高中數(shù)學(xué)軌跡方程求法例談

張旻

【摘 要】解析幾何軌跡方程的求解是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，不管是在平時(shí)的教學(xué)中還是考試中，這部分都是必學(xué)、必考的。本文在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上分析了四中軌跡方程的求法直接法、定義法、代數(shù)法、參數(shù)法等。希望筆者的觀點(diǎn)能給大家的教學(xué)帶來一些思考和啟示。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；軌跡方程；解法例談

探討分析解析幾何中軌跡方程的求法不僅是提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的需要，也是提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效益的需要。在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)堅(jiān)持“授人以魚不如授人以漁”的教學(xué)思想，只有教給學(xué)生恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法，才能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

一、直接法求軌跡方程

直接法：題目中的條件有明顯的等量關(guān)系，或者可以利用平面幾何知識推出等量關(guān)系，列出含動點(diǎn)M（x，y）的解析式。

例1：在直角坐標(biāo)系xoy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）連結(jié)的斜率的積為定值-4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C.

（1）求出曲線C的方程；

（2）設(shè)直線y=kx+1與C交于A，B兩點(diǎn)，若⊥，求k的值。

解：（1）設(shè)P（x，y），x≠±1，由題意知=-4，化簡得x2+=1，所以曲線C的方程為x2+=1（x≠±1）.

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），其坐標(biāo)滿足

消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，

故x1+x2=-，x1x2=-.

若⊥，即x1x2+y1y2=0.

而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是x1x2+y1y2=---+1=0，化簡得-4k2+1=0，所以k=±.

二、定義法求軌跡方程

定義法：分析題設(shè)幾何條件，根據(jù)圓錐曲線的定義，判斷軌跡是何種類型的曲線，直接求出該曲線的方程。

例2：如圖，E，F(xiàn)是x軸上的定點(diǎn)，G、H、P是坐標(biāo)平面上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FG上，點(diǎn)H在線段EG上，并且||=，||=4，，2，=0.

（1）求P點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若直線l：y=x+m與P點(diǎn)的軌跡有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且·>2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解：（1）根據(jù)題意，|PE|=|PG|，則|PE|+|PF|=4，因此點(diǎn)P的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，其方程為+y2=1。

（2）將y=x+m代入+y2=1，得5x2+8mx+4（m2-1）=0，由Δ>0得m2<5. ①

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則·=x1x2+y1y2=.

由>2得m2>. ②

由①②得m的取值范圍是-5，.

三、代入法求軌跡方程

代入法：如果軌跡動點(diǎn)M（x，y）依賴于另一動點(diǎn)P（a，b），而P（a，b）又在某已知曲線上，則可先列出關(guān)于x，y，a，b的方程組，利用x，y表示出a，b，把a(bǔ)，b代入已知曲線方程便得動點(diǎn)P的軌跡方程。

例3：已知點(diǎn)P是圓x2+y2=1上一動點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影為Q，設(shè)滿足條件的點(diǎn)M的軌跡為曲線C。

（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)N（1，0）且斜率為k1（k1≠0）的直線l被曲線C所截得的弦的中點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA的斜率為k2，求k21+k22的最小值。

解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，y0）.

由，得x=2x0，y=y0，即x0=，y0=y.

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2+y2=1上，則+y2=1，故點(diǎn)M的軌跡，即曲線C的方程為+y2=1.

（2）由題設(shè)直線l的方程為y=k1（x-1），

得（4k21+1）x2-8k21x+4k21-4=0.

其中Δ=64k41-4（4k21+1）（4k21-4）

=16（3k21+1）>0.

設(shè)直線l與曲線C的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1， y1），（x2， y2），

則x1+x2=，

y1+y2=k1（x1+x2-2）=，

所以k2=.

所以k21+k22=k21+≥，當(dāng)且僅當(dāng)k1=±時(shí)取等號。

故k21+k22的最小值為.

四、參數(shù)法求軌跡方程

參數(shù)法：如果軌跡動點(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒有相關(guān)點(diǎn)可用時(shí)，可先考慮將x，y用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程.參數(shù)法中常選角、斜率等為參數(shù)。

例4：設(shè)橢圓方程為x2+=1，過點(diǎn)M（0， 1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足=（+），當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動點(diǎn)P的軌跡方程.

解：直線l過點(diǎn)M（0， 1），設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=kx+1.

記A（x1， y1），B（x2， y2），由題設(shè)可得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)（x1， y1），（x2， y2）是方程組的解。

將①代入②并化簡得，（4+k2）x2+2kx-3=0，

當(dāng)k不存在時(shí)，A，B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0， 0），也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2+y2-y=0.

總之，無論用哪種方法求軌跡方程，都應(yīng)注意軌跡方程的完備性和純粹性。求出的軌跡方程中若有的解不符合軌跡條件，從而使軌跡圖形上有不符合軌跡條件的點(diǎn)存在，則該方程及其曲線不滿足純粹性；求出的軌跡方程所表示的曲線若不是所有適合條件的點(diǎn)的集合，即曲線之外還有適合條件的點(diǎn)存在，則該方程及其曲線不滿足完備性。在解題時(shí)，只有都兼顧才能求得正確答案。endprint