基于超拉普拉斯先驗(yàn)的圖像非盲解卷積

李福燚，王彩霞，劉鵬，王曉曼

（長春理工大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，長春 130022）

基于超拉普拉斯先驗(yàn)的圖像非盲解卷積

李福燚，王彩霞，劉鵬，王曉曼

（長春理工大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，長春 130022）

自然圖像梯度的重尾分布在去噪、去模糊以及超分辨率等問題中已經(jīng)被證實(shí)是一個(gè)非常有效的先驗(yàn)。自然圖像梯度的長尾分布可以極好地用超拉普拉斯（Hyper-Laplacian）分布模型化?；诳臻g變化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)提出了一種超拉普拉斯先驗(yàn)的圖像快速非盲解卷積方法，對(duì)圖像進(jìn)行復(fù)原。該算法的優(yōu)勢(shì)就是引入空間變化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，使用分步交替迭代最小化方法，通過查表法快速對(duì)圖像去卷積求解。該方法的解卷積速度得到較大幅度的提升，而且對(duì)模糊圖像有較好的復(fù)原效果，提高了圖像的質(zhì)量。

SVPSF；Hyper-Laplacian；非盲解卷積

圖像退化指在圖像處理過程中，由系統(tǒng)的因素導(dǎo)致的圖像質(zhì)量的下降，即清晰圖像卷積上退化函數(shù)，而得到的低質(zhì)量的圖像。通常有圖像清晰度下降、失真等。圖像退化的原因通常有以下幾類：

（1）成像過程中目標(biāo)或拍攝設(shè)備的相對(duì)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的圖像運(yùn)動(dòng)模糊，圖像曝光時(shí)間過長引起的模糊等；

（2）散焦引起的圖像扭曲；

（3）圖像受隨機(jī)環(huán)境噪聲造成的模糊；

（4）光學(xué)系統(tǒng)的像差所導(dǎo)致的模糊［1］。

由點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是否已知，分為圖像盲解卷積和圖像的非盲解卷積?；诔绽瓜闰?yàn)的圖像非盲解卷積中，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為已知量，運(yùn)用超拉普拉斯算法對(duì)模糊圖像復(fù)原。

在圖像處理的過程中，自然圖像統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分布是使用頻率較高的分析工具。超分辨和去模糊等在實(shí)質(zhì)上都存在不適定問題，但可以通過自然圖像統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的先驗(yàn)正則化該問題，從而取得高質(zhì)量的結(jié)果。目前，相機(jī)的成像系統(tǒng)非常復(fù)雜，對(duì)制作工藝的精度要求比較高，但是實(shí)際效果并不是很好，在一定程度上增加了產(chǎn)品的成本，并且會(huì)在裝配過程中受到影響，容易受到干擾。所以提出計(jì)算光學(xué)的概念，來簡化成像系統(tǒng)的復(fù)雜度，通過電子學(xué)技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)簡單光學(xué)成像系統(tǒng)獲得的圖像復(fù)原。

在現(xiàn)有的算法中，常見的算法在時(shí)間和空間復(fù)雜度上都存在較大差別。相對(duì)穩(wěn)定可靠的算法是運(yùn)用正則化問題的先驗(yàn)匹配清晰圖像的邊緣分布，在復(fù)原結(jié)果與圖像先驗(yàn)分布模型間找到合適的平衡點(diǎn)，使之達(dá)到最佳效果。如果假設(shè)圖像的邊緣分布為高斯分布的，就可以通過快速傅立葉變換來覆蓋該圖像。但自然圖像的邊緣分布是非高斯的。如圖1所示，Empirical曲線是某真實(shí)圖像梯度的經(jīng)驗(yàn)分布，Gaussian是高斯擬合曲線，Laplacian是拉普拉斯擬合曲線，Hyper-Laplacian是α=2/3的超拉普拉斯擬合曲線。從圖1可以看出超拉普拉斯模型在α=2/3時(shí)的梯度分布擬合和其它模型相比，超拉普拉斯模型更符合真實(shí)圖像的梯度分布。

圖1 圖像分布模型

超拉普拉斯先驗(yàn)?zāi)芰钪亟▓D像效果更好，但該算法使復(fù)原問題變成非凸的，從而采用超拉普拉斯先驗(yàn)非盲解卷積算法比采用拉普拉斯算法在速度上下降很多，但是在復(fù)原效果上得到比較高的提升。Krishnan［2］等人提出了一種基于超拉普拉斯先驗(yàn)在頻域中來對(duì)圖像復(fù)原。該算法運(yùn)用交替最小化方法，在算法一個(gè)階段處理圖像的非凸部分，另一階段用FFT在頻域處理二次方程。通過將以上操作迭代執(zhí)行幾次，有效的防止IRLS中耗時(shí)的共扼梯度下降操作，提高了像質(zhì)，保證了算法的效率。

1 空間變化PSF的Hyper-Laplacian先驗(yàn)圖像非盲解卷積

Hirsch［3］等人提出的Efficient Filter Flow法，是通過在頻域計(jì)算圖像SVPSF。在不考慮噪聲影響下，圖像模糊程度用矩陣向量相乘線性表示為y=Ax。文獻(xiàn)［4］提出一種疊加的方法，該方法在頻域中可以迅速計(jì)算SVPSF，就是把模糊的圖像重疊劃分為N塊，其中一塊表示為：

式中，濾波器長度表示為k，a(r)j為第r個(gè)圖像塊的濾波器，原始的圖像用x表示，長度與圖像x大小一致的窗口函數(shù)用w(r)表示，使得第r個(gè)圖像塊與清晰圖像x對(duì)應(yīng)的位置像素值不等于零。

整幅圖像空間變化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)表示為：

式中，A(r)表示a(r)的矩陣形式，向量v的對(duì)角矩陣用Diag（v）表示，將上式變換到頻域：

式中，Za，Zy是補(bǔ)零矩陣，F(xiàn)代表離散傅里葉變換，Cr是剪切矩陣。

通過上述方法獲得SVPSF，用超拉普拉斯先驗(yàn)對(duì)圖像復(fù)原。關(guān)于圖像去模糊問題，自然圖像梯度符合的重尾分布是一個(gè)高效有力的先驗(yàn)知識(shí)，這種分布可以用p(x)∝e-k|x|a很好的描述。設(shè)X表示N個(gè)像素構(gòu)成的原始灰度圖像；y表示退化圖像。k和y都是已知的，通過算法復(fù)原，從而求得x。由于解卷積問題存在不確定性，所以加入補(bǔ)償函數(shù)補(bǔ)償函數(shù)是作用于一系列濾波器f1，…，fj處理x后得到的結(jié)果。權(quán)值λ是控制正則化的擬合程度。從數(shù)學(xué)角度分析，即解x的最大后驗(yàn)概率估計(jì)：，最大值 (x|y)與最小值-logp(x|y,k)等價(jià)：

其中，i是像素下標(biāo)，*代表二維卷積。為了簡便算法用兩個(gè)一階導(dǎo)數(shù)濾波器鑒于簡易性考慮，使用使用半二次補(bǔ)償法，在每個(gè)像素處引入輔助變量和移出補(bǔ)償項(xiàng)，得到等價(jià)函數(shù)：

其中，β是一個(gè)正則化過程變化的權(quán)值，β向無窮大靠近時(shí)，式（5）逐漸收斂于式（4）。對(duì)于給定的β，最小化式（5）的過程分兩步輪替執(zhí)行：給出x，求解w；給出w，求解x。式（3）實(shí)質(zhì)上是式（6）的變分模型：

用Hyper-Laplacian先驗(yàn)和求得的PSF對(duì)圖像進(jìn)行解卷積，從而使得空間變化下點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)恢復(fù)得到的圖像比空間不變點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的質(zhì)量要好。在基于超拉普拉斯先驗(yàn)的圖像非盲解卷積中，不僅基于Hyper-Laplacian先驗(yàn)加入空間變化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，還加入了正則項(xiàng)對(duì)圖像去馬賽克變換，恢復(fù)圖像的全彩色。

2 算法實(shí)現(xiàn)

基于超拉普拉斯先驗(yàn)的圖像非盲解卷積中使用查表法解決w子問題。最小化方程式（5）中，對(duì)于每一個(gè)β在增大前，重復(fù)運(yùn)行x和w子問題T次。其中，β從β0開始成比例遞增，直到最大值βmax。

算法步驟如下：

第一步：輸入模糊的圖像，參數(shù)β，正則化權(quán)值，空間變化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，內(nèi)部攜帶次數(shù)T。

第二步：β=β0，x=y；

第三步：當(dāng)β＜βmax時(shí)，滿足iter=0時(shí)執(zhí)行第四步；否則執(zhí)行第六步；

第四步：fori=0 to T do

給定x，運(yùn)用查表法對(duì)像素求方程

end for

第五步：β=βinc?β

第七步：返回解卷積后的圖像x。

3 實(shí)驗(yàn)與圖像評(píng)價(jià)

由于采用簡單鏡頭對(duì)圖像成像，得到的圖像因?yàn)楣鈱W(xué)成像系統(tǒng)成像鏡片的減少，受到成像系統(tǒng)帶來的像差、球差等等因素的影響，導(dǎo)致獲得的圖像非常的模糊，而基于超拉普拉斯先驗(yàn)的圖像非盲解卷積是將受像差等影響的模糊的圖像復(fù)原為清晰的圖像，且復(fù)原前后像質(zhì)相差較大，所以通過主觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)來對(duì)圖像進(jìn)行評(píng)價(jià)。所謂主觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)基于人眼主觀感受，對(duì)圖像給出主觀評(píng)定。一般做法是由一組專家與非專家評(píng)定者在一定的光照、角度等條件下對(duì)圖像進(jìn)行評(píng)估，得到一個(gè)平均統(tǒng)計(jì)結(jié)果［5］。其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如表1所示。

表1 圖像主觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

圖像質(zhì)量主觀評(píng)價(jià)是根據(jù)人的主觀判斷，是一種具有說服力的評(píng)價(jià)方式。

超拉普拉斯先驗(yàn)引入空間變化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的解卷積，主要運(yùn)用在運(yùn)動(dòng)或光學(xué)系統(tǒng)中像差所導(dǎo)致的圖像模糊。該算法使用重疊分塊，在頻域中計(jì)算SVPSF，根據(jù)空間變化的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)可以更完美的復(fù)原原圖像。運(yùn)用超拉普拉斯先驗(yàn)對(duì)圖像解卷積求解，從而平滑圖像。該算法不僅對(duì)復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)獲得的圖像有較好的復(fù)原成果，還對(duì)簡單光學(xué)成像系統(tǒng)獲取的模糊圖像也能達(dá)到同樣的效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示，該算法對(duì)使用佳能的成像鏡頭和簡單透鏡的成像復(fù)原，像質(zhì)都有明顯提升，復(fù)原細(xì)節(jié)如圖3所示。

圖2 模糊和恢復(fù)圖像

圖3 局部細(xì)節(jié)圖

表2 不同設(shè)備圖像的重建圖像像質(zhì)評(píng)價(jià)結(jié)果

從表2中可以看到客觀評(píng)價(jià)的結(jié)果，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，重建圖像的峰值信噪比和結(jié)構(gòu)相似性都有相應(yīng)的提高，所以通過算法復(fù)原后，圖像成像質(zhì)量有所改善。

4 結(jié)論

基于超拉普拉斯先驗(yàn)的圖像非盲解卷積引入了空間變化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的超拉普拉斯模型，來對(duì)簡單透鏡成像的圖像進(jìn)行復(fù)原，使用超拉普拉斯算法，并采用查詢表的方法達(dá)到有效的求解圖像反卷積的目的，減少了圖像復(fù)原的時(shí)間，同時(shí)用空間點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)來復(fù)原圖像也使圖像復(fù)原質(zhì)量更佳。但是對(duì)于點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)獲取的算法還有待改進(jìn)，從而獲得更精確的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，使得復(fù)原圖像更加清晰。

［1］郝建坤，黃瑋.空間變化PSF非盲去卷積圖像復(fù)原法綜述［J］.中國光學(xué)，2016，9（1）：41-50.

［2］Dilip Krishnan，Rob Rergus.Fast image deconvolution using hyper-laplacian priors，supple-mentary material［J］.NYU Tech.Rep，2009，10（2）:921-927.

［3］Hirsch M，Sra S，Sch Lkopf B，et al.Efficient filter flow for space-variant multiframe blind deconvolution［G］.In Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition（CVPR），2010,37（1）：607-614.

［4］Stockham Jr.High-speed convolution and correlation［C］.Spring jointcomputerconference.ACM，Proceedings of the April 1966：26-28.

［5］楊雄文.基于超拉普拉斯先驗(yàn)的圖像去模糊的研究與實(shí)現(xiàn)［D］.廣州：華南理工大學(xué)，2012：35-57.

Non-Blind Deconvolution of Images Based on Hyper-Laplacian Prior

LI Fuyi，WANG Caixia，LIU Peng，WANG Xiaoman
（School of Electronics and Information Engineering，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022）

The heavy tailed distribution of the natural image gradient has been proved to be a very effective priori indenoising，deblurring，super-resolution and so on.It can be well modeled by Hyper-Laplacian distribution.In this paper，we introduce spatially-varying point spread function （PSF），and propose fast non-blind deconvolution method based on Hyper-Laplacian prior.The advantage of Hyper-Laplacian is the introduction of spatially-varying point spread function，and it is used to solve the problem of image deconvolution by using the alternating iterative method.This method can be used to improve the quality of the reconstructed image，and it can improve the quality of image.

SVPSF；Hyper-Laplacian；non blind deconvolution

TN919.73

A

1672-9870（2017）05-0064-03

2017-04-18

李福燚（1993-），男，碩士研究生，E-mail：lifuyifly@163.com

；王彩霞（1978-），女，博士，副教授，E-mail：wcxhao@sina.com