梯子長了，坡度也就小了
——以“豎式除法”為例談“化錯教學(xué)”

◇姚林濤

梯子長了，坡度也就小了
——以“豎式除法”為例談“化錯教學(xué)”

◇姚林濤

教學(xué)過程：

我們來欣賞一份學(xué)生作品（如圖 1）。這是我在教學(xué)“三位數(shù)除以兩位數(shù)”時學(xué)生出現(xiàn)的寫法。

圖1

當時我有些疑惑，仔細看后心中一陣激動：商是對的，計算過程這樣寫可以嗎？如果可以應(yīng)該怎樣評價？這個資源的價值在哪兒？如何凸顯？怎么利用？如何讓學(xué)生在知識之外能從思想方法或情感、態(tài)度上有所得？思考之后便有了下面的交流環(huán)節(jié)。

師：殊途同歸，過程不一樣，想法也會不同，期待不一樣的精彩。我們先來靜靜地看一看這兩種方法。（如圖1和圖2）

圖2

片刻后，有人點頭，有人舉手質(zhì)疑，有人眉頭微鎖……

師：好了，讓我們帶著思考來交流一下，先交流哪種？（我隨手根據(jù)豎式特點在圖1上面寫上“長”，在圖 2上面寫上“短”）

也許是因為初見，“長”的呼聲很高。

“好，有請！”

他大步走上講臺說：“我根據(jù)‘四舍五入’法把24看作20去試商，28里有1個20，所以在十位上商 1，1×20＝20，28－20＝8，而除數(shù)是24，所以還少算一個4，1×4＝4，8－4＝4。再把個位上的8落下來和余下的4個10組成48，48里有 2個 20，所以在個位上商 2，2×20＝40，48－40＝8，同樣還少算了一個 8，2×4＝8，8－8＝0，正好除完，所以 288÷24＝12?！?/p>

我默默地注視著大家，不置可否，期待同學(xué)們的回應(yīng)。有人茅塞頓開，也有人不明就里。

師：能借助分實物的過程解釋一下你的思路嗎？比如，這是288支鉛筆，這是2箱（手指被除數(shù)百位上的2），這是8盒（手指十位上的8），這是8支（手指個位上的8），要平均分給24個同學(xué)。

生：2箱沒法整箱平均分給24位同學(xué)，就把2箱拆成20盒，與8盒組成28盒，先分給20人每人1盒，還剩8盒再分給剩下的4人每人1盒，還剩下4盒。再把4盒拆成40支，和8支組成48支，先分給20人每人2支是40支，剩下8支再分給4人，每人2支正好分完。這樣每人分1盒2支也就是12支。

臺下自發(fā)地響起了掌聲。

師：真好！果然有想法、有創(chuàng)造。老師也是頭一次看到這樣的豎式，化難為易，很巧妙地解決了平均分的問題，佩服！“長”方法分享完了，那“短”方法怎么解釋？有請。

學(xué)生敘述方法，略。

師：確實不一樣，不一樣在哪兒呢？

生：一個是分著乘的，一個是合一起乘的。

師：能具體說一說嗎？

生：他們第一步都是在十位上商1，但“長”方法是先用1乘20得20,28減20之后再用1乘4 得 4，再用 8 減 4；而“短”方法是用1直接乘24得24，再用28減24，后面也是一樣。

師：你們喜歡哪種寫法？

生：我喜歡第一種，第一種算起來更簡單，更能看清每一步的過程。

生：我喜歡第二種，第二種更簡潔。

師：看到除法豎式，我想到了生活中登高用的梯子，一階一階的。像嗎？（生：像）登高的梯子不止一種，（手指第一種）梯子長了，坡度也就小了，想象一下，是嗎？步數(shù)多了，每一步就會更輕松。（手指第二種）能力強了，步子就大了；步子大了，用的步數(shù)就少了，對嗎？這兩種方法各有優(yōu)勢，最關(guān)鍵的是都到達了理想的高度，真好！

我的思考：

一、關(guān)于豎式

有了這個案例，我去追問豎式的本質(zhì)，去了解有著上千年歷史的除法豎式所經(jīng)歷的若干次的演變過程。《筭數(shù)書》中關(guān)于除法的表示方式共有7類19種涉及55條。我在想：豎式格式真的重要嗎？當然重要，它是幾千年演變過程的高度概括，是數(shù)代人智慧的結(jié)晶，對計算的發(fā)展史有著深遠的價值和意義。但對于四年級學(xué)生來說，這個意義更大還是根據(jù)自己的知識經(jīng)驗創(chuàng)造出的豎式書寫方式意義更大？既然豎式是計算過程的記錄方式，是不是意味著算法不同記錄的方式、過程自然不同？也就是說豎式書寫方式有優(yōu)劣之分而無對錯之別？所謂的正確格式可能只是模仿，而錯誤的格式肯定是創(chuàng)造，是學(xué)生根據(jù)自己的“除法就是平均分”的操作經(jīng)驗完成的從操作到算式表達方式的統(tǒng)一。這樣的探索過程，不僅進一步明確了算理、鍛煉了表達，更發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新意識。

二、關(guān)于化錯

這是錯嗎？如果從教育“中國制造”的視角看，它也許是一個不合格品，不合唯一正確的標準答案的格。如果從“中國創(chuàng)造”的視角看，它肯定是一個優(yōu)質(zhì)品，優(yōu)的是獨立思考、創(chuàng)新思維的質(zhì)。教育要實現(xiàn)從“中國制造”向“中國創(chuàng)造”的飛躍，這樣的“錯”理應(yīng)得到肯定和贊揚。讓化錯成為教師的教學(xué)理念，化作教師的一種教育自覺；用化錯保護、滋潤學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)出一批批不僅合格而且優(yōu)質(zhì)的新時代的人才。

“出錯”的這個學(xué)生收獲了什么？這樣的書寫方式一定是他在明白算理的基礎(chǔ)上創(chuàng)造的，是從具體到抽象的重要意義的提升。首先他收獲了知識，同時發(fā)展了思維。教師的贊賞、同學(xué)們的掌聲是不是又能使他產(chǎn)生愉悅的學(xué)習(xí)情感體驗，增強他學(xué)習(xí)的動機？試想如果當時我能再加上一句：你的這種書寫方式說不定就是《筭數(shù)書》里55條中的一條呢！是否還會引起他的持續(xù)關(guān)注，對他后續(xù)深入學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極的影響呢？

同學(xué)們收獲了什么？梯子長了，坡度也就小了。這樣的概括、引領(lǐng)意義何在？有方法嗎？有思想嗎？是哲學(xué)道理嗎？也許很含糊，但也許都包括吧。學(xué)生能在這個具象的概括中感悟到什么或能在以后的現(xiàn)實情境中聯(lián)想到這個具象化的例子，就是我所追求的。

課后我翻閱了英國教材和美國教材，發(fā)現(xiàn)各國教材中豎式的格式都不盡相同。如果課前我有這樣的教學(xué)儲備，就可以在學(xué)生交流之后呈現(xiàn)給他們，那樣是不是更能讓創(chuàng)造豎式書寫方式的同學(xué)產(chǎn)生一種創(chuàng)造之后的成就感，繼而不唯書，不唯師，保持一種對探究的濃厚興趣？是不是更能讓同學(xué)們在對比中感受中國豎式的優(yōu)越性和合理性，從而更加認可我國豎式格式的簡潔和有效，并產(chǎn)生一種民族自豪感和對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種元動力？

三、關(guān)于教育

教育的綜合改革正在深入推進，隨著我們從 “知識核心時代”走向“核心素養(yǎng)時代”，教育的價值、功能也在隨之改變。傳授知識是為啟迪智慧，啟迪智慧是為點化生命，化人、成人是教育的最終目的?；?，就應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展所需的必備品格；成人，就該培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展所需的關(guān)鍵能力?；e可“培養(yǎng)學(xué)生直面錯誤、超越錯誤的求真人格，學(xué)做真人，將教學(xué)活動引向深入，引向心靈深處，而不僅僅是促進認知的發(fā)展”。（華應(yīng)龍語）此謂必備品格?！坝胁铄e，才有真正的學(xué)習(xí)，才有實質(zhì)性的學(xué)習(xí)活動發(fā)生；有化錯，才有我們期待已久的主動學(xué)習(xí)、獨立思考、創(chuàng)新活動的發(fā)生；有化錯課堂，才有學(xué)生快樂健康的成長。成長發(fā)生在化錯中。”（華應(yīng)龍語）此謂關(guān)鍵能力?？梢娀e教學(xué)可使教育完成這樣的轉(zhuǎn)變，從而到達新的高度。

差錯是梯子，是讓我們向上爬的！

（作者單位：北京第二實驗小學(xué)大興實驗學(xué)校）