利用輔助圓解決幾何問題

孔繁艷

在處理平面幾何中的許多問題時(shí)，我們常常需要作輔助線，常用的添輔助線的方法有連接、延長(zhǎng)、平移或旋轉(zhuǎn)，這些都是對(duì)直線而言的，但是有時(shí)我們也需要借助于圓的性質(zhì)，構(gòu)造輔助圓來幫助我們解決問題。而我們需要的圓多數(shù)在原圖中并不存在（有時(shí)題設(shè)中沒有涉及圓；有時(shí)雖然題設(shè)涉及圓，但是此圓并不是我們需要用的圓），這就需要我們利用已知條件，借助圖形把需要的實(shí)際存在的圓找出來。

添補(bǔ)輔助圓的常見方法有：1.利用圓的定義添補(bǔ)輔助圓。2.作三角形的外接圓。3.運(yùn)用四點(diǎn)共圓的判定方法：（1）若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。（2）同底同側(cè)等角的三角形，各頂點(diǎn)共圓。（3）若四邊形ABCD的對(duì)角線相交于P，且PA·PC=PB·PD，則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。（4）若四邊形ABCD的一組對(duì)邊AB、DC的延長(zhǎng)線相交于P，且PA·PB=PC·PD，則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。

在本文中我重點(diǎn)介紹以下兩種添加輔助圓的方法：1.利用圓的定義添補(bǔ)輔助圓；2.動(dòng)點(diǎn)對(duì)定線段所張的角為定值問題中的輔助圓添加。

一、案例1及解法簡(jiǎn)析

1.題目展示

如圖1，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D為BC邊上的三等分點(diǎn)，BD=2CD，E為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△DBE沿DE折疊到△DB′E的位置，連接AB′，則線段AB′的最小值為 。

2.解法簡(jiǎn)析

要求線段AB′的最小值，經(jīng)分析點(diǎn)A是一個(gè)定點(diǎn)，所以只要研究點(diǎn)B′的運(yùn)動(dòng)軌跡，問題就會(huì)迎刃而解。而由翻折可知，點(diǎn)B′到點(diǎn)D的距離不變，其長(zhǎng)為2，點(diǎn)D也是一個(gè)定點(diǎn)，故可知點(diǎn)B′的運(yùn)動(dòng)軌跡滿足圓的定義：到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。所以點(diǎn)B′是以D為圓心，2為半徑的圓上一點(diǎn)（如圖2），這樣連接AD與⊙D的交點(diǎn)為使得線段AB′的最小值的B′點(diǎn)。

二、案例4及解法簡(jiǎn)析

1.題目展示

如圖3，⊙O的半徑為2，弦AB=2，點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，AC⊥AP交直線PB于點(diǎn)C，則△ABC的最大面積是 。

2.解法簡(jiǎn)析

本題的難點(diǎn)仍然在于研究動(dòng)點(diǎn)C的軌跡。若能從題目中讀出△AOB是等邊三角形，從而得出∠AOB=60°，所以動(dòng)點(diǎn)C對(duì)定線段AB所張的角∠ACB=30°，只需點(diǎn)P在過點(diǎn)A、點(diǎn)B的圓上，且弧AB所對(duì)的圓心角為60°即可，這樣就可以確定點(diǎn)C的軌跡，從而求出△ABC的最大面積。

本文中的案例考查知識(shí)點(diǎn)多，代數(shù)與幾何等知識(shí)相互滲透，綜合性非常強(qiáng)，難度大，涉及分類、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模等常用的數(shù)學(xué)思想，考查了學(xué)生創(chuàng)造性思維及操作、探究、分析問題等能力，可謂知識(shí)與能力齊驅(qū)，基本數(shù)學(xué)思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)聯(lián)動(dòng)，回歸到了新課標(biāo)對(duì)學(xué)生獲得“四基”能力的目標(biāo)要求，關(guān)注了學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，能有效引領(lǐng)教師平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)。

到一個(gè)定點(diǎn)等距離的幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法，而關(guān)于動(dòng)點(diǎn)對(duì)定線段所張的角為定值一類問題，當(dāng)所張角是直角時(shí)，利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”構(gòu)造圓——直角（或垂直）與直徑有著密切關(guān)系，要善于把它們聯(lián)系起來處理問題，即要見直角（或垂直）想直徑，又要遇直徑思垂直；當(dāng)所張角是銳角（想一想為何不會(huì)是鈍角）時(shí)，利用圓周角定理“一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半”或其推論“同弧所對(duì)的圓周角都相等”構(gòu)造圓——把所張角轉(zhuǎn)化為圓心角或圓周角，最主要的是利用圓心角或圓周角確定出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，化動(dòng)為靜，對(duì)滿足條件的動(dòng)點(diǎn)準(zhǔn)確定位，再解答。這也是解決此類題的切入點(diǎn)、通法，思考時(shí)通法優(yōu)先是解壓軸題的基本策略之一。

（作者單位：江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校）endprint