數(shù)學建模思想在經濟學中的應用
——以購房貸款問題為例

王熙 大連市第八中學

數(shù)學建模思想在經濟學中的應用
——以購房貸款問題為例

王熙 大連市第八中學

經濟學一向是與數(shù)學分割不開的，早在經濟學發(fā)展的初期就開始應用數(shù)學理論思想研究經濟學問題。其中，數(shù)學建模思想由于其適用性廣、分析性強、準確性高等特點，在經濟學中的應用尤為廣泛。數(shù)學建模可以幫助經濟學研究人員把復雜的問題簡單化，將經濟學的理論轉化為數(shù)學模型，能夠更直觀地進行理論分析，使得經濟學中收入與支出問題、國民收入問題、供給與需求問題等更容易加以探索，并從而利用該分析結果指導實際的經濟活動。近幾年房地產行業(yè)十分火熱，因此探討房貸按揭問題具有重要的研究意義。在本文中，筆者將從數(shù)學建模思想出發(fā)，淺談數(shù)學建模思想在房貸按揭問題中的應用。

經濟學 數(shù)學建模思想 房屋按揭

一、數(shù)學建模思想的概述

（一）數(shù)學建模思想的概念介紹及應用

當進行科學且客觀地研究某類實際現(xiàn)象且通過嚴謹周密的話語來表達研究結果的方式，被我們稱之為數(shù)學。數(shù)學建模思想屬于數(shù)學研究中的實際應用性較強的思考方法，其通過運用數(shù)學的理論知識和函數(shù)圖形，對問題加以抽象和簡化確定出主要的函數(shù)參數(shù)、變量等條件，從而建立起某種關系并刻畫出一定的數(shù)學模型。隨著經濟的發(fā)展，經濟學問題變得更為復雜，而且還必須保證解決經濟學問題時決策科學、定量分析、精確預測未來發(fā)展。在這種情況下導入數(shù)學建模思想是十分必要的，因此數(shù)學建模逐漸成為解決經濟學問題的一種強有力的數(shù)學手段。

（二）數(shù)學建模塑造經濟學模型的一般步驟

通過數(shù)學建模思想解決經濟學問題的主要方法就是構建經濟學模型。經過研究發(fā)現(xiàn)，建立經濟學模型一般需要三個步驟：第一要對實際的經濟學問題及其相關背景知識進行深入了解與分析，然后通過假設將所要研究的經濟學問題加以抽象及形象化的方式確立未知變量和參數(shù)，并用數(shù)學理論知識和計算方法來明確變量及參數(shù)的關系，最后將實際的經濟學問題數(shù)據(jù)與構建模型的理論數(shù)據(jù)進行比較，得出最終結果。

二、數(shù)學建模思想和經濟學的有機結合——以購房貸款問題為例

（一）房貸按揭問題的可討論性

隨著房地產行業(yè)的興起和中國“家”的觀念，使得近年來購買房子的人數(shù)只增不降，而在這種情況下由于每個家庭或個人收入的不同，所能承擔貸款的按揭數(shù)額也就不同。那么對于買房者而言，購房貸款數(shù)額的多少、選擇何種購房貸款方案都是實實在在的經濟問題。

（二）實際案例的分析

案例：某地居民決定利用貸款方式購買一套住房，借貸40萬，并通過10年時間還完全部款項。現(xiàn)有等額本金還款法、等額本息還款法兩種方式進行貸款。求：這兩種不同的貸款方式每月所需還款金額、總共所支付的利息以及對比得出兩種方案中的最優(yōu)方案。

分析：先比較兩種不同的貸款方式，第一種等額本息還款法是每月以相等的額度平均償還貸款本息,直至期滿還清,這種方案比較容易作出預算。第二種等額本金還款法是每期還給銀行相等的本金,但客戶每月的利息負擔就會不同，從而致使所承擔的利息應該是隨本金逐期遞減，這種方案較難作出預算。

兩種方案通過簡單的比較難以作出判斷，因此這就需要我們分別構建兩種不同還款方式的數(shù)學模型對問題進行分析。

（三）構建模型前的假設

在構建模型之前，需要增加除問題提供的已知條件外的假設及設定問題的前提條件，從而更加準確地構建模型。因此，針對房貸問題應增加幾項假設和前提：還款人能夠按時還款、居民借用貸款的利息在借款期間保持在6%不變、銀行借款利息按照復利計息等。

（四）模型的建立與求解

建立模型離不開約定問題參數(shù)對應題設條件，其中，約定居民向銀行貸款的本金為A；居民每月應繳納款項為B；居民向銀行還款的總額為C；居民承擔的總利息D；銀行貸款的月利率X、年利率Y；貸款期數(shù)m、總還款期數(shù)n；

等額本息還款法的模型建立及求解：

設：月均還款總額為E；ai（i=1～n）為居民在第i個月還款前所欠銀行金額；bi（i=1～n）為居民在第i個月還款后所欠銀行金額；

根據(jù)等額本息還款的計算法可知：

第1個月還款前所欠金額為：a1=A（1+X）

第1個月還款后所欠金額為：b1=a1-E=A（1+X）-E

第2個月還款前所欠金額為：a2=b1（1+X）=A（1+X）2-E（1+X）

第2個月還款后所欠金額為：b2=a2-E=A（1+x）-E（1+X）-E

同理類推可知：

到第n期還款后，居民所欠銀行貸款全額還清，因此bn=0

這就是居民每月平均還款總額

因此，居民總共的還款總額為：

總的利息負擔為：

等額本金還款法的模型建立及求解：

根據(jù)上文所確定的參數(shù)假設，等額本金還款模型的建立可以直接利用上文參數(shù)，但與等額本息還款法不同的是：等額本金還款每期還款的本金相等，但是每期承擔的利息不同，利息隨本金的不斷還款而不斷遞減。

設：居民第i個月應還款的金額為Xi（i=1～n）

根據(jù)等額本金還款的計算法可知：

第1個月應還款的金額為：E1=B+（A-B）X

第2個月應還款的金額為：E2=B+（A-2B）X

推理可知：

第n個月應還款的金額為：En=B+（A-nB）X

因此，居民總共的還款金額為：C’=E1+E2+…

總的利息負擔為：

（五）對比數(shù)據(jù)結果選擇方案

（1）等額本息還款法：

利用上文的模型代入已知條件可知：

總的還款期數(shù)n=120；貸款每月的利息率X=0.5%

每月平均還款的金額：B=A÷n=3333，第一個月還款金額：5313

因此，居民總共的還款金額為：C’=E1+E2+…

（3）根據(jù)自身需求選擇合適的購房貸款方案

對比兩種方案還款方式可知，如果居民開頭幾期的還款能力較弱，那么首先推薦等額本息還款法，因為等額本息還款法每月還款金額是固定的且金額較等額本金還款法小。所以一般銀行都是首推等額本息還款方案進行購房貸款，但是如果居民只考慮總的還款金額，那應該選擇等額本金還款法，較等額本息還款法10年內少27796元。

三、結束語

想要深入有效的研究經濟學問題，一定離不開構建好的數(shù)學模型。數(shù)學模型可以直觀的將數(shù)據(jù)、走勢以及數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系和差距反映給研究者，使研究者能夠在面對問題時選擇更好的方案，從而積極有效地解決問題。作為高中生來說，掌握數(shù)學基礎知識不僅能夠有效提高學習成績，而且對以后從事經濟學研究有很大的促進作用。

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[3]孫魯予.住房商業(yè)性貸款中的數(shù)學模型研究[J].中小企業(yè)管理與科技旬刊 .2013