diǎn)的位移響應(yīng)獲取位移頻響函數(shù)H11、H21、H31，利用二階有限差分法可知，當(dāng)s較小時(shí)，轉(zhuǎn)角可由式(8)求得，從而求出N3b3b。

(8)

(9)

圖4 轉(zhuǎn)動(dòng)自由度相關(guān)頻響函數(shù)測試方法

對于s的選擇，既不能太大又不能太小，太小會(huì)增加測量難度和相對誤差，太大則會(huì)增大有限差分法的誤差，一般s/l不宜超過0.04，其中l(wèi)表示結(jié)構(gòu)的長度[12]。

根據(jù)頻響函數(shù)矩陣的互易性原理有：

N3b3b=L3b3b

(10)

(11)

由以上推導(dǎo)可知，由子結(jié)構(gòu)II和III的頻響函數(shù)可以反求得到子結(jié)構(gòu)I的頻響函數(shù)。

2.2 子結(jié)構(gòu)II頻響函數(shù)

如圖5所示，為了方便測量，現(xiàn)將子結(jié)構(gòu)II利用圓棒延長成子結(jié)構(gòu)IV(刀柄-圓棒)，獲取子結(jié)構(gòu)IV的頻響函數(shù)矩陣后，利用式(7)和圓棒頻響函數(shù)矩陣反求得到子結(jié)構(gòu)II的頻響函數(shù)矩陣。以下推導(dǎo)如何利用錘擊實(shí)驗(yàn)獲取子結(jié)構(gòu)IV的頻響函數(shù)矩陣。

圖5 子結(jié)構(gòu)IV頻響函數(shù)測量示意圖

由式(1)和式(2)可知對于兩端自由的子結(jié)構(gòu)其頻響函數(shù)矩陣包含16個(gè)元素。由錘擊實(shí)驗(yàn)可直接獲取4個(gè)位移頻響函數(shù)H11、H12、H21、H22，且矩陣內(nèi)部關(guān)系有：

(12)

因此，獲取矩陣元素的關(guān)鍵在于獲取Nij，即如何通過實(shí)驗(yàn)間接測量轉(zhuǎn)角響應(yīng)。

如圖5所示，選取子結(jié)構(gòu)IV兩端6個(gè)測量點(diǎn)，間距均為s。在端點(diǎn)1、2處分別采用向后和向前二階有限差分方法，可以推導(dǎo)得轉(zhuǎn)角頻響函數(shù)表達(dá)式(13)。

(13)

式(13)中共包含12個(gè)位移頻響函數(shù)。由此可得實(shí)驗(yàn)測量方法：①敲擊1點(diǎn)，分別測量1、1a、1b、2、2a、2b點(diǎn)的響應(yīng)；②敲擊2點(diǎn)，分別測量1、1a、1b、2、2a、2b點(diǎn)的響應(yīng)；而后由式(12)和式(13)可獲取子結(jié)構(gòu)IV的頻響函數(shù)矩陣，進(jìn)而可反求得到子結(jié)構(gòu)II的頻響函數(shù)。

2.3 子結(jié)構(gòu)III頻響函數(shù)

子結(jié)構(gòu)III包含刀桿和刀齒兩部分，刀桿部分相當(dāng)于圓柱梁，其頻響函數(shù)可以通過歐拉梁或者Timoshenko梁模型仿真獲取。Timoshenko梁模型由于其考慮了梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切效應(yīng)，比歐拉梁模型適用性更廣而且容易操作。表1是直徑同為16mm不同長度的高速鋼圓棒自由模態(tài)實(shí)驗(yàn)與兩種梁模型仿真結(jié)果對比(固有頻率相對誤差對比)。

表1 兩種梁模型誤差對比

由表1結(jié)果可知，Timoshenko梁模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合度很高，而歐拉梁模型誤差較大，而且隨著圓棒長度減小，誤差越來越大。因此，本模型選用Timoshenko梁模型仿真獲取子結(jié)構(gòu)III的頻響函數(shù)。其中刀齒部分直徑按刀桿直徑的80%近似等效。

至此，電主軸系統(tǒng)中三個(gè)子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)獲取方法均已推導(dǎo)完畢，下面基于以上理論開展實(shí)驗(yàn)并預(yù)測刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)研究

實(shí)驗(yàn)在170XDS20Z11型電主軸試驗(yàn)臺上進(jìn)行，搭配HSK-E40刀柄，實(shí)驗(yàn)先用高速鋼圓棒替代刀具獲取子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)，再安裝刀具進(jìn)行刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測研究。

3.1 I-II-III裝配體3b點(diǎn)處頻響函數(shù)測量

將直徑為16mm，長度為120mm的高速鋼圓棒裝夾在刀柄上，懸長72.5mm。圓棒彈性模量為210GPa，密度為7800kg/m3，材料阻尼為0.0015，泊松比為0.3。如圖6所示，實(shí)驗(yàn)采用PCB 086C01型力錘按照圖4所示方案對1點(diǎn)施加激勵(lì)，采用Kistler 8778A500微型單向加速度傳感器拾取測量點(diǎn)的振動(dòng)信號，力錘和加速度傳感器同時(shí)連接到LMS SCADAS Mobile(SCM05機(jī)箱)采集設(shè)備，實(shí)現(xiàn)對信號的同步采集。

圖6 錘擊實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

利用LMS Test.Lab軟件的錘擊實(shí)驗(yàn)?zāi)K實(shí)現(xiàn)對實(shí)驗(yàn)過程的監(jiān)測和數(shù)據(jù)的處理，每組實(shí)驗(yàn)重復(fù)五次，實(shí)驗(yàn)過程中盡量保證每次測量的結(jié)果基本一致，最后取其平均值。通過實(shí)驗(yàn)測量的位移頻響函數(shù)H11、H21、H31結(jié)合式(10)、式(11)可計(jì)算出圖4中3b點(diǎn)處轉(zhuǎn)角頻響函數(shù)N3b3b和P3b3b，如圖7所示，圖中三條頻響函數(shù)曲線形狀相似，幅值呈一定比例關(guān)系，模態(tài)頻率基本相同。

圖7 點(diǎn)3b處頻響函數(shù)H3b3b、N3b3b和P3b3b

3.2 子結(jié)構(gòu)II頻響函數(shù)測量

如圖8所示，從主軸上取下刀柄-圓棒組合體，近似看成子結(jié)構(gòu)IV，將其置于軟墊上模擬水平方向自由邊界條件，按照圖5所示方案進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，共測量12個(gè)位移頻響函數(shù)，由式(12)、式(13)可求得子結(jié)構(gòu)IV的頻響函數(shù)矩陣，進(jìn)而利用逆RCSA法即可算得子結(jié)構(gòu)II的頻響函數(shù)矩陣。

圖8 刀柄-圓棒組合體頻響函數(shù)測試示意圖

子結(jié)構(gòu)III的頻響函數(shù)由Timoshenko梁仿真獲取，而后根據(jù)式(7)可反求得子結(jié)構(gòu)I的頻響函數(shù)，最后將三個(gè)子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)存入數(shù)據(jù)庫用于后續(xù)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測。

3.3 刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測

由圖2可知，對于不同的刀柄-刀具組合，只需要從數(shù)據(jù)庫中分別調(diào)用其對應(yīng)的子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)，采用RCSA剛性耦合理論將三個(gè)子結(jié)構(gòu)耦合連接即可快速得到刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)。

用上述方法分別預(yù)測懸長為70mm的圓棒端點(diǎn)和懸長為100mm的高速鋼銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，并與實(shí)測值(模態(tài)頻率及對應(yīng)負(fù)實(shí)部幅值)進(jìn)行比較，如圖9和圖10所示。

由圖9和表2可以看出，圓棒端點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測曲線與實(shí)測曲線符合得較好，其固有頻率偏差幾乎為零，非固有頻率處幅值偏差也很小，在固有頻率處，由于幅值變化劇烈，誤差會(huì)明顯增大，但總體來說，具有較高的預(yù)測精度。

(a)實(shí)頻特性曲線

(b)虛頻特性曲線圖9 圓棒端點(diǎn)預(yù)測與實(shí)測頻響函數(shù)對比

模態(tài)階次123預(yù)測頻率/Hz87710982072實(shí)測頻率/Hz87710952071相對誤差/%00．270．05預(yù)測幅值μm/N1．171．351．36實(shí)測幅值μm/N1．011．091．08相對誤差/%15．8423．8525．93

隨后，將高速鋼銑刀替代圓棒進(jìn)行刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測，如圖10所示，銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測曲線與實(shí)測曲線也符合得很好。由于銑刀長度大，剛度小，0～4000Hz內(nèi)僅有一階由刀具模態(tài)主導(dǎo)的主模態(tài)，其模態(tài)頻率誤差為1.60%，對應(yīng)負(fù)實(shí)部幅值誤差為30.98%，同樣具有較高的預(yù)測精度，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文預(yù)測模型的準(zhǔn)確性。

(a)實(shí)頻特性曲線

(b)虛頻特性曲線圖10 銑刀刀尖點(diǎn)預(yù)測與實(shí)測頻響函數(shù)對比

4 結(jié)束語

基于RCSA法提出了一種主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測的方案，通過對主軸系統(tǒng)進(jìn)行合理的子結(jié)構(gòu)劃分，簡化了預(yù)測流程，提高了預(yù)測的效率。利用有限差分法、逆RCSA法等方法推導(dǎo)了子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)的獲取算法，并通過實(shí)驗(yàn)間接獲取子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)，進(jìn)而快速準(zhǔn)確地預(yù)測了刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)，為高速銑削加工穩(wěn)定性分析提供了可靠的基礎(chǔ)。

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ModelingofSpindleDynamicsandToolPointFrequencyResponseFunctionPrediction

LIU Cheng-ying1a,1b，LIU Wei1a,1b，ZHENG Feng2，ZHANG Zhi1a,1b，ZHANG Jie1a,1b

(1a.Department of Mechanical Engineering；b.Beijing Key Lab of Precision/Ultra-precision Manufacturing Equipment and Control, Tsinghua University, Beijing 100084,China;2. School of Mechatronics Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731,China)

To obtain the tool point frequency response function (FRF) for constructing a stability Lobe diagram, a new spindle system model based on receptance coupling substructure analysis (RCSA) method was presented. Spindle-holder-tool assembly was divided into three substructures according to practical application: the spindle-holder base; the extended holder-tool holding part; and tool overhang part. And substructures′ frequency functions were obtained by impact test; finite difference method; inverse RCSA method and Timoshenko beam model. This method avoided the modeling and parameter identification of interface, which could predict tool point RFR with different holder-tool combination simply and accurately. Experiments were carried out on 170XDS20Z11 spindle system, the results showed a good agreement with prediction.

receptance coupling; frequency response function; substructure; prediction

1001-2265(2017)11-0011-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.11.004

2017-03-03；

2017-03-14

國家科技重大專項(xiàng)(2013ZX04001-021)

劉成穎(1960—)，女，遼寧大連人，清華大學(xué)副教授，研究方向?yàn)榫芘c超精密加工工藝及其裝備、直線直驅(qū)技術(shù)與精密運(yùn)動(dòng)控制、智能檢測與監(jiān)控，(E-mail)liucy@tsinghua.edu.cn。

TH113;TG113.25

A

(編輯李秀敏)