一種石英撓性擺式加速度計隨機(jī)振動誤差建模方法

焦晨陽+王新龍+王盾+李群生+潘哲

摘要： 提出一種將經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解法、 時間序列分析法與Kalman濾波相結(jié)合， 對隨機(jī)振動引起的石英撓性擺式加速度計誤差進(jìn)行建模的方法。 針對隨機(jī)振動引起的加速度計非平穩(wěn)序列誤差， 通過經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解法有效分離出誤差序列中的非平穩(wěn)成分， 進(jìn)一步采用時間序列分析法建立平穩(wěn)序列的誤差模型， 并引入Kalman濾波算法對模型的預(yù)測誤差進(jìn)行最優(yōu)估計。 實現(xiàn)了對加速度計隨機(jī)振動誤差的精確建模， 提高了隨機(jī)振動環(huán)境下石英撓性擺式加速度計的測量精度。

關(guān)鍵詞： 石英撓性擺式加速度計； 隨機(jī)振動； 經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解； 時間序列分析法； Kalman濾波

中圖分類號： TJ765.1； V241.4+5文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A文章編號： 1673-5048（2017）05-0048-060引言

石英撓性擺式加速度計以高精度、 高靈敏度、 穩(wěn)定性好等優(yōu)點在航空、 航天、 測繪等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。 然而在實際工作中， 加速度計易受環(huán)境振動、 溫度等因素的影響， 導(dǎo)致其參數(shù)不斷發(fā)生變化， 嚴(yán)重影響導(dǎo)航精度。 因此， 研究隨機(jī)振動對加速度計輸出的影響有著重要的現(xiàn)實意義[1]。

目前， 對于加速度計誤差的研究多數(shù)為環(huán)境溫度變化下的系統(tǒng)參數(shù)辨識與補(bǔ)償算法， 而對隨機(jī)振動誤差建模的研究很少。 時間序列分析法[2]是一種較為成熟的傳感器建模方法， 利用時間序列分析法建模能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)據(jù)的平滑、 濾波和預(yù)測， 并能夠?qū)ο到y(tǒng)特性進(jìn)行識別， 有利于對系統(tǒng)進(jìn)行控制； 其對動態(tài)數(shù)據(jù)具有外延特性， 從而可以避免在求取其統(tǒng)計特性時直接加“窗”造成的影響。 文獻(xiàn)[3]就是利用時間序列分析法對加速度計的隨機(jī)振動平穩(wěn)誤差序列進(jìn)行建模， 然而并未考慮振動誤差中的趨勢項等非平穩(wěn)成分的影響， 因此， 所建的加速度計振動誤差模型并非完整模型。

基于此， 本文通過對石英撓性擺式加速度計進(jìn)行多方向隨機(jī)振動測試試驗， 提出一種完整的石英撓性擺式加速度計隨機(jī)振動誤差建模方法。

1隨機(jī)振動試驗分析

1.1隨機(jī)振動試驗特點分析

捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)在實際工作中， 由于環(huán)境影響引起的系統(tǒng)振動往往具有隨機(jī)性。 這種隨機(jī)振動具有兩個顯著的特點， 即非周期性和瞬時值不能預(yù)測， 但其統(tǒng)計特性卻是有規(guī)律的[4]。 依據(jù)振動的統(tǒng)計特性， 設(shè)計隨機(jī)振動試驗， 采用時間序列分析法建立隨機(jī)振動引起的加速度計誤差模型， 并利

收稿日期： 2016-11-28

基金項目： 國家自然科學(xué)基金項目（61673040； 61233005）； 航空科學(xué)基金項目（2015ZC51038； 20160812004）； 天地一體化信息技術(shù)國家重點實驗室開放基金項目（2015-SGIIT-KFJJ-DH-01）； 2015年度北京航空航天大學(xué)教改資助項目

作者簡介： 焦晨陽（1992-）， 男， 河南洛陽人， 碩士研究生， 研究方向為慣性導(dǎo)航、 組合導(dǎo)航。

引用格式： 焦晨陽， 王新龍， 王盾， 等. 一種石英撓性擺式加速度計隨機(jī)振動誤差建模方法[ J]. 航空兵器， 2017（ 5）： 48-53.

Jiao Chenyang， Wang Xinlong， Wang Dun， et al. A Modeling Method for Quartz Flexible Pendulum Accelerometer Random Vibration Error[ J]. Aero Weaponry， 2017（ 5）： 48-53. （ in Chinese）用Kalman濾波對模型的預(yù)測誤差進(jìn)行最優(yōu)估計， 以達(dá)到誤差補(bǔ)償?shù)哪康摹?通常， 隨機(jī)振動條件使用功率譜密度函數(shù)來描述， 一旦功率譜密度值確定下來， 振動譜形也隨之確定。

隨機(jī)振動試驗采用基于兩點響應(yīng)平均控制的方法獲取捷聯(lián)慣組加速度計的實測輸出， 控制點位于慣組減振前， 頻率范圍為20～2 000 Hz， 時間為960 s， 其譜形如圖1所示。

圖1隨機(jī)振動試驗控制點譜形

Fig.1The control point spectrum of random vibration test

加速度計隨機(jī)振動試驗分為預(yù)振動段、 振動段和結(jié)束段三個階段， 輸出采樣時間設(shè)定為0.5 ms， 試驗總時間為2 000 s。 試驗過程中， 依次在X， Y， Z三個軸向施加隨機(jī)振動， 使加速度計產(chǎn)生相對應(yīng)的9組輸出。

1.2隨機(jī)振動試驗結(jié)果分析

由隨機(jī)振動試驗分別獲得X， Y， Z三個方向上加速度測量輸出通道的視加速度增量脈沖數(shù)（數(shù)字量）， 根據(jù)加速度計輸出通道的測量模型和極性規(guī)定， 將增量脈沖輸出數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為實際加速度值。 以X軸方向振動時， X， Y， Z三個方向上敏感到的加速度值為例， 其加速度曲線如圖2所示。

為了建立加速度計隨機(jī)振動時序模型， 選取X方向上加速度計的振動段（1 320～1 495 s）輸出作為研究對象， 其數(shù)據(jù)曲線如圖3所示。

圖3為在振動臺上實測的加速度計輸出數(shù)據(jù)， 可以看出， 隨機(jī)振動引起的加速度計輸出誤差具有顯著的波動性和隨機(jī)性， 變化范圍始終保持在固定的區(qū)間內(nèi)， 但其趨勢項并不明顯， 因此， 單純采用時間序列分析法很難對加速度計隨機(jī)振動誤差進(jìn)行精確建模， 需要選擇更為有效的方法建立加速度計隨機(jī)振動誤差模型。

航空兵器2017年第5期焦晨陽， 等： 一種石英撓性擺式加速度計隨機(jī)振動誤差建模方法2建模方案設(shè)計

在隨機(jī)振動試驗中， 振動輸入相對于加速度計是一種有色噪聲， 因此會引起系統(tǒng)參數(shù)的不斷改變， 造成輸出序列的非平穩(wěn)性。

針對非平穩(wěn)隨機(jī)振動誤差序列的建模， 將經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解法和Kalman濾波算法引入時間序列分析法中， 設(shè)計了一種高精度的隨機(jī)誤差建模方案， 如圖4所示。endprint

建模方案主要分為經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解、 時間序列建模和數(shù)據(jù)優(yōu)化擬合三個部分：

（1） 經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解。 針對隨機(jī)振動誤差序列的非平穩(wěn)性， 采用自適應(yīng)較好的經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解法對數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化處理， 提取出非平穩(wěn)項， 并將振動誤差序列分為多個固有模態(tài)函數(shù)（IMF）， 且每個IMF均為平穩(wěn)時間序列。

（2） 時間序列建模。 對同時滿足平穩(wěn)性和非白噪聲性的IMF分量進(jìn)行時間序列建模， 建模過程包括模型識別、 模型定階、 參數(shù)估計和適用性檢驗四個部分。

（3） 數(shù)據(jù)優(yōu)化擬合。 采用Kalman濾波算法對時間序列模型的預(yù)測誤差進(jìn)行最優(yōu)估計， 將各階IMF分量時序模型的濾波輸出與經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解提取出的非平穩(wěn)項序列相疊加， 實現(xiàn)模型的高精度擬合。

3隨機(jī)振動數(shù)據(jù)處理方法

3.1經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（EMD）法是一種能夠自適應(yīng)處理非平穩(wěn)信號的有效篩分方法[5]， 其將信號中包含的所有成分按照頻率由高至低逐級劃分并提取， 獲得多個具有實際物理意義的IMF和非平穩(wěn)成分。 這種方法具有適應(yīng)能力強(qiáng)、 直觀性好、 運算量小等優(yōu)點。

對于非平穩(wěn)時間序列x（t）， 利用EMD法對其進(jìn)行平穩(wěn)化處理， 可以表示為如下形式：

x（t）=∑ni=1Ii（t）+r（t）（1）

式中： Ii（t）為第i階IMF分量； r（t）為非平穩(wěn)殘差序列。

3.2時間序列分析法建模

3.2.1模型識別

模型識別是從各種模型族中選擇一個與實際過程相吻合的模型。 模型識別的方法很多， 其中根據(jù)時間序列的自相關(guān)系數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）的截尾性、 拖尾性特征進(jìn)行模型識別的方法應(yīng)用較為廣泛[6]。

AR（n）模型、 MA（m）模型以及ARMA（n， m）模型所對應(yīng)的ACF和PACF特點如表1所示。

models模型類型ACF特點PACF特點AR（n）拖尾截尾MA（m）截尾拖尾ARMA（n，m）拖尾拖尾

3.2.2模型定階

模型定階是利用適當(dāng)?shù)亩A準(zhǔn)則對所選擇模型的階次進(jìn)行確定。 其中AIC準(zhǔn)則與BIC準(zhǔn)則是目前常用的兩種定階方法。

這兩種定階準(zhǔn)則均能夠?qū)崿F(xiàn)模型階數(shù)的確定， 但在算法上各有特點。 當(dāng)樣本的個數(shù)較少時， 選擇AIC準(zhǔn)則計算較為簡單； 當(dāng)樣本的個數(shù)N→∞時， 用BIC準(zhǔn)則確定的最佳模型階數(shù)更加準(zhǔn)確。 因此， 實際使用時需要根據(jù)序列的實際長度選擇合適的定階方法。

3.2.3參數(shù)估計

模型的參數(shù)估計是利用估計算法對模型中的未知參數(shù)進(jìn)行估計， 獲得模型的顯式表達(dá)式。 ARMA模型的參數(shù)估計算法可以分為時序理論估計法、 優(yōu)化理論估計法和控制理論估計法三類， 其特點如表2所示。

algorithms估計算法特點時序理論估計法“準(zhǔn)”最優(yōu)估計算法、 概念簡單、 易于實現(xiàn)優(yōu)化理論估計法

控制理論估計法最優(yōu)估計算法、 算法復(fù)雜、 反復(fù)迭代、 運算量大

由表2可以看出， 時序理論估計法在保證參數(shù)估計精度的前提下， 計算速度更快， 有利于實現(xiàn)工程應(yīng)用中對模型參數(shù)的實時估計與修正。

3.2.4適用性檢驗

模型的適用性檢驗實質(zhì)上就是殘差序列a（t）的獨立性檢驗。 通過殘差序列a（t）的自相關(guān)系數(shù)ρa(bǔ)， k和a（t）與x（t）的互相關(guān)系數(shù)ρa(bǔ)x， k對模型的適用性進(jìn)行檢驗。 若ρa(bǔ)， k→0， ρa(bǔ)x， k→0， 則所得時序模型為適用模型[7]。

3.3Kalman濾波在時序建模中的應(yīng)用

由于時序模型中不僅包含了線性回歸部分， 也包含了隨機(jī)誤差序列a（t）， 該項會對加速度計的隨機(jī)振動誤差補(bǔ)償造成不利影響。 因此， 引入Kalman濾波算法對模型進(jìn)行最優(yōu)估計， 以消除隨機(jī)誤差項的影響[8]。

以AR（n）模型為例， 其離散化后的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為

X（k）=Φ（k， k-1）X（k-1）+W（k）

Z（k）=H（k）X（k）+V（k） （2）

式中： 狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣Φ（k， k-1）=ψ

B， 其中ψ=[φ1φ2…φn]， B=[I（n-1）×（n-1）0（n-1）×1]； X（k）為系統(tǒng)k時刻的狀態(tài)； W（k）和V（k）分別為系統(tǒng)的狀態(tài)噪聲和觀測噪聲， W， V=randn（n， 1）， 且W（k）的方差陣Q和V（k）的方差陣R可由殘差序列確定； Z（k）為系統(tǒng)在k時刻的測量值； 量測矩陣H（k）=[101×（n-1）]。 依據(jù)Kalman濾波遞推算式實現(xiàn)對模型預(yù)測誤差的最優(yōu)估計。

4模型方案驗證及分析

4.1經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解

采用EMD法將經(jīng)過預(yù)處理后的x（t）序列分為18個IMF及非平穩(wěn)項序列， 分解后的部分結(jié)果如圖5所示。

時間序列分析法建模的條件是平衡非白噪聲序列， 因此對EMD后產(chǎn)生的各階IMF分量進(jìn)行平穩(wěn)性和白噪聲性檢驗[9]：

（1） 平穩(wěn)性檢驗。 采用逆序檢驗法進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗， 結(jié)果表明， IMF1～I(xiàn)MF17均滿足平穩(wěn)性要求， 但I(xiàn)MF18的統(tǒng)計量|u|=2.39>1.96， 為非平穩(wěn)序列， 此時對其進(jìn)行差分處理， 經(jīng)檢驗， 一階差分后的序列滿足平穩(wěn)性要求。

（2） 白噪聲性檢驗。 利用Q統(tǒng)計量進(jìn)行白噪聲性檢驗， 結(jié)果表明， 各IMF分量的Q值均大于χ20.95（m）（其值為3.744 9×104）， 屬于非白噪聲序列。

4.2時間序列建模

以EMD后的IMF1分量為例， 其自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)隨延遲步長變化曲線如圖6所示。

由圖6可以看出， IMF1的自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)拖尾性， 偏自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)截尾性， 根據(jù)表1中的判定準(zhǔn)則， 選擇AR模型對IMF1分量進(jìn)行建模。endprint

IMF1分量的AIC和BIC值隨延遲步長的變化曲線如圖7所示。

由圖7可以看出， 模型階次從1階增加到2階時， 曲線斜率最大， AIC和BIC值下降最為明顯， 之后變化較為緩慢， 因此選擇模型階次為AR（2）。 對AR（2）模型中的未知參數(shù)， 采用時序理論估計法進(jìn)行估計， 即可得到φ1和φ2。

從而可得IMF1分量的時間序列模型為

x（t）=0.610 1x（t-1）-0.418 5x（t-2）+

a（t） （3）

式中： a（t）服從N（0， 13.685 4）。

對上述模型適用性檢驗， 其殘差序列a（t）的自相關(guān)系數(shù)和a（t）與x（t）的互相關(guān)系數(shù)變化曲線如圖8所示。

由圖8可知， IMF1分量時序模型的殘差序列a（t）的自相關(guān)系數(shù)以及a（t）與x（t）的互相關(guān)系數(shù)均趨近于零， 說明a（t）序列符合隨機(jī)白噪聲序列的統(tǒng)計特性， 模型通過適用性檢驗。

4.3數(shù)據(jù)擬合優(yōu)化

利用EMD對加速度計隨機(jī)振動誤差序列進(jìn)行處理， 將振動序列分解為多階IMF分量和非平穩(wěn)項序列， 利用時序建模方法對每個IMF分量單獨進(jìn)行建模， 再將各個模型的預(yù)測輸出與趨勢項相疊加， 得到預(yù)測序列（t）， 其擬合結(jié)果見圖9。 同時， 對傳統(tǒng)的單純時序建模方法和基于EMD的時序建模方法的預(yù)測誤差進(jìn)行對比， 如圖10所示。

由圖9～10可以看出， 基于EMD的時間序列模型呈現(xiàn)出和原始序列同樣的趨勢， 擬合效果較為理想。 通過與傳統(tǒng)的單純時序建模方法的對比能夠看出， 基于EMD的時序模型的預(yù)測誤差顯著減小， 且始終保持在合理的范圍內(nèi)， 驗證了建模方案的有效性。

在基于EMD的時間序列建模方法中， 預(yù)測誤差主要是由殘差序列a（t）的隨機(jī)性引起的， 而殘差序列為服從正態(tài)分布的白噪聲序列。 因此， 引入Kalman濾波算法， 對各階IMF分量時序模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行最優(yōu)估計， 對比濾波前后預(yù)測誤差， 如圖11所示。

對比傳統(tǒng)的單純時序建模方法、 基于EMD的時間序列分析法與Kalman濾波相結(jié)合的時序建模方法， 其預(yù)測誤差對比如表3所示。

通過對比兩種模型的預(yù)測誤差能夠看出， 在EMD的基礎(chǔ)上所建的時間序列模型最終預(yù)測誤差的方差由原單純時序建模方法的183.863減小至16.605， 明顯小于單純時序建模的預(yù)測誤差， 擬合誤差小于10%和20%的比例也明顯提高。 經(jīng)過Kalman濾波以后， 模型預(yù)測誤差的方差由16.605減小至7.169， 且誤差小于10%和20%的比例進(jìn)一步提高。 說明基于EMD的時間序列分析法與Kalman濾波相結(jié)合的時序建模方法能夠有效改善模型的預(yù)測誤差， 提高加速度計隨機(jī)振動誤差的建模精度， 實現(xiàn)加速度計在實際工作環(huán)境中對隨機(jī)振動誤差的實時建模與補(bǔ)償。

5結(jié)束語

本文研究了一種EMD法、 時間序列分析法與Kalman濾波相結(jié)合的加速度計隨機(jī)振動誤差建模方法。 通過對石英撓性擺式加速度計進(jìn)行隨機(jī)振動試驗， 模擬真實振動環(huán)境下的加速度輸出， 研究其隨機(jī)振動誤差規(guī)律。 利用EMD法處理加速度計隨機(jī)振動誤差序列， 并對得到的各個IMF進(jìn)行時序建模， 引入Kalman濾波算法對模型的預(yù)測誤差進(jìn)行了最優(yōu)估計， 消除了模型中隨機(jī)誤差項對預(yù)測結(jié)果的影響。 預(yù)測結(jié)果表明， 基于EMD的時間序列分析法與Kalman濾波相結(jié)合的時序建模方法能夠很好地實現(xiàn)對加速度計隨機(jī)振動誤差序列的擬合估計， 有效地減小了傳統(tǒng)的單純時序建模的預(yù)測誤差， 對工程應(yīng)用中加速度計隨機(jī)振動誤差的建模與實時補(bǔ)償具有重要的參考價值。

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A Modeling Method for Quartz Flexible Pendulum

Accelerometer Random Vibration Error

Jiao Chenyang1， Wang Xinlong1， Wang Dun 2， Li Qunsheng3， Pan Zhe4

（1. School of Astronautics， Beihang University， Beijing 100191， China；

2. State Key Laboratory of SpaceGround Information Technology， Beijing 100086， China；

3. School of Instrumentation Science and OptoElectronics Engineering， Beihang University， Beijing 100191， China；

4. Beijing Electromechanical Engineering General Design Department， Beijing 100854， China）

Abstract： In order to build an accurate mathematic model of accelerometer random vibration error sepuence， a method combining empirical mode decomposition （EMD）， time series analysis method with Kalman filter is proposed. Aiming at the accelerometer nonstationary sequence error caused by random vibration， the EMD is introduced to separate the nonstationary components from error sequence effectively， and the time series analysis method is used to build the stationary sequence error model. Furthermore， Kalman filter algorithm is introduced to obtain an optimal estimation error sequence. Consequently， an accurate model of accelerometer random vibration error sequence is built， and it can improve the measure accuracy of accelerometer in random vibration environment.

Key words： quartz flexible pendulum accelerometer； random vibration； EMD； time series analysis； Kalman filter

Oppressive jamming will incapacitate its normal function for phased array radar。 for this problem， the basic of polarization mismatch will be used， and isolate the interference source at the receiver， improve the ability of antiinterference. In this paper， a joint beamforming technique for polarization and spatial domain is first proposed， which is derive， which is a problem of secondorder cone programs， to obtain the polarized beam with a null and polarization constraint in desired sidelobe region. Numerical examples are provided to demonstrate the usefulness and effectiveness of the proposed approaches.Polarization； interference rejection； phased array radarendprint