T—凸空間中的KKM引理及其應(yīng)用

摘 要 空間的凸性在非線性分析理論、變分不等式論以及最優(yōu)化理論等領(lǐng)域扮演著重要角色.在這些領(lǐng)域中，不論是理論方面的問題，還是應(yīng)用方面的問題，都依賴于空間的凸性.然而很多空間都不具備通常的以線性結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的“凸性”.在不具有線性結(jié)構(gòu)的空間中，建立廣義凸性，同時(shí)把連續(xù)選擇定理、不動(dòng)點(diǎn)定理以及其他重要結(jié)果推廣到不依賴線性結(jié)構(gòu)的廣義凸性空間中具有十分重要的意義.為此，充分利用T-凸空間所滿足的H0-條件和經(jīng)典的分析方法，在不具有線性結(jié)構(gòu)的T-凸空間中，建立并證明KKM引理；同時(shí)借助該引理，給出一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理和一個(gè)不具擬T-凹性的函數(shù)的一個(gè)Ky Fan不等式的解的存在性定理.

關(guān)鍵詞 T-凸空間；H0-條件；KKM引理；Ky Fan不等式

中圖分類號(hào) O177.91 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 1000-2537（2017）05-0084-04

KKM Lemma and Its Applications on T-Convex Spaces

CHEN Zhi-you

（College of Mathematics and Information Science， Guiyang University， Guiyang 550005， China）

Abstract Convexity of spaces plays a very important role in non-linear analysis theory， variational inequality theory， optimal theory and so on. In all these cases of theoretical and applied studies， the dependence on the convexity of spaces is presumed. However， a lot of spaces do not possess the convex property from the viewpoint of the usual linear structure. Because of this， it has become recent interest to establish generalized convexity on spaces without linear structure and to generalize the continuity selection theorem， the fixed point theorem and some other important results， to generalized convex spaces. Here we make full use of the H0-condition of T-convex space and classical analysis method， to prove KKM lemma on T-convex space without linear structure. Finally， we study two applications of this lemma on T-convex space. One is the fixed point theorem and the other is the existence theorem for the solution of Ky Fan inequality without quasi-T-concavity on T-convex spaces.

Key words T-convex space； H0- condition； KKM lemma； Ky Fan inequality

文獻(xiàn)[1]用集合的可縮性構(gòu)造集合族，利用該集合族定義了一種廣義凸性，據(jù)此定義了具有H-凸結(jié)構(gòu)的H-空間，該空間將先前的線性凸結(jié)構(gòu)進(jìn)行了推廣.文獻(xiàn)[2]指出任何Hausdoff拓?fù)渚€性空間，凸空間，可縮空間，偽凸空間都是H-空間.而后，一些專家學(xué)者研究了一般拓?fù)淇臻g中的凸結(jié)構(gòu)，如：半格凸、G-凸、B-凸、Van de Vel凸、Michael-凸、L-凸、超凸等.文獻(xiàn)[3-4]指出上述一系列凸結(jié)構(gòu)有一個(gè)共性特征，即都滿足H0-條件.文獻(xiàn)[5]利用連續(xù)映射的延拓性質(zhì)構(gòu)造了具有T-凸結(jié)構(gòu)的T-凸空間，該空間的T-凸性是H-空間的H-凸性的推廣.并且還證明了T-凸空間滿足H0-條件.文獻(xiàn)[6-11]將一些線性拓?fù)淇臻g中的重要結(jié)果推廣到不依賴線性結(jié)構(gòu)的廣義抽象凸空間中做了重要嘗試.本文將在這些研究的基礎(chǔ)上，充分利用T-凸空間所滿足的H0-條件和經(jīng)典的分析方法，在不具有線性結(jié)構(gòu)的T-凸空間中，建立并證明KKM引理；同時(shí)借助該引理，證明一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理和一個(gè)不具擬T-凹性的函數(shù)的一個(gè)Ky Fan不等式的解的存在性定理.

1 預(yù)備知識(shí)

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)（Y，{TA}）是一T-凸空間，X是一拓?fù)淇臻g，集值映射F：Y →2X為一KKM映射，若F為閉值的，則集族{F（y）：y∈Y}具有有限交性質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1] HORVATH C D. Some results on multivalued mappings and inequalities without convexity[M]. in： Lin B.L.， Simons S.（Eds.）， Nonlinear and Convex Analysis， Marcel Dekker， 1987.

[2] BARDARO C， CEPPITELLI R. Some futher generalizations of Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz theorem and minimax inequalities[J].J Math Anal Appl， 1988，132（3）：484-490.

[3] XIANG S W， YANG H. Some properties of abstract convexity structures on topological spaces[J]. Nonlinear Anal， 2007，67（5）：803-808.

[4] XIANG S W， XIA S Y. A further characteristic of abstract convexity structures on topological spaces[J].J Math Anal Appl， 2007，335（7）：716-723.

[5] 陳治友.T-凸空間的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2012，34（10）：106-108.

[6] 陳治友，夏順友.抽象凸空間中廣義最大元的穩(wěn)定性[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，34（8）：116-118.

[7] 陳治友，夏順友.抽象凸空間上廣義博弈Nash平衡點(diǎn)的存在性[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，31（5）：786-791.

[8] 夏順友.抽象凸空間上弱Ky Fan點(diǎn)的存在性及其等價(jià)描述[J]. 遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，32（10）：1437-1440.

[9 ] 夏順友. 集值Sperner組合引理與抽象凸空間中的KKMS引理[J]. 西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，38（6）：25-29.

[10] 陳治友，夏順友.抽象凸空間中的Shapley-KKM引理[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，37（3）：338-340.

[11] 夏順友. 抽象凸空間上的擬變分不等式及其應(yīng)用[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 2014，37（1）：78-86.endprint