拋物線中的一個(gè)結(jié)論及推廣

韓永強(qiáng)+康微

2017年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第20題的第（1）小問(wèn)蘊(yùn)含了拋物線中的一個(gè)重要結(jié)論，本文從一般化推廣、特殊化處理、逆向思考、橫向類(lèi)比的角度對(duì)該結(jié)論進(jìn)行探究。現(xiàn)分析如下：

一、試題再現(xiàn)

（2017年高考全國(guó)卷Ⅲ理科20題）已知拋物線C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓。

（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；

（2）設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P（4，2），求直線l與圓M的方程。

二、性質(zhì)結(jié)論

1.結(jié)論1-1：已知拋物線C：y2=2px，過(guò)點(diǎn)（2p，0）的弦交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則拋物線內(nèi)接△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。

以上命題的結(jié)論也等價(jià)于OA⊥OB？圳·=0？圳以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

2017年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第20題的第（1）小問(wèn)實(shí)質(zhì)上考查的就是該結(jié)論。

對(duì)于本結(jié)論的證明方法頗多，限于篇幅，下面與讀者分享一種巧設(shè)直線“另類(lèi)”方程，構(gòu)造齊次式的證法。

證明：設(shè)直線AB的方程為mx+ny=1（這種“另類(lèi)”形式的直線方程除了不能表示經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線其余皆可表示，用它表直線AB可避免斜率是否存在的討論，而且方便下一步構(gòu)造齊次式。

聯(lián)立y2=2pxmx+ny=1？圯y2=2px（mx+ny）？圯y2-2pmx2-2pnxy=0（齊次式?。?/p>

？圯2-2pn-2pm=0。

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則和為以上方程的兩根，故由韋達(dá)定理知：·=-2pm。

又直線AB：mx+ny=1過(guò)點(diǎn)（2p，0），于是有2pm=1，所以·=-2pm=-1；

即OA⊥OB？圳·=0？圳以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。

命題得證。

2.對(duì)結(jié)論1-1逆向思考，可得到結(jié)論1-1的逆命題：

結(jié)論1-2：已知拋物線C：y2=2px，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)作拋物線內(nèi)接Rt△OAB，則斜邊AB所在的弦恒過(guò)定點(diǎn)（2p，0）。

證明：設(shè)直線AB的方程為mx+ny=1。

聯(lián)立y2=2pxmx+ny=1？圯y2=2px（mx+ny）？圯y2-2pmx2-2pnxy=0？圯2-2pn-2pm=0。

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則和為以上方程的兩根；

又OA⊥OB，所以kOA·kOB=·=-2pm=-1？圯m=。

所以直線AB的方程為mx+ny=1，即x+ny=1，所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（2p，0）。

命題得證。

3.對(duì)結(jié)論1-1進(jìn)行一般化推廣：

結(jié)論2-1：已知拋物線C：y2=2px，過(guò)點(diǎn)（a，0）的弦交拋物線于相異兩點(diǎn)A、B，則·為定值a（a-2p）。

證明：設(shè)直線AB的方程為x=my+a，聯(lián)立y2=2pxx=my+a？圯y2=2p（my+a）。

所以y1y2=-2pa，即x1x2==a2；

所以x1x2+y1y2=a2-2pa=a（a-2p），即·=a（a-2p）。

命題得證。

對(duì)結(jié)論2-1特殊化處理，令a=2p，即得x1x2+y1y2=a2-2pa=a（a-2p）=0，也就是結(jié)論1-1；所以結(jié)論2-1是結(jié)論1-1的推廣，結(jié)論1-1是結(jié)論2-1的特殊情形。

4.對(duì)結(jié)論2-1也作逆向研究，還可得到：

結(jié)論2-2：已知拋物線C：y2=2px，直線AB交拋物線于相異兩點(diǎn)A、B，若·=k（常數(shù)），則有：

（Ⅰ）當(dāng)p2+k>0時(shí)，直線AB過(guò)定點(diǎn)（p+，0）或（p-，0）；

Ⅱ當(dāng)p2+k=0時(shí)，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（p，0）；

Ⅲ當(dāng)p2+k<0時(shí)，直線AB不存在。

證明：設(shè)直線AB的方程為x=my+n，

聯(lián)立y2=2pxx=my+n？圯y2=2p（my+n）？圯y2-2pmy-2pn=0？圯y1y2=-2pn。

所以·=x1x2+y1y2=+y1y2=n2-2pn=（n-p）2-p2≥-p2。

Ⅰ當(dāng)p2+k>0，n2-2pn=（n-p）2-p2=n（n-2p）=k？圯n=p±；

則直線AB的方程為x=my+n=my+（p±），

即直線AB過(guò)定點(diǎn)（p+，0）或（p-，0）。

（Ⅱ）當(dāng)p2+k=0，由n2-2pn=k得：n=p±=p，

即直線AB的方程為x=my+n=my+p，

即直線AB過(guò)定點(diǎn)（p，0）。

（Ⅲ）當(dāng)p2+k<0，由n2-2pn=k知，此時(shí)關(guān)于n的方程無(wú)實(shí)數(shù)解，即直線AB不存在。

命題得證。

當(dāng)結(jié)論2-2中k=0時(shí)即得結(jié)論1-2，所以結(jié)論2-2是結(jié)論1-2的推廣，結(jié)論1-2是結(jié)論2-2的特殊情形。

5.再換一個(gè)角度對(duì)結(jié)論1-1和1-2進(jìn)行推廣，可得：

結(jié)論3：過(guò)拋物線C：y2=2px（p>0）上的定點(diǎn)A（x0，y0）引拋物線的兩條弦AP、AQ，則AP⊥AQ（即AP·AQ=0）的充要條件是直線PQ過(guò)定點(diǎn)（2p+x0，-y0）。

證明：（必要性）

下面仍然構(gòu)造齊次式來(lái)證明。

為便于研究，平移坐標(biāo)系，將新坐標(biāo)系的原點(diǎn)定在原坐標(biāo)系的點(diǎn)A（x0，y0）處。

舊系中的拋物線C：y2=2px（p>0）在新系中對(duì)應(yīng)C1：（y+y0）2=2p（x+x0）。

在新系中設(shè)直線PQ的方程為mx+ny=1，由（y+y0）2=2p（x+x0）？圯y2+2yy0+y02=2px+2px0；endprint

又點(diǎn)A（x0，y0）在拋物線C：y2=2px（p>0）上，所以y02=2px0。

故y2+2yy0-2px=0？圯y2+（2yy0-2px）（mx+ny）=0（構(gòu)造齊次式！）

？圯y2+2my0xy+2ny0y-2pmx2-2pnxy=0

？圯（1+2ny0）y2+（2my0-2pn）xy-2pmx2=0

？圯（1+2ny0）（）2+（2my0-2pn）-2pm=0。

在新系中，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），因?yàn)锳P⊥AQ，

所以kAP·kAQ===-1，即2pm=1+2ny0？圯m=，

直線PQ的方程為mx+ny=1？圯x+ny=1，

即（2ny0+1）x+2pny=2p？圯（2y0x+2py）n+x-2p=0。

所以在新坐標(biāo)系下直線PQ恒過(guò)點(diǎn)（2p，-2y0），

轉(zhuǎn)換后，在原坐標(biāo)系下直線PQ恒過(guò)點(diǎn)（2p+x0，-y0）。

命題得證。

下證：（充分性）

設(shè)直線PQ的方程為x=m（y+y0）+2p+x0，

聯(lián)立y2=2pxx=m（y+y0）+2p+x0？圯y2-2pmy-2p（y0m+2p+x0）=0。

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則有y1+y2=2pm，y1y2=-2p（y0m+2p+x0），

所以x1+x2=m（y1+y2）+2（y0m+2p+x0），x1x2==（y0m+2p+x0）2；

又y02=2px0，所以kAP·kAQ=·===-1。

故AP⊥AQ。

命題得證。

將結(jié)論1-1，結(jié)論1-2和結(jié)論3進(jìn)行比較，它們具有特殊和一般的關(guān)系。

6.對(duì)結(jié)論1-1，結(jié)論1-2進(jìn)行橫向類(lèi)比研究還可得：

結(jié)論4-1：已知點(diǎn)M（x0，y0）是曲線mx2+ny2=1（m+n≠0）上任一定點(diǎn)，以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)作曲線的內(nèi)接RtΔMAB，則動(dòng)直線AB過(guò)定點(diǎn)x0，-y0。

結(jié)論4-2：已知點(diǎn)M（x0，y0）是曲線mx2+ny2=1（m+n≠0）上任一定點(diǎn)，點(diǎn)Nx0，-y0是點(diǎn)M的伴隨定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N的直線交曲線于A、B兩點(diǎn)，則以AB為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)M。

限于篇幅，結(jié)論4-1，4-2留給讀者自己證明。

參考文獻(xiàn)：

鄒生書(shū).由一道拋物線競(jìng)賽題引發(fā)的探究[J].數(shù)學(xué)通訊，2017（2）.

（作者單位：1.四川省南充高級(jí)中學(xué) 2.四川省德陽(yáng)第五中學(xué)）endprint