基于擬蒙特卡洛的半不變量法概率潮流計(jì)算

栗然，范航，張凡，靳保源

(新能源電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(華北電力大學(xué))，河北省保定市 071003)

基于擬蒙特卡洛的半不變量法概率潮流計(jì)算

栗然，范航，張凡，靳保源

(新能源電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(華北電力大學(xué))，河北省保定市 071003)

隨著風(fēng)電并網(wǎng)容量的增加，概率潮流計(jì)算方法在計(jì)及風(fēng)電出力不確定性的同時(shí)，還需考慮鄰近風(fēng)電場(chǎng)由于風(fēng)速相關(guān)性導(dǎo)致的風(fēng)電出力相關(guān)性問(wèn)題。針對(duì)風(fēng)電出力波動(dòng)范圍較大且存在相關(guān)性的特點(diǎn)，提出一種可考慮輸入變量相關(guān)性的基于擬蒙特卡洛的半不變量法概率潮流計(jì)算方法。該方法利用基于Nataf變換的擬蒙特卡洛法產(chǎn)生具有相關(guān)性的風(fēng)電出力樣本，在各樣本點(diǎn)處進(jìn)行半不變量法概率潮流計(jì)算，基于各風(fēng)電出力樣本下的狀態(tài)變量正態(tài)分布特性，依全概率公式整合所得正態(tài)分布得到最終的概率潮流結(jié)果。基于IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的算例分析表明，所提方法在較小采樣規(guī)模下具有很高的計(jì)算精度，能夠較精確地得到系統(tǒng)狀態(tài)變量的概率分布。

概率潮流; 半不變量法; 擬蒙特卡洛; 風(fēng)電并網(wǎng)

0 引 言

電力系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行時(shí)存在大量不確定因素，如負(fù)荷的波動(dòng)、發(fā)電機(jī)的停運(yùn)、線(xiàn)路等元件的隨機(jī)故障。此外，風(fēng)力發(fā)電、光伏發(fā)電作為清潔型發(fā)電形式在我國(guó)得到大力發(fā)展，這種間歇性能源的大規(guī)模并網(wǎng)將增強(qiáng)電力系統(tǒng)的不確定性。確定性潮流計(jì)算只能得到系統(tǒng)確定工況下的潮流分布，不能全面反映系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)。而概率潮流[1]作為可評(píng)估不確定因素對(duì)系統(tǒng)影響的有效工具，已得到廣泛的研究。

目前，概率潮流計(jì)算主要分為3類(lèi)[2]：模擬法[3]、近似法[4]和解析法[5]。模擬法基于蒙特卡洛抽樣，計(jì)算過(guò)程直觀，當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，計(jì)算結(jié)果精度很高。但在提高精度的同時(shí)，蒙特卡洛模擬法計(jì)算規(guī)模往往很大，因此成為評(píng)估其他方法準(zhǔn)確性的基準(zhǔn)。近似法又分為點(diǎn)估計(jì)法、一次二階距法和狀態(tài)變換法。近似法在計(jì)算輸出隨機(jī)變量的期望和方差時(shí)較為有效，但很難得到準(zhǔn)確的整體概率分布[2]。解析法以半不變量法為代表，半不變量法利用累計(jì)量進(jìn)行卷積運(yùn)算，再通過(guò)級(jí)數(shù)展開(kāi)或最大熵原理得到輸出隨機(jī)變量的概率分布，計(jì)算效率很高，因此在對(duì)計(jì)算速度要求較高并且需要掌握輸出隨機(jī)變量準(zhǔn)確概率分布時(shí)，半不變量法更為實(shí)用。

半不變量法通常采用線(xiàn)性化交流模型，負(fù)荷的波動(dòng)以及風(fēng)電出力的隨機(jī)性會(huì)使節(jié)點(diǎn)注入功率遠(yuǎn)離基準(zhǔn)值，使得線(xiàn)性化處理引起較大誤差[6]。風(fēng)電出力波動(dòng)范圍較大，大規(guī)模風(fēng)電并網(wǎng)可能導(dǎo)致輸出隨機(jī)變量的三階或四階距也較大，使得采用A型Gram-Charlier級(jí)數(shù)或Edgeworth級(jí)數(shù)擬合的概率密度函數(shù)出現(xiàn)負(fù)值，導(dǎo)致方法失效[7]。針對(duì)線(xiàn)性化模型引起較大誤差以及概率密度出現(xiàn)負(fù)值的問(wèn)題，文獻(xiàn)[7]提出采用分段線(xiàn)性化手段減小潮流方程線(xiàn)性化誤差，并引入C型Gram-Charlier級(jí)數(shù)避免了所擬合的概率密度函數(shù)出現(xiàn)負(fù)值的情況。為了解決級(jí)數(shù)法得到負(fù)值概率密度以及存在截?cái)嗾`差的問(wèn)題，文獻(xiàn)[8]基于累積量框架采用最大熵模型求解概率潮流。文獻(xiàn)[9]將風(fēng)電出力離散化并對(duì)多個(gè)風(fēng)電場(chǎng)出力進(jìn)行組合，得到多個(gè)出力組合狀態(tài)及相應(yīng)的概率，基于全概率公式整合每個(gè)出力組合狀態(tài)下的概率潮流結(jié)果得到最終的概率潮流。該方法不采用級(jí)數(shù)方法或最大熵模型擬合分布函數(shù)，而通過(guò)整合多個(gè)Gauss函數(shù)擬合分布，相當(dāng)于在多個(gè)運(yùn)行點(diǎn)線(xiàn)性化潮流方程，因此具有很高的精度，并且計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單直觀。

上述概率潮流計(jì)算方法最初都是假定輸入隨機(jī)變量之間是相互獨(dú)立的[10]，而實(shí)際上同一地區(qū)的負(fù)荷可能同時(shí)增大或減少，鄰近的多個(gè)風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速具有較強(qiáng)相關(guān)性[11]，因此有必要在原始方法的基礎(chǔ)上加入能處理相關(guān)性的技術(shù)手段。概率潮流中常用處理隨機(jī)變量相關(guān)性的方法有Cholesky分解[12]、Rosenblatt變換[13]、Nataf變換[14]和多項(xiàng)式正態(tài)變換[15]，但半不變量法一般只采用Choleky分解處理隨機(jī)變量的相關(guān)性，主要由于其他方法屬于非線(xiàn)性變換，在半不變量法中不適用。為處理非正態(tài)分布隨機(jī)變量的相關(guān)性和提高計(jì)算速度，文獻(xiàn)[16]提出采用Rackwitz-Fiessler變換將Nataf變換線(xiàn)性化，將改進(jìn)的Nataf變換法應(yīng)用于半不變量法，取得了較好的效果，但線(xiàn)性化過(guò)程較復(fù)雜且存在線(xiàn)性化誤差。

為有效處理風(fēng)電出力波動(dòng)范圍較大導(dǎo)致傳統(tǒng)半不變量法失效的問(wèn)題，本文借鑒文獻(xiàn)[9]將風(fēng)電出力不確定性與負(fù)荷不確定性分開(kāi)進(jìn)行處理的思想，針對(duì)其沒(méi)有考慮輸入變量相關(guān)性的不足，提出一種可考慮輸入變量相關(guān)性的基于擬蒙特卡洛的半不變量法(cumulant method based on quasi Monte Carlo，CM-QMC)計(jì)算概率潮流。該方法采用基于Nataf變換的擬蒙特卡洛法(Nataf transformation based quasi Monte Carlo，NQMC)產(chǎn)生具有相關(guān)性的風(fēng)電出力樣本，采用基于Cholesky分解的半不變量法來(lái)計(jì)算各風(fēng)電出力樣本下的概率潮流，通過(guò)整合各樣本下的概率分布得到最終的電力系統(tǒng)概率潮流結(jié)果。在含多個(gè)風(fēng)電場(chǎng)的IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)上進(jìn)行仿真，結(jié)果表明對(duì)于僅考慮風(fēng)電和負(fù)荷不確定的概率潮流，所提出的方法具有很高的精度，并且計(jì)算效率遠(yuǎn)高于蒙特卡洛模擬法。

1 風(fēng)電出力樣本生成

1.1 風(fēng)電場(chǎng)概率模型

采用應(yīng)用較廣的雙參數(shù)Weibull分布作為風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速概率模型，其概率密度函數(shù)為

(1)

式中：v為風(fēng)速；k、c分別為Weibull分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。

風(fēng)電機(jī)組輸出功率用下式近似描述：

(2)

式中：vin、vr和vout分別為風(fēng)機(jī)的切入風(fēng)速、額定風(fēng)速及切出風(fēng)速；Pr為風(fēng)機(jī)額定輸出功率；Pw為風(fēng)機(jī)實(shí)際輸出功率。

為簡(jiǎn)化計(jì)算，本文假設(shè)風(fēng)電場(chǎng)裝設(shè)的風(fēng)電機(jī)組型號(hào)相同，風(fēng)電場(chǎng)以恒定功率因數(shù)控制方式并網(wǎng)運(yùn)行。

1.2 基于Nataf變換的擬蒙特卡洛法

文獻(xiàn)[17]通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)指出，在相同采樣規(guī)模下，擬蒙特卡洛法計(jì)算效率高于基于拉丁超立方抽樣的蒙特卡洛法。因此，為提高采樣效率，本文采用NQMC方法生成具有相關(guān)性的風(fēng)電出力樣本。

1.2.1Nataf變換

設(shè)X=[x1,x2,…,xm]是m維服從任意分布的隨機(jī)向量，隨機(jī)變量xi的累計(jì)分布函數(shù)為Fi(xi)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)向量Y=[y1,y2,…,ym]可由下式得到：

yi=Φ-1[Fi(xi)]

(3)

式中Φ-1[·]為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的逆累計(jì)分布函數(shù)。

設(shè)ρX=(ρXij)m×m、ρY=(ρYij)m×m分別為隨機(jī)向量X和Y的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)矩陣，矩陣中各元素的關(guān)系滿(mǎn)足下式：

(4)

式中：μi、σi、μj和σj分別為隨機(jī)變量xi與xj的期望和標(biāo)準(zhǔn)差；φ2(yi,yj,ρYij)為yi和yj的聯(lián)合概率密度函數(shù)。文獻(xiàn)[18]提供了計(jì)算ρYij的半經(jīng)驗(yàn)公式，本文采用這一方法。上述步驟完成了服從任意分布的隨機(jī)向量到相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)向量的變換，若能夠得到隨機(jī)向量Y的樣本，則通過(guò)變換X=F-1[Φ(Y)]可得到隨機(jī)向量X的樣本。下面介紹如何得到相關(guān)系數(shù)矩陣為ρY的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本。

設(shè)Z=[z1,z2,…,zm]為m維相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)向量。對(duì)ρY進(jìn)行Cholesky分解得到下三角矩陣L，則有Y=LZ?？梢钥闯?，若要得到相關(guān)系數(shù)矩陣為ρY的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本，則需先得到相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本。首先對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行采樣得到樣本矩陣，再通過(guò)排序方法可得到相關(guān)系數(shù)矩陣趨于單位矩陣的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本矩陣。排序方法有多種，本文采用Cholesky分解法[19]進(jìn)行排序。

1.2.2擬蒙特卡洛法

擬蒙特卡洛法利用低偏差序列進(jìn)行采樣，使得采樣得到的樣本能均勻地填充采樣空間。常用的低偏差序列有Halton序列、Faure序列以及Sobol序列，本文采用Sobol序列，其生成的步驟簡(jiǎn)述如下。

(1)選取本原多項(xiàng)式pi(x)如下：

pi(x)=xsj+a1,jxsj-1+…+asj-1,jx+1，j=1,2,…,m

(5)

式中：m為Sobol序列的維數(shù)；a1,j,…asj-1, j∈{0,1}為第j維本原多項(xiàng)式的系數(shù)；sj為第j維本原多項(xiàng)式的冪。

(2)選取正整數(shù)序列初始值m1,j,m2,j,…,msj,j，需保證mk,j(1≤k≤sj)為奇數(shù)且小于2k。對(duì)于kgt;sj，有遞歸公式：

mk,j=2a1,jmk-1,j⊕22a2,jmk-2,j⊕…⊕

2sjmk-sj,j⊕mk-sj,j

(6)

式中⊕為按位異或算子。

(3)計(jì)算方向數(shù)vk,j：

vk,j=mk,j/2k

(7)

Sobol序列的第j維第i個(gè)采樣值由下式計(jì)算：

xi,j=b1v1,j⊕b2v2,j⊕…⊕bkvk,j⊕…

(8)

式中bk是第i個(gè)采樣值的二進(jìn)制(…b2b1)2的右數(shù)第k位。

由上述步驟可看出，當(dāng)本原多項(xiàng)式及正整數(shù)序列初始值確定，Sobol序列可根據(jù)式(6)至式(8)計(jì)算得到。文獻(xiàn)[20]已給出多達(dá)1 111維的本原多項(xiàng)式及正整數(shù)序列初始值，本文加以利用得到Sobol序列。

1.2.3基于Nataf變換的擬蒙特卡洛法

1.2.1節(jié)提供了從相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本到服從任意分布的隨機(jī)向量樣本的變換方法，而1.2.2節(jié)提供了擬蒙特卡洛采樣方法。文獻(xiàn)[21]提出了能夠處理相關(guān)性的拉丁超立方采樣方法，以此為基礎(chǔ)，本文提出計(jì)及相關(guān)性的擬蒙特卡洛方法，其流程如下：

(1)對(duì)m個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行n次擬蒙特卡洛采樣，得到樣本矩陣Wm×n，對(duì)Wm×n進(jìn)行基于Cholesky分解法的排序，得到相關(guān)系數(shù)矩陣趨于單位矩陣的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本矩陣Zm×n。

(2)由隨機(jī)向量X的分布和相關(guān)系數(shù)矩陣ρX得到隨機(jī)向量Y的相關(guān)系數(shù)矩陣ρY，對(duì)其進(jìn)行Cholesky分解得到下三角矩陣L。由Y=LZ得到相關(guān)系數(shù)矩陣為ρY的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本矩陣Ym×n，由Ym×n得到其順序矩陣Ls。

(3)對(duì)隨機(jī)向量X進(jìn)行擬蒙特卡洛采樣，按順序矩陣排序得到最終的樣本矩陣Sm×n。

2 半不變量法計(jì)算概率潮流

2.1 潮流方程線(xiàn)性化模型

將極坐標(biāo)形式的交流潮流方程在基準(zhǔn)運(yùn)行點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，忽略2次及以上的高次項(xiàng)，可得到：

(9)

2.2 輸入隨機(jī)變量相關(guān)性處理

先假設(shè)節(jié)點(diǎn)注入功率變量相互獨(dú)立，利用半不變量法的齊次和可加性可得：

(10)

當(dāng)計(jì)及節(jié)點(diǎn)注入功率變量的相關(guān)性時(shí)，處理方法是將相關(guān)隨機(jī)變量表示為不相關(guān)隨機(jī)變量的線(xiàn)性組合。通常認(rèn)為發(fā)電機(jī)注入功率變量之間相互獨(dú)立，負(fù)荷注入功率變量具有相關(guān)性。設(shè)負(fù)荷注入功率向量協(xié)方差矩陣為Cw，可由相關(guān)系數(shù)矩陣及向量標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算得到。對(duì)Cw進(jìn)行Cholesky分解得到下三角矩陣G，則有：

(11)

對(duì)式(10)進(jìn)行修正可得：

(12)

求得ΔX、ΔZ的各階半不變量，可通過(guò)級(jí)數(shù)展開(kāi)或最大熵原理得到擾動(dòng)部分的概率分布，將其右移X0、Z0，便得到節(jié)點(diǎn)狀態(tài)向量及支路潮流向量的概率分布。

3 負(fù)荷正態(tài)分布時(shí)的概率潮流

3.1 正態(tài)分布特性

本文僅考慮風(fēng)電及負(fù)荷的不確定性，且設(shè)負(fù)荷注入功率向量服從多維正態(tài)分布，當(dāng)采用風(fēng)電出力樣本描述風(fēng)電隨機(jī)性時(shí)，系統(tǒng)不確定量?jī)H為服從多維正態(tài)分布的負(fù)荷注入功率向量WL。當(dāng)采用2.1節(jié)線(xiàn)性化模型后，根據(jù)正態(tài)變量線(xiàn)性變換不變性定理可知，各風(fēng)電出力樣本下的狀態(tài)變量服從正態(tài)分布，因此僅需計(jì)算其期望和方差。

3.2 狀態(tài)變量的概率分布計(jì)算

各風(fēng)電出力樣本下，負(fù)荷注入功率取期望值，則進(jìn)行確定性潮流計(jì)算得到X0、Z0，其為節(jié)點(diǎn)狀態(tài)向量X及支路潮流向量Z期望值的近似值[22]，且近似值的誤差與方差有關(guān)。本文將X0、Z0作為各樣本下X、Z的期望值，忽略了較小的誤差。

以節(jié)點(diǎn)狀態(tài)向量X為例，說(shuō)明前2階原點(diǎn)距和半不變量的關(guān)系。

(13)

由上述方法可計(jì)算得到各風(fēng)電出力樣本下?tīng)顟B(tài)變量的期望與方差，根據(jù)其正態(tài)分布特性便可得到該狀態(tài)變量的概率分布，其累計(jì)分布函數(shù)如式(14)。根據(jù)全概率公式，對(duì)各樣本下?tīng)顟B(tài)變量的概率分布進(jìn)行加權(quán)，由式(15)計(jì)算得到狀態(tài)變量最終的累計(jì)分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。

(14)

(15)

3.3 計(jì)算流程

本文所提方法流程如圖1所示，主要由3部分組成：風(fēng)電出力樣本的產(chǎn)生、計(jì)及相關(guān)性的半不變量法概率潮流以及狀態(tài)變量的概率分布計(jì)算。

圖1 CM-QMC算法流程Fig.1 Flow chart of CM-QMC method

4 算例分析

4.1 算例說(shuō)明

本文采用IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)驗(yàn)證所提方法。將2個(gè)風(fēng)電場(chǎng)接入節(jié)點(diǎn)10，每個(gè)風(fēng)電場(chǎng)各包含20臺(tái)1.5 MW風(fēng)電機(jī)組，其切入風(fēng)速、額定風(fēng)速、切出風(fēng)速分別為3.5、13、25 m/s。風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速Weibull分布的形狀參數(shù)k=2.11，尺度參數(shù)c=9，兩風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速之間的相關(guān)系數(shù)為0.9。風(fēng)電場(chǎng)以恒定功率因數(shù)控制方式并網(wǎng)運(yùn)行，且功率因數(shù)為0.98，從電網(wǎng)吸收部分無(wú)功功率。

各節(jié)點(diǎn)負(fù)荷期望值為測(cè)試系統(tǒng)負(fù)荷確定值，標(biāo)準(zhǔn)差為期望值的10%，負(fù)荷有功與無(wú)功功率不相關(guān)。將系統(tǒng)分為2個(gè)區(qū)域，節(jié)點(diǎn)1—15為區(qū)域1，節(jié)點(diǎn)16—30為區(qū)域2，區(qū)域內(nèi)負(fù)荷的相關(guān)系數(shù)為0.9，區(qū)域間負(fù)荷的相關(guān)系數(shù)為0.5。

將本文方法與基于Nataf變換的簡(jiǎn)單隨機(jī)采樣(Nataf transformation based simple random sampling，NSRS)蒙特卡洛法、NQMC進(jìn)行比較，以50 000次NSRS方法得到的概率潮流結(jié)果作為準(zhǔn)確值。為了全面驗(yàn)證本文所提方法的有效性，引入相對(duì)誤差、方差和的根均值[23](average root mean square，ARMS)2項(xiàng)指標(biāo)。

(16)

(17)

4.2 性能評(píng)估

圖2 電壓幅值相位誤差曲線(xiàn)Fig.2 Error curves of bus voltage magnitude and phase

圖3 支路潮流誤差曲線(xiàn)Fig.3 Error curves of branch power flow

選取節(jié)點(diǎn)10(風(fēng)電場(chǎng)接入節(jié)點(diǎn))電壓幅值為考察對(duì)象，100次采樣的3種方法和50 000次采樣的NSRS方法得到的概率密度函數(shù)如圖5所示。從圖中可知，采樣規(guī)模為100次的CM-QMC得到的概率分布擬合精度高于其他2種方法，主要由于CM-QMC采用多個(gè)正態(tài)分布進(jìn)行擬合，而NSRS和NQMC采用核密度估計(jì)等方法進(jìn)行擬合。當(dāng)采樣規(guī)模小時(shí)，核密度估計(jì)等方法的誤差較大。

圖4 輸出變量ARMS均值Fig.4 Average ARMS of output variables

圖5 節(jié)點(diǎn)10電壓幅值概率密度函數(shù)Fig.5 Probability density function of bus10 voltage magnitude

在CPU為Intel Core i5-6500 3.2G Hz、內(nèi)存為 4 GB的計(jì)算機(jī)上，采用Matlab R2017a軟件編程進(jìn)行仿真計(jì)算。定義計(jì)算時(shí)間為隨機(jī)變量樣本的產(chǎn)生、確定性潮流計(jì)算(半不變量法概率潮流計(jì)算)，不進(jìn)行計(jì)算結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析。不同采樣規(guī)模下3種方法計(jì)算時(shí)間如表1所示。從表中可以看出，在相同采樣規(guī)模下NSRS和NQMC計(jì)算時(shí)間相近，說(shuō)明通過(guò)擬蒙特卡洛法產(chǎn)生樣本消耗很少的時(shí)間。CM-QMC需要計(jì)算輸出隨機(jī)變量的2階半不變量，因此消耗的時(shí)間高于另2種算法，但CM-QMC的優(yōu)勢(shì)在于算法收斂速度快、擬合曲線(xiàn)精度高，在達(dá)到相同的計(jì)算精度時(shí)，所需采樣數(shù)較少，計(jì)算時(shí)間會(huì)更短。

表13種方法計(jì)算時(shí)間比較
Table1Computationaltimecomparisonofthreemethods

5 結(jié) 論

針對(duì)概率潮流算法中模擬法耗時(shí)過(guò)長(zhǎng)、半不變量法線(xiàn)性化模型引起誤差較大以及概率密度出現(xiàn)負(fù)值等不足，本文將擬蒙特卡洛法與半不變量法相結(jié)合，提出一種考慮輸入變量相關(guān)性的CM-QMC算法。

與傳統(tǒng)半不變量法相比，本文方法雖然需要進(jìn)行多次半不變量計(jì)算，但只需計(jì)算2階半不變量，通過(guò)整合多個(gè)正態(tài)分布得到狀態(tài)變量的概率分布，避免了概率密度出現(xiàn)負(fù)值的情況。并且采用擬蒙特卡洛法產(chǎn)生風(fēng)電出力樣本，相當(dāng)于在各樣本點(diǎn)處線(xiàn)性化潮流方程，減小了線(xiàn)性化模型引起的誤差。算例結(jié)果表明，本文方法在較小采樣規(guī)模下即可得到狀態(tài)變量精確的數(shù)字特征和概率分布，因此與模擬法通常需要較大采樣規(guī)模相比，本文方法具有更高的計(jì)算效率。

[1] BORKOWSKA B．Probabilistic load flow [J]．IEEE Transactions on Power Apparatus and System，1974，93(3)：752-759．

[2] 劉宇，高山，楊勝春，等．電力系統(tǒng)概率潮流算法綜述[J]．電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2014，(38)23：127-135．

LIU Yu，GAO Shan，YANG Shengchun，et al．Review on algorithms for probabilistic load flow in power system[J]．Automation of Electric Power Systems，2014，38(23)：127-135．

[3] 丁明，王京景，李生虎．基于擴(kuò)展拉丁超立方采樣的電力系統(tǒng)概率潮流計(jì)算[J]．中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2013，33(4)：163-170．

DING Ming，WANG Jingjing，LI Shenghu．Probabilistic load flow evaluation with extended Latin hypercube sampling [J]．Proceedings of the CSEE，2013， 33(4)：163-170．

[4] 張立波，程浩忠，曾平良，等．基于Nataf逆變換的概率潮流三點(diǎn)估計(jì)法[J]．電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2016，31(6)：187-194．

ZHANG Libo，CHENG Haohong，ZENG Pingliang，et al．A three-point estimate method for solving probabilistic load flow based on inverse Nataf transformation[J]．Transactions of China Electrotechnical Society，31(6)：187-194．

[5] 黃煜，徐青山，卞海紅，等．基于拉丁超立方采樣技術(shù)的半不變量法隨機(jī)潮流計(jì)算[J]．電力自動(dòng)化設(shè)備，2016，36(11)：112-119．

HUANG Yu，XU Qingshan，BIAN Haihong，et al．Cumulant method based on Latin hypercube sampling for calculating probabilistic load flow[J]．Electric Power Automation Equipment，2016，36(11)：112-119．

[6] 郭效軍，蔡德福．不同級(jí)數(shù)展開(kāi)的半不變量法概率潮流計(jì)算比較分析[J]．電力自動(dòng)化設(shè)備，2013，33(12)：85-90．

GUO Xiaojun，CAI Defu．Comparison of probabilistic load flow calculation based on cumulant method among different series expansions[J]．Electric Power Automation Equipment，2013，33(12)：85-90．

[7] 朱星陽(yáng)，劉文霞，張建華．考慮大規(guī)模風(fēng)電并網(wǎng)的電力系統(tǒng)隨機(jī)潮流[J]．中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2013，33(7)：77-85．

ZHU Xinyang，LIU Wenxia，ZHANG Jianhua．Probabilistic load flow method considering large-scale wind power integration[J]．Proceedings of the CSEE，2013，33(7)：77-85．

[8] 隋冰彥，侯?lèi)穑Z宏杰，等．基于最大熵原理的含風(fēng)電和電動(dòng)汽車(chē)電力系統(tǒng)概率潮流[J]．電網(wǎng)技術(shù)，2016，40(12)：3696-3705．

SUI Bingyan，HOU Kai，JIA Hongjie，et al．Maximum entropy based probability load flow for power system with wind power and electric vehicles[J]．Power System Technology，2016，40(12)：3696-3705．

[9] 高元海，王淳．基于全概率公式的含風(fēng)電配電系統(tǒng)概率潮流計(jì)算[J]．中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2015，35(2)：327-334．

GAO Yuanhai，WANG Chun．Probabilistic load flow calculation of distribution system including wind farms based on total probability formula[J]．Proceedings of the CSEE，2015，35(2)：327-334．

[10] 楊歡，鄒斌．含相關(guān)性隨機(jī)變量的概率潮流三點(diǎn)估計(jì)法[J]．電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2012，36(15)：51-56．

YANG Huan，ZHOU Bin．A three-point estimate method for solving probabilistic power flow problems with correlated random variables[J]．Automation of Electric Power Systems，2012，36(15)：51-56．

[11] 石東源，蔡德福，陳金富，等．計(jì)及輸入變量相關(guān)性的半不變量法概率潮流計(jì)算[J]．中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2012，32(28)：104-113．

SHI Dongyuan，CAI Defu，CHEN Jinfu，et al．Probabilistic load flow calculation based on cumulant method considering correlation between input variables[J]．Proceedings of the CSEE，2012，32(28)：104-113．

[12] MORALES J M，BARINGO L，CONEJO A J，et al．Probabilistic power flow with correlated wind sources[J]．IET Generation，Transmission and Distribution，2010，4(5)：641-651．

[13] MOHAMMADI M，SHAYEGANI A，ADAMINEJAD H．A new approach of point estimate method for probabilistic load flow[J]．International Journal of Electrical Power amp; Energy Systems，2013，51(10)：54-60．

[14] 韓海騰，高山，吳晨，等．基于Nataf變換的電網(wǎng)不確定性多點(diǎn)估計(jì)法[J]．電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2015，39(7)：28-34．

HAN Haiteng，GAO Shan，WU Chen，et al．Uncertain power flow solved by multi-point estimate method based on Nataf transformation[J]．Automation of Electric Power Systems，2015，39(7)：28-34．

[15] 蔡德福，石東源，陳金富．基于多項(xiàng)式正態(tài)變換和拉丁超立方采樣的概率潮流計(jì)算方法[J]．中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2013，33(13)：92-100．

CAI Defu，SHI Dongyuan，CHEN Jinfu．Probabilistic load flow calculation method based on polynomial normal transformation and Latin hypercube sampling[J]．Proceedings of the CSEE，2013，33(13)：92-100．

[16] 趙來(lái)鑫，趙書(shū)強(qiáng)，胡永強(qiáng)．考慮光伏發(fā)電相關(guān)性的概率潮流計(jì)算[J]．華北電力大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，44(2)：68-74．

ZHAO Laixin，ZHAO Shuqiang，HU Yongqiang．Probabilistic load flow calculation considering correlativity of photovoltaic generation[J]．Journal of North China Electric Power University，2017，44(2)：68-74．

[17] 方斯頓，程浩忠，徐國(guó)棟，等．基于Nataf變換含相關(guān)性的擴(kuò)展準(zhǔn)蒙特卡洛隨機(jī)潮流方法[J]．電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2017，32(2)：255-263．

FANG Sidun，CHENG Haozhong，XU Guodong，et al．A Nataf transformation based on extended quasi Monte Carlo simulation method for solving probabilistic load flow problems with correlated random variables [J]．Transactions of China Electrotechnical Society，2017，32(2)：255-263 ．

[18] LIU P L，DER K A．Multivariate distribution models with prescribed marginals and covariances[J]．Probabilistic Engineering Mechanics，1986，1(2)：105-112．

[19] YU H，CHUNG C Y，WONG K P，et al．Probabilistic load flow evaluation with hybrid Latin hypercube sampling and cholesky decomposition[J]．IEEE Transactions on Power Systems，2009，24(2)：661-667．

[20] JOE S，KUO F Y．Remark on algorithm 659：Implementing Sobol’s quasi random sequence generator[J]．ACM Transaction on Mathematical Software，2003，29(1)：49-57．

[21] 陳雁，文勁宇，程時(shí)杰．考慮輸入變量相關(guān)性的概率潮流計(jì)算方法[J]．中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2011，31(22)：80-87．

CHEN Yan，WEN Jinyu，CHENG Shijie．Probabilistic load flow analysis considering dependencies among input random variables[J]．Proceedings of the CSEE，2011，31(22)：80-87．

[22] 劉艷麗．隨機(jī)潮流中正態(tài)變量線(xiàn)性變換不變性定理應(yīng)用的研究[D]．天津：天津大學(xué)，2009．

LIU Yanli．Study on the application of the linear transformation invariance of normal variables in probabilistic load flow[D]．Tianjin：Tianjin University，2009．

[23] ZHANG P，LEE S T．Probabilistic load flow computation using the method of combined cumulants and Gram-Charlier expansion [J]．IEEE Transactions on Power Systems，2004，19(1)：676-682．

2017-06-22

栗然(1965)，女，博士，教授，主要研究方向?yàn)樾履茉磁c并網(wǎng)技術(shù)；

范航(1993)，男，碩士研究生，通訊作者，主要研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)分析、運(yùn)行與控制；

張凡(1993)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)分析、運(yùn)行與控制；

靳保源(1992)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)分析、運(yùn)行與控制。

(編輯 張小飛)

QuasiMonteCarloBasedCumulantMethodforProbabilisticLoadFlowCalculation

LI Ran, FAN Hang, ZHANG Fan, JIN Baoyuan

(State Key Laboratory of Alternate Electrical Power System with Renewable Energy Sources, North China Electric Power University, Baoding 071003, Hebei Province, China)

With the increasing penetration of wind sources, not only the uncertainty of wind power output, but also the correlation of wind power output due to wind speed correlations among adjacent wind farms should be considered in probabilistic load flow (PLF) methods. In allusion to the correlation and large fluctuation range of wind power output, this paper proposes a quasi Monte Carlo (QMC) based cumulant method of PLF considering the correlation between input variables. QMC based on Nataf transformation is used to generate wind power output samples with correlation, and the cumulant method is used to calculate PLF at each sample point. With the state variables satisfying the normal distribution at each sample point, the final probability distributions are obtained by integrating all normal distributions according to the total probability formula. The comparative tests in the IEEE 30-bus system demonstrate that the proposed method has high computational precision under the small sampling size, and can obtain the probability distribution of the system state variables accurately.

probabilistic load flow; cumulant method; quasi Monte Carlo; wind power integration

TM74

A

1000-7229(2017)11-0144-07

10.3969/j.issn.1000-7229.2017.11.019