動量定理在電量綜合問題中的應用

宋博

在電磁感應問題中，有一類關于動量、電量、位移等相關聯(lián)的綜合問題。當導體棒在安培力（變力）作用下運動時，磁通量的變化通常難以確定，此時若能靈活地運用動量定理，常先用動量定理求安培力的沖量，然后進一步求解所要求的問題。

例1 如圖1所示，兩根相距為L的平行光滑金屬長導軌固定在同一水平面上，并處于豎直向下的勻強磁場中，磁感應強度為B。ab和cd兩根金屬細桿靜止在導軌上面，與導軌一起構成矩形回路。兩根細桿的質量都為m，電阻都為r，導軌的電阻忽略不計。從t=0時刻開始，兩根細桿分別受到平行于導軌方向、大小均為F的拉力作用，分別向相反的方向滑動，經(jīng)過時間T時，兩桿同時達到最大速度，以后做勻速直線運動，求在0～T時間內(nèi)通過細桿橫截面的電量是多少？

解析：設桿勻速運動時最大速度為vm，則有F=F實，即F= ，又設在0～T時間內(nèi)電流的平均值為i，根據(jù)動量定理有FT-BILT=mvm，則在此時間內(nèi)通過細桿橫截面積的電量為q=IT，解得q= - 。

例2 如圖2所示，在光滑的水平面上，有一豎直向下的勻強磁場分布在寬度為d的區(qū)域內(nèi)?，F(xiàn)有一個邊長為L（L

解析：在線圈完全進入磁場這一過程中，根據(jù)動量定理有：-Blq=mv′-mv0，

當線圈完全穿過磁場后，根據(jù)動量定理有：-Blq=0-mv′，

由上面兩式可解得：v′= 。

例3 如圖3所示，水平固定的光滑U型金屬框架寬為L，足夠長，其上放一質量為m的金屬棒，左端連接有一阻值為R的電阻（金屬框架、金屬棒及導線的電阻均可忽略不計），金屬棒垂直框架并沿框架運動，求：

（1）金屬棒從開始運動到穩(wěn)定狀態(tài)的過程中，通過電阻R的電量和金屬棒通過的位移；

（2）如果將U型金屬框架左端的電阻R換為一個電容為C的電容器，求金屬棒從開始運動到達穩(wěn)定狀態(tài)時電容器的帶電量（假設電路不向外輻射能量）。

解析：（1）金屬棒在運動過程中，水平方向只受到安培力的作用做減速運動，最終停下來，安培力的沖量等于棒的動量的變化，即棒的動量變化量是安培力在時間上的積累效應，與此過程相對應的通過電阻R的電量則是電流在時間上的積累效應。將棒的運動過程分為若干很短的時間△t，在△t時段內(nèi)可認為棒中電流不變，則有：–ΣF安·△t=mv0，而F安=BIL，q=ΣI·△t，解得q= 。

設所求位移為s，則q= = ，可得s= = 。

（2）如圖4所示，金屬棒穩(wěn)定后做勻速運動，此時電容器兩端電壓等于棒兩端的感應電動勢，即BLv=UC= ，其中v為做勻速運動時的速度，q′為電容器穩(wěn)定時的帶電量；同理將棒從開始運動到達穩(wěn)定狀態(tài)的過程中分為若干很短時段△t，在△t時段內(nèi)可認為棒中電流不變，則有–ΣF安·△t=mv-mv0，即-BLΣI·△t=mv-mv0，-BLq′=mv-mv0，聯(lián)立解得：q′= 。

例4 如圖5所示，無限長的光滑金屬導軌PQ、MN放在水平面上，導軌間距為l，豎直向下的勻強磁場穿過導軌平面，磁感應強度為B。兩根長為l、質量均為m、電阻均為R的裸導線放在導軌上，初始時b棒被束縛，給a棒一個水平向右的速度v0，當a棒速度減為 時，解除對b棒的束縛，不計導軌電阻。求：

（1）解除對b棒束縛前，a棒通過的位移和棒中流過的電量；

（2）解除對棒束縛后，兩棒距離減少量的最大值。

解析：（1）解除對b棒束縛前，對a棒分析并運用動量定理有：-BLq=m-mv0，解得棒中流過的電量q= 。

又因為q= = = ，解得a棒通過的位移d= 。

（2）解除對棒的束縛后，當兩棒速度相同時，它們之間距離減少量為最大值，根據(jù)動量定理有：m= 2mv，則兩棒的共同速度v= 。

對a棒進行分析，根據(jù)動量定理有：-Blq′=m -m ，解得q′= 。

在這一過程中，q′= = ，則兩棒距離減少量的最大值為Δx= 。

（作者單位：山東省臨沂第一中學）