• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    以滯量為參數(shù)的廣義Lienard方程的數(shù)值逼近

    2017-11-29 03:04:21初穎呂堂紅
    關(guān)鍵詞:系統(tǒng)

    初穎,呂堂紅

    (長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院,長(zhǎng)春 130022)

    以滯量為參數(shù)的廣義Lienard方程的數(shù)值逼近

    初穎,呂堂紅

    (長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院,長(zhǎng)春 130022)

    利用歐拉方法研究了對(duì)以滯量為參數(shù)的具有Hopf分支的廣義Lienard方程的數(shù)值逼近問(wèn)題。首先,利用歐拉方法將得到的時(shí)滯差分方程表示為映射,然后以時(shí)滯r為分支參數(shù),利用離散動(dòng)力系統(tǒng)的分支理論,在廣義Lienard方程具有Hopf分支的條件下,給出了差分方程Hopf分支存在的條件,及連續(xù)系統(tǒng)與其數(shù)值逼近間的關(guān)系,證明了當(dāng)該系統(tǒng)在r=r0產(chǎn)生Hopf分支時(shí),其數(shù)值逼近也在相應(yīng)的參數(shù)rh處具有Hopf分支,并且rh=r0+o(h),最后給出了一個(gè)數(shù)值仿真的例子,仿真結(jié)果表明Euler離散后的系統(tǒng)依舊保持了原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),從而驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性.

    廣義Lienard方程;歐拉方法;Hopf分支;數(shù)值逼近

    近年來(lái),廣義Lienard方程解的型態(tài)受到許多學(xué)者的關(guān)注。而滯量是引起時(shí)滯微分方程和常微分方程差異的關(guān)鍵,因而,以滯量為參數(shù)研究Hopf分支問(wèn)題是很有意義的。

    關(guān)于系統(tǒng)(1)的Hopf分支問(wèn)題,已經(jīng)有很多學(xué)者做了深入研究[1-3]。例如,1998年,文獻(xiàn)[1]以時(shí)滯r為參數(shù)研究了系統(tǒng)(1)的Hopf分支問(wèn)題,證明了Hopf分支的存在性,同時(shí)給出了計(jì)算Hopf分支的公式;文獻(xiàn)[2]利用指數(shù)多項(xiàng)式的τ-D劃分法討論了系統(tǒng)(1)的以k為分支參數(shù)的Hopf分支問(wèn)題;而文獻(xiàn)[3]則以參數(shù)b討論了系統(tǒng)(1)的Hopf分支情況,并給出了在r-b參數(shù)平面上的Hopf分支圖。

    本文將利用歐拉方法,以滯量r為分支參數(shù)繼續(xù)討論系統(tǒng)(1)的Hopf分支的數(shù)值逼近問(wèn)題。文獻(xiàn)[4-7]率先開(kāi)始了對(duì)時(shí)滯Logistic方程Hopf分支的數(shù)值逼近問(wèn)題的研究,并得到了一系列令人滿意的結(jié)果。所謂“數(shù)值逼近”,就是研究當(dāng)用數(shù)值方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行離散化時(shí),考察其數(shù)值解能否保持該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性的問(wèn)題。

    1 廣義Lienard方程的Hopf分支的存在性

    對(duì)于系統(tǒng)(1),假設(shè)時(shí)滯r>0為常數(shù),f,g∈C2,并且g(x)滿足g(0)=0,xg(x)>0。

    記f(0)=a,g′(0)=b,并且a>0,b>0。

    系統(tǒng)(1)等價(jià)于下面的二階時(shí)滯系統(tǒng):

    記?=y,再作時(shí)間變換t=rs,并將x(rs),y(rs)仍記為x(t),y(t),則(2)化為其等價(jià)系統(tǒng):

    其中,線性部分為:

    (4)的特征方程為:

    引理1 設(shè)r為參數(shù),則當(dāng)r=r0時(shí),方程(3)有Hoof分支,其中r0滿足以下條件:

    (i)方程(5)有一對(duì)共軛復(fù)根λ1,2=α(r)±iβ(r),此處α,β是實(shí)數(shù),且α(r0)=0,β(r0)=ω0>0;

    (ii)方程(5)在r=r0時(shí)的根,除λ(r0),λˉ(r0)外其余根都具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部;

    2 廣義Lienard方程的Hopf分支的數(shù)值逼近

    引入新向量Xn=(xn,yn,xn-1,yn-1,…,xn-m,yn-m)T,將(7)表示為

    其中,F(xiàn)(x)=(F0,F1,…,Fm)T是一個(gè)2(m+1)維的向量值函數(shù),即:

    將(8)式在(0,0)處展開(kāi),

    其線性部分為:

    其中,

    I為二階單位陣,

    的特征方程為:

    為了方便討論方程(3)的數(shù)值解的分支問(wèn)題,引入下面方程:

    類(lèi)似于文獻(xiàn)[8]中的引理4.1,有引理2。

    引理2 若特征方程(5)滿足條件(6),則D(μ,r,h)=0滿足:

    (i)D(μ,r,h)=0 有一對(duì)共軛復(fù)根μ1,2=σ(r)±iω(r);

    (ii)存在rh滿足rh=r0+o(h),σ(rh)=0,ω(rh)≠0 ;

    證 明 :(i-iii) 由 于D(μ,r,0)=d(μ,r) ,故D(iω0,r,0)=d(iω0,r). 在 (iω0,r0,0) 處

    故dμ(iω0,r0)≠0.由隱函數(shù)存在定理,在 (r0,0)鄰域內(nèi)存在唯一函數(shù)σ(r,h),ω(r,h)使得μ1,2=

    (iv)令 {μm},rm,hm使 得D(μm,rm,hm)=0,(rm,hm)∈N(r0,0),那么 |μm|一致有界。從而存在mj,使得μmj→μ0,rmj→r0,hmj→0。由D(μ0,r0,0)=0的連續(xù)性,有μ0=iω0,rh=r0。故:

    從而引理3得證。

    定理1 若微分方程(3)在r=r0處有Hopf分支,則當(dāng)步長(zhǎng)h充分小時(shí),差分方程(8)在rh=r0+o(h)處也產(chǎn)生Hopf分支。

    3 數(shù)值模擬

    本小節(jié)對(duì)系統(tǒng)(1)給出了一個(gè)數(shù)值仿真的例子。仿真結(jié)果表明Euler離散后的系統(tǒng)依舊保持了原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),從而驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。

    令f′(0)=a1=0.8,g′(0)=b=1.則系統(tǒng)(1)變?yōu)椋?/p>

    此時(shí)系統(tǒng)(13)存在唯一平衡點(diǎn)E*=(0,0).由文獻(xiàn)[3]的定理4.1易計(jì)算:r0≈0.378 316 029 857 13,于是,系統(tǒng)(13)在r=r0處產(chǎn)生Hopf分支。

    圖1 當(dāng)r=0.2<r0時(shí),系統(tǒng)(13)的相圖和波圖

    圖2 當(dāng)r=r0時(shí),系統(tǒng)(13)的相圖和波圖

    圖3 當(dāng)r=0.55>r0時(shí),系統(tǒng)(13)的相圖和波圖

    圖4 當(dāng)r=0.2<r0,h=0.02時(shí),離散系統(tǒng)(8)的相圖和波圖

    圖5 當(dāng)r=r0,h=0.02時(shí),離散系統(tǒng)(8)的相圖和波圖

    圖6 當(dāng)r=0.55>r0,h=0.02時(shí),系統(tǒng)(8)的相圖和波圖

    圖1-3分別表示未離散前解的系統(tǒng)(13)的波形圖及軌線圖。圖4-6分別表示用Euler法離散后的系統(tǒng)(8)的波形圖及軌線圖。從圖1中可以看出,當(dāng)r<r0時(shí)系統(tǒng)零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的,從圖2可以看出r=r0時(shí)系統(tǒng)在原點(diǎn)處經(jīng)歷Hopf分支,并在平衡點(diǎn)附近有穩(wěn)定的分支周期解產(chǎn)生,從圖3可以看出當(dāng)r>r0時(shí)系統(tǒng)零解不穩(wěn)定。由圖4-6可知,當(dāng)r<r0時(shí),系統(tǒng)(8)零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的,在r=r0附近時(shí),有穩(wěn)定周期解產(chǎn)生,當(dāng)r>r0時(shí),系統(tǒng)(8)零解不穩(wěn)定,說(shuō)明Euler離散后的系統(tǒng)(8)依舊保持了原系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。

    [1]唐風(fēng)軍,黃振勛,阮炯.以滯量為參數(shù)的廣義Lienard方程的Hopf分支[J].數(shù)學(xué)年刊,1998,19A:(4):469-476.

    [2]馬蘇奇,陸啟韶.一類(lèi)具有時(shí)滯的Lienard方程的Hopf分支[J].中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2003,8(4):1-4.

    [3]唐明.具有限時(shí)滯的廣義Lienard方程的Hopf分[D].長(zhǎng)春:東北師范大學(xué),2002.

    [4]Lambert J D.Numerical method for ordinary differential equations[M].Chichester:John Wiley,1991.

    [5]Kazarino N,Wan Y H,Van den Driessche P.Hopf bifurcation and stability of periodic solutions of differential-difference and integro-differential equations[J].Journal of the Institute of Mathematical Appliations,1978(21):461-467.

    [6]Halej,Lunel S V.Introduction to functional differential equations[M].New York:Spring-Verlag,1993.

    [7]Guckenheimer J,Holmes P J.No linear oscillations,dynamical systems and bifurcation of vector fields[M].New York:Spring-Verlag,1983.

    [8]Neville Ford,Volker Wulf.Numerical Hopf bifurcation for a class of delay differential equations[J].JCAM,2000(115):601-616.

    Numerical Approximation of Generalized Lienard Equation with Delay As a Parameter

    CHU Ying,LV Tanghong
    (School of Science,Changchun University of Science and Technology,Changchun 130022)

    The numerical approximation of the generalized Lienard equation which has Hopf bifurcations and with delay as parameter is considerd by using Euler method.Firstly,the delay deference equation obtained by using Euler method is written as a mapping.Then,under the condition that the generalized Lienard equation has Hopf bifurcation,by taking time delay ras the bifurcation parameter and using the bifurcation theory of discrete dynamical systems,we give the conditions for the existence of Hopf bifurcation of difference equations and the relationship between continuous system and numerical approximation of the continuous system,furthermore,we proved that the numerical approximation also has Hopf bifurcations at corresponding parametersrhand rh=r0+o(h)when the system has Hopf bifurcations atr=r0.Finally,an example of numerical simulation is given,the simulation results show that the system which is discretized by Euler till keeps the dynamical property of the original system,which verifies the correctness of the theoretical results.

    the generalized Lienard equation;Euler method;Hopf bifurcation;numerical approximation

    O175

    A

    1672-9870(2017)05-0128-04

    2017-09-29

    國(guó)家自然科學(xué)基金(10726062)

    初穎(1984-),女,博士,講師,E-mail:chuying_12345@sina.com

    呂堂紅(1979-),女,副教授,E-mail:lvtanghong@163.com

    猜你喜歡
    系統(tǒng)
    Smartflower POP 一體式光伏系統(tǒng)
    WJ-700無(wú)人機(jī)系統(tǒng)
    ZC系列無(wú)人機(jī)遙感系統(tǒng)
    基于PowerPC+FPGA顯示系統(tǒng)
    基于UG的發(fā)射箱自動(dòng)化虛擬裝配系統(tǒng)開(kāi)發(fā)
    半沸制皂系統(tǒng)(下)
    FAO系統(tǒng)特有功能分析及互聯(lián)互通探討
    連通與提升系統(tǒng)的最后一塊拼圖 Audiolab 傲立 M-DAC mini
    一德系統(tǒng) 德行天下
    PLC在多段調(diào)速系統(tǒng)中的應(yīng)用
    婷婷精品国产亚洲av在线| 成人午夜高清在线视频| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 亚洲av中文av极速乱 | 国产午夜精品论理片| 免费在线观看日本一区| 免费黄网站久久成人精品| 嫁个100分男人电影在线观看| 91久久精品国产一区二区成人| 亚洲自偷自拍三级| www.色视频.com| 中文字幕av成人在线电影| 又黄又爽又免费观看的视频| 免费av不卡在线播放| 不卡一级毛片| av福利片在线观看| 乱系列少妇在线播放| 国产黄a三级三级三级人| 老熟妇仑乱视频hdxx| 久久久国产成人精品二区| 99在线视频只有这里精品首页| 九九热线精品视视频播放| 2021天堂中文幕一二区在线观| 国产成人一区二区在线| 国产精品久久久久久久久免| 亚洲av第一区精品v没综合| 一a级毛片在线观看| 久久久久久久久久成人| 桃色一区二区三区在线观看| 欧美日韩乱码在线| 久久99热这里只有精品18| 中文亚洲av片在线观看爽| 久久久精品大字幕| 午夜激情福利司机影院| a级毛片免费高清观看在线播放| 神马国产精品三级电影在线观看| 直男gayav资源| 男插女下体视频免费在线播放| 精品不卡国产一区二区三区| 九色国产91popny在线| 国产成人av教育| 国产黄色小视频在线观看| 99久久精品热视频| 老熟妇仑乱视频hdxx| 韩国av一区二区三区四区| 日本黄色片子视频| 最近最新免费中文字幕在线| 久久久久久久久久黄片| 三级国产精品欧美在线观看| 欧美日韩国产亚洲二区| 亚洲人成网站高清观看| 99热这里只有是精品50| 亚洲国产色片| 亚洲最大成人手机在线| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 色综合亚洲欧美另类图片| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 成人国产综合亚洲| 亚洲在线观看片| 韩国av在线不卡| 亚洲黑人精品在线| 国产av不卡久久| 搡老岳熟女国产| av.在线天堂| 欧美人与善性xxx| 天堂网av新在线| 人人妻人人看人人澡| 如何舔出高潮| 久久国内精品自在自线图片| 俄罗斯特黄特色一大片| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 精品国产三级普通话版| 欧美日韩精品成人综合77777| 亚洲专区国产一区二区| 在线a可以看的网站| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| 久久人妻av系列| 热99re8久久精品国产| 乱人视频在线观看| 热99在线观看视频| 国产精品综合久久久久久久免费| av天堂在线播放| 一级黄色大片毛片| 免费人成在线观看视频色| 中文字幕久久专区| 午夜久久久久精精品| 欧美高清性xxxxhd video| 99久久精品国产国产毛片| 变态另类丝袜制服| 国产精品福利在线免费观看| 精品不卡国产一区二区三区| 中文字幕av在线有码专区| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 国产亚洲精品久久久com| 国产精品三级大全| 午夜福利18| 三级男女做爰猛烈吃奶摸视频| 黄色欧美视频在线观看| 成人二区视频| 午夜免费激情av| 天天躁日日操中文字幕| 桃红色精品国产亚洲av| 久久6这里有精品| 国产男人的电影天堂91| 亚洲精品一区av在线观看| 成人国产综合亚洲| 欧美高清成人免费视频www| 91精品国产九色| 禁无遮挡网站| 搡老妇女老女人老熟妇| 深夜精品福利| 少妇人妻一区二区三区视频| 人妻夜夜爽99麻豆av| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 国产精品电影一区二区三区| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 夜夜夜夜夜久久久久| 国产亚洲av嫩草精品影院| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 亚洲美女视频黄频| 精品人妻1区二区| 亚洲成人免费电影在线观看| 免费看光身美女| 亚洲午夜理论影院| 美女高潮的动态| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 久久久精品欧美日韩精品| 日韩欧美免费精品| 超碰av人人做人人爽久久| 天堂√8在线中文| 在线免费观看的www视频| 国产主播在线观看一区二区| 国产一区二区三区av在线 | 亚州av有码| 九九热线精品视视频播放| 深夜精品福利| 国产一区二区亚洲精品在线观看| 国产黄a三级三级三级人| 久久中文看片网| 精品国产三级普通话版| 精华霜和精华液先用哪个| 日本五十路高清| 国产蜜桃级精品一区二区三区| www.色视频.com| 丰满的人妻完整版| 国产伦精品一区二区三区视频9| 97人妻精品一区二区三区麻豆| 男女啪啪激烈高潮av片| 国产一区二区三区视频了| 熟女电影av网| 国产高清不卡午夜福利| 搞女人的毛片| 国内精品久久久久精免费| 欧美xxxx性猛交bbbb| 国产精华一区二区三区| 色播亚洲综合网| 岛国在线免费视频观看| 美女cb高潮喷水在线观看| 午夜爱爱视频在线播放| 中出人妻视频一区二区| 窝窝影院91人妻| 天堂网av新在线| 欧美最黄视频在线播放免费| 国产精品一区二区免费欧美| 97超级碰碰碰精品色视频在线观看| 熟女人妻精品中文字幕| 亚洲精品456在线播放app | 久久香蕉精品热| 国产精品久久久久久亚洲av鲁大| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 黄色视频,在线免费观看| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频 | 日日撸夜夜添| 婷婷六月久久综合丁香| 国产不卡一卡二| 日本五十路高清| 自拍偷自拍亚洲精品老妇| 日韩中字成人| 深夜a级毛片| 18禁黄网站禁片免费观看直播| 色在线成人网| 22中文网久久字幕| 亚洲成人免费电影在线观看| 欧美三级亚洲精品| 全区人妻精品视频| 亚洲电影在线观看av| 中文亚洲av片在线观看爽| 在线天堂最新版资源| 日本黄大片高清| 在线观看av片永久免费下载| 日日啪夜夜撸| 少妇人妻一区二区三区视频| 搡老岳熟女国产| 久久精品夜夜夜夜夜久久蜜豆| 国内揄拍国产精品人妻在线| 婷婷色综合大香蕉| 18禁黄网站禁片免费观看直播| 日韩中字成人| 久久99热这里只有精品18| 国产91精品成人一区二区三区| 丰满人妻一区二区三区视频av| 欧美黑人欧美精品刺激| 亚洲av成人av| 变态另类丝袜制服| 国产精品日韩av在线免费观看| 嫩草影院精品99| 观看美女的网站| 夜夜爽天天搞| 美女cb高潮喷水在线观看| 亚洲欧美日韩高清专用| 在现免费观看毛片| 国产成人aa在线观看| 夜夜夜夜夜久久久久| 老司机福利观看| 在线播放国产精品三级| 国产色爽女视频免费观看| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 国内毛片毛片毛片毛片毛片| 久久久久久久久大av| 五月玫瑰六月丁香| 变态另类丝袜制服| av在线天堂中文字幕| 女人十人毛片免费观看3o分钟| 天天躁日日操中文字幕| 一本一本综合久久| 又爽又黄a免费视频| 日本熟妇午夜| 午夜免费成人在线视频| 色哟哟·www| 高清毛片免费观看视频网站| 精品久久久久久成人av| 久久久久免费精品人妻一区二区| 中文亚洲av片在线观看爽| 国产爱豆传媒在线观看| 日本色播在线视频| 国产精品一区二区三区四区久久| 听说在线观看完整版免费高清| 一区二区三区免费毛片| 国产精品嫩草影院av在线观看 | 国产美女午夜福利| 最新在线观看一区二区三区| 亚洲人成网站在线播| 国产av一区在线观看免费| 中文字幕久久专区| 波多野结衣巨乳人妻| 熟妇人妻久久中文字幕3abv| 久久热精品热| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区| 男插女下体视频免费在线播放| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| 精品无人区乱码1区二区| 蜜桃亚洲精品一区二区三区| 尤物成人国产欧美一区二区三区| 久久国产精品人妻蜜桃| 国产在线男女| 国产毛片a区久久久久| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看| 久久热精品热| 欧美bdsm另类| 丰满乱子伦码专区| 一进一出抽搐动态| 可以在线观看毛片的网站| 欧美人与善性xxx| 亚洲色图av天堂| 亚洲国产高清在线一区二区三| 成人av一区二区三区在线看| 日韩欧美 国产精品| av在线观看视频网站免费| 国产欧美日韩精品亚洲av| 嫩草影院新地址| 一本一本综合久久| 精品午夜福利视频在线观看一区| 亚洲精品456在线播放app | av天堂在线播放| 免费电影在线观看免费观看| 亚洲最大成人av| 18禁在线播放成人免费| 男女之事视频高清在线观看| 给我免费播放毛片高清在线观看| xxxwww97欧美| 成人欧美大片| 99视频精品全部免费 在线| 日本色播在线视频| 舔av片在线| 好男人在线观看高清免费视频| 国产精品电影一区二区三区| 日韩精品青青久久久久久| 久久久久久大精品| 精品人妻熟女av久视频| 高清在线国产一区| 内射极品少妇av片p| 成人毛片a级毛片在线播放| 久久久久久久久大av| 最近最新免费中文字幕在线| 欧美另类亚洲清纯唯美| 搞女人的毛片| 国产三级在线视频| 18禁在线播放成人免费| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 久久久久久久亚洲中文字幕| 亚洲欧美日韩东京热| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 日本精品一区二区三区蜜桃| 久久久久国内视频| 美女高潮的动态| 中文字幕久久专区| 国语自产精品视频在线第100页| 日韩精品青青久久久久久| www.色视频.com| 观看美女的网站| 国产成人aa在线观看| 级片在线观看| 久久精品国产亚洲av涩爱 | 欧美在线一区亚洲| 美女 人体艺术 gogo| 国产高清三级在线| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 婷婷精品国产亚洲av在线| 天堂动漫精品| 欧美成人a在线观看| 最新在线观看一区二区三区| 啦啦啦韩国在线观看视频| av福利片在线观看| 搡老岳熟女国产| 免费看美女性在线毛片视频| 成年人黄色毛片网站| 国产v大片淫在线免费观看| 久久久精品大字幕| 国产成人一区二区在线| 人人妻人人澡欧美一区二区| 午夜a级毛片| 亚洲av一区综合| 亚洲一区高清亚洲精品| 搡老熟女国产l中国老女人| 亚洲乱码一区二区免费版| 黄色视频,在线免费观看| 日韩 亚洲 欧美在线| 亚洲在线自拍视频| 国产精品久久久久久久电影| 他把我摸到了高潮在线观看| 狠狠狠狠99中文字幕| 两人在一起打扑克的视频| 日本一本二区三区精品| 99久久九九国产精品国产免费| av中文乱码字幕在线| 男女边吃奶边做爰视频| 亚洲av免费高清在线观看| 在线播放国产精品三级| 欧美精品啪啪一区二区三区| 日韩欧美国产一区二区入口| 天堂√8在线中文| 男人的好看免费观看在线视频| 精品99又大又爽又粗少妇毛片 | 日日撸夜夜添| 亚洲精品影视一区二区三区av| 男人狂女人下面高潮的视频| 看黄色毛片网站| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 免费电影在线观看免费观看| 男女视频在线观看网站免费| 精品午夜福利视频在线观看一区| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 久久久午夜欧美精品| 欧美性猛交黑人性爽| 国产麻豆成人av免费视频| 午夜精品一区二区三区免费看| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| 色在线成人网| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 成人av在线播放网站| 中文字幕av在线有码专区| 老熟妇仑乱视频hdxx| 国产欧美日韩精品亚洲av| 国产亚洲av嫩草精品影院| 精品人妻一区二区三区麻豆 | 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 91狼人影院| 国产精品免费一区二区三区在线| 很黄的视频免费| 两性午夜刺激爽爽歪歪视频在线观看| 国产一区二区三区av在线 | 男女那种视频在线观看| 久久精品91蜜桃| 亚洲精品色激情综合| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片| 日韩欧美在线二视频| 日韩精品中文字幕看吧| 亚洲成人中文字幕在线播放| 国产伦人伦偷精品视频| 亚洲一区高清亚洲精品| 在线观看舔阴道视频| 2021天堂中文幕一二区在线观| 最近视频中文字幕2019在线8| 国产真实乱freesex| 人人妻人人看人人澡| 村上凉子中文字幕在线| 狠狠狠狠99中文字幕| 久久久久久久久久久丰满 | 精品久久久久久,| 我要搜黄色片| 色av中文字幕| h日本视频在线播放| 国产精品av视频在线免费观看| 夜夜爽天天搞| 日本三级黄在线观看| 免费av不卡在线播放| 黄色女人牲交| 日本一二三区视频观看| 成人美女网站在线观看视频| 成年女人看的毛片在线观看| 国产欧美日韩精品亚洲av| 亚洲国产色片| 精品久久久久久久人妻蜜臀av| 午夜福利高清视频| a级毛片免费高清观看在线播放| 无人区码免费观看不卡| 在线观看舔阴道视频| 亚洲国产精品sss在线观看| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 一卡2卡三卡四卡精品乱码亚洲| 国产毛片a区久久久久| 99热网站在线观看| 最近在线观看免费完整版| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 久久久久久九九精品二区国产| 黄色视频,在线免费观看| 一本精品99久久精品77| 村上凉子中文字幕在线| 亚洲精品影视一区二区三区av| 久久久久久久亚洲中文字幕| 午夜福利18| 久久久久国内视频| 18+在线观看网站| 日本 av在线| 毛片女人毛片| 真人做人爱边吃奶动态| 久久精品国产自在天天线| 91久久精品国产一区二区成人| 天堂影院成人在线观看| 亚洲成人免费电影在线观看| 精品午夜福利在线看| 99热6这里只有精品| 亚洲成人免费电影在线观看| 中文字幕熟女人妻在线| 免费黄网站久久成人精品| 中文亚洲av片在线观看爽| 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| 老司机午夜福利在线观看视频| 一级黄色大片毛片| 琪琪午夜伦伦电影理论片6080| 欧美高清性xxxxhd video| 国产午夜福利久久久久久| 嫩草影院精品99| 亚洲人成网站高清观看| 一级a爱片免费观看的视频| 国产成人aa在线观看| 全区人妻精品视频| www.www免费av| 免费av不卡在线播放| 观看美女的网站| 国产伦精品一区二区三区四那| 黄色女人牲交| 美女高潮的动态| 又粗又爽又猛毛片免费看| 午夜免费激情av| 日本成人三级电影网站| 欧美成人一区二区免费高清观看| 人妻制服诱惑在线中文字幕| 中文字幕免费在线视频6| 亚洲男人的天堂狠狠| 悠悠久久av| 亚洲av熟女| 精品久久久久久久久久免费视频| 成人毛片a级毛片在线播放| 一夜夜www| 麻豆一二三区av精品| 国产精品一及| 97超级碰碰碰精品色视频在线观看| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 又爽又黄无遮挡网站| 国产精品98久久久久久宅男小说| 99热只有精品国产| 99久国产av精品| 91久久精品电影网| 亚洲黑人精品在线| 国产又黄又爽又无遮挡在线| 亚洲真实伦在线观看| 国产精华一区二区三区| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| 精华霜和精华液先用哪个| 最近在线观看免费完整版| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 深夜精品福利| 男人狂女人下面高潮的视频| 1000部很黄的大片| 日日干狠狠操夜夜爽| 人妻丰满熟妇av一区二区三区| www日本黄色视频网| 国产淫片久久久久久久久| 老司机深夜福利视频在线观看| 深夜精品福利| 校园春色视频在线观看| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 亚洲av熟女| 人人妻人人看人人澡| 成年女人永久免费观看视频| 日本一本二区三区精品| 久久精品久久久久久噜噜老黄 | 国产一区二区在线av高清观看| 久久久国产成人精品二区| 欧美一区二区精品小视频在线| 色精品久久人妻99蜜桃| 中文字幕高清在线视频| 男人舔女人下体高潮全视频| 99精品久久久久人妻精品| 国内精品一区二区在线观看| 精品午夜福利在线看| 成人二区视频| 一区二区三区高清视频在线| 免费搜索国产男女视频| 国产欧美日韩精品一区二区| 日韩精品有码人妻一区| 成人性生交大片免费视频hd| 国产精品国产高清国产av| 女生性感内裤真人,穿戴方法视频| 99热这里只有精品一区| 欧美+亚洲+日韩+国产| 成人无遮挡网站| 中文资源天堂在线| 亚洲精品色激情综合| 精品日产1卡2卡| 91午夜精品亚洲一区二区三区 | 日日摸夜夜添夜夜添小说| 高清日韩中文字幕在线| 欧美成人免费av一区二区三区| 午夜福利高清视频| 久久久久国内视频| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 最新中文字幕久久久久| 夜夜夜夜夜久久久久| 12—13女人毛片做爰片一| 成人无遮挡网站| 亚洲最大成人中文| 丰满乱子伦码专区| 精品久久久噜噜| 色吧在线观看| 欧美另类亚洲清纯唯美| 国产精品福利在线免费观看| 日韩 亚洲 欧美在线| av.在线天堂| 最后的刺客免费高清国语| 两性午夜刺激爽爽歪歪视频在线观看| 床上黄色一级片| 国产色婷婷99| 久久精品国产亚洲av香蕉五月| 很黄的视频免费| av在线蜜桃| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片| 日本熟妇午夜| 舔av片在线| 午夜视频国产福利| 国产一区二区激情短视频| 成人综合一区亚洲| 日日撸夜夜添| 久久精品国产亚洲av天美| 黄片wwwwww| 国产单亲对白刺激| 国产精品福利在线免费观看| 国产人妻一区二区三区在| 全区人妻精品视频| 日韩欧美精品免费久久| 婷婷亚洲欧美| 亚洲av第一区精品v没综合| 中文字幕av在线有码专区| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 美女被艹到高潮喷水动态| 国产一区二区激情短视频| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 国产精品精品国产色婷婷| 亚洲性久久影院| 噜噜噜噜噜久久久久久91| netflix在线观看网站| 九九热线精品视视频播放| 在线观看舔阴道视频| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 久久久久久久久久成人| 欧美在线一区亚洲| 久久香蕉精品热| av女优亚洲男人天堂| 日韩欧美国产一区二区入口| 久久久国产成人精品二区| 成人国产麻豆网| 国产精品一区二区免费欧美| 女生性感内裤真人,穿戴方法视频| 欧美日本视频| 国产高清有码在线观看视频| 在线a可以看的网站| 亚洲欧美日韩高清专用| 成人国产一区最新在线观看| 99久国产av精品| 免费av毛片视频| 精品久久久噜噜| 久久久久久大精品| 亚洲,欧美,日韩| 一区二区三区四区激情视频 | 哪里可以看免费的av片| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 综合色av麻豆| АⅤ资源中文在线天堂| 亚洲在线观看片|