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    δ-Hom-Jordan李色代數(shù)的T*-擴張

    2021-07-15 02:00:34馬麗麗王曉燕
    關(guān)鍵詞:代數(shù)線性理想

    馬麗麗, 戴 迪, 李 強, 王曉燕

    (齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院, 黑龍江 齊齊哈爾 161006)

    1 引言與預(yù)備知識

    李色代數(shù)是李代數(shù)和李超代數(shù)的推廣, 目前關(guān)于李色代數(shù)的研究已有很多結(jié)果, 如李色代數(shù)的PBW定理和Ado定理[1]、 李色代數(shù)的表示理論[2]和Engel定理[3]、 李色代數(shù)的廣義導(dǎo)子結(jié)構(gòu)[4]、δ-李色代數(shù)的交換擴張[5]和δ-Hom-Jordan李色代數(shù)的導(dǎo)子擴張[6]等.T*-擴張是研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的重要方法, 其在δ-Hom-Jordan李(超)代數(shù)[7-8]、δ-Jordan李三系[9]和李色代數(shù)[10]等代數(shù)結(jié)構(gòu)中應(yīng)用廣泛. 本文研究δ-Hom-Jordan李色代數(shù), 并討論其T*-擴張結(jié)構(gòu).

    定義1[1]設(shè)G是交換群,F是任意域, 若對?a,b,c∈G,G上的一個映射ε:G×G→F*滿足:

    ε(|a|,|b|)ε(|b|,|a|)=1,

    ε(|a|,|b+c|)=ε(|a|,|b|)ε(|a|,|c|),

    ε(|a+c|,|b|)=ε(|a|,|b|)ε(|c|,|b|),

    則稱ε為G的斜對稱雙特征標(biāo).

    易知

    ε(|a|,|0|)=ε(|0|,|a|)=1,ε(|a|,|a|)=±1, ?a∈G.

    設(shè)a,b,c為G-階化向量空間中的齊次元, 用|a|,|b|,|c|表示其次數(shù).為簡便, 用ε(a,b)表示ε(|a|,|b|).

    定義2[11]δ-Hom-Jordan李色代數(shù)(L,[·,·]L,δ,α)由階化空間L、 一個雙線性運算[·,·]L:L×L→L及滿足如下條件的偶線性變換α:L→L構(gòu)成:

    [x,y]=-δε(x,y)[y,x],δ=±1,

    (1)

    ε(z,x)[α(x),[y,z]]+ε(x,y)[α(y),[z,x]]+ε(y,z)[α(z),[x,y]]=0, ?x,y,z∈L.

    (2)

    定義3設(shè)(L,[·,·]L,δ,α)是δ-Hom-Jordan李色代數(shù).

    1) 若α為同態(tài), 即任取x,y∈L, 均有α([x,y]L)=[α(x),α(y)]L, 則δ-Hom-Jordan李色代數(shù)稱為保積的; 若α為自同構(gòu), 則δ-Hom-Jordan李色代數(shù)稱為正則的.

    2) ?x,y∈η, 若α(η)?η且[x,y]L∈η, 則階化子空間η?L稱為(L,[·,·]L,δ,α)的Hom子代數(shù);

    3) ?x∈η及?y∈L, 若α(η)?η且[x,y]L∈η, 則階化子空間η?L稱為(L,[·,·]L,δ,α)的Hom理想; 特別地, 若滿足[L,η]=0, 則理想η稱為交換理想.

    定義4δ-Hom-Jordan李色代數(shù)(L,[·,·]L,δ,α)的表示為階化向量空間V上關(guān)于A∈pl(V)的線性映射

    ρA:L→pl(V),

    使得對任意的u,v∈L, 滿足

    ρA([u,v]L)°A=ρA(α(u))°ρA(v)-δε(u,v)ρA(α(v))°ρA(u).

    (3)

    定義5設(shè)(L,[·,·]L,δ,α)是δ-Hom-Jordan李色代數(shù), 如果

    L⊥={x∈L|f(x,y)=0, ?y∈L}=0,

    則L上的雙線性型f稱為非退化的; 如果

    f([x,y],z)=f(x,[y,z]), ?x,y,z∈L,

    則f稱為不變的; 如果

    f(x,y)=ε(x,y)f(y,x),

    則f稱為階化對稱的.如果I?I⊥, 則階化子空間I稱為迷向的.

    定義6對δ-Hom-Jordan李色代數(shù)(L,[·,·]L,δ,α)的雙線性型f, 若f滿足

    f(x,y)=0, ?x,y∈L, |x|≠|(zhì)y|,

    則f稱為Jordan相容的.

    定義7設(shè)(L,[·,·]L,δ,α)是域F上δ-Hom-Jordan李色代數(shù), 若L具有非退化不變階化對稱雙線性型f, 則稱(L,f,δ,α)為度量δ-Hom-Jordan李色代數(shù).特別地, 度量向量空間V是階化向量空間, 具有非退化階化對稱雙線性型.

    2 主要結(jié)果

    引理1設(shè)ad是δ-Hom-Jordan李色代數(shù)(L,[·,·]L,δ,α)的伴隨表示,L*是L的對偶空間, 定義偶線性映射π:L→End(L*)為

    π(x)(f)(y)=-δε(x,f)f°ad(x)(y), ?x,y∈L,

    α°adα(x)=adx°α,

    (4)

    adx°adα(y)-δε(x,y)ady°adα(x)=α°ad[x,y]L.

    (5)

    證明: 計算可得

    又因為

    所以

    定義8設(shè)(L,[·,·]L,δ,α)是δ-Hom-Jordan李色代數(shù), (V,ρA,δ)為T-模, 若線性映射ω: ?2→V滿足

    ω(x,y)=-δε(x,y)ω(y,x),

    則稱ω: ?2→V為2-上圈.

    定理1設(shè)(L,[·,·]L,δ,α)是δ-Hom-Jordan李色代數(shù),ω:L×L→L*是偶的雙線性映射, 假設(shè)存在余伴隨表示.對于階化向量空間L⊕L*, 定義運算和線性映射如下:

    [x+f,y+g]L⊕L*=[x,y]L+ω(x,y)+δπ(x)g-ε(x,y)π(y)f,

    (6)

    α′(x+f)=α(x)+f°α.

    (7)

    證明: 任取x+f,y+g,z+h∈L⊕L*, 注意到

    于是

    ε(x,z)[α′(x+f),[y+g,z+h]L⊕L*]L⊕L*+c.p.(x+f,y+g,z+h)=0,

    當(dāng)且僅當(dāng)

    顯然L*是(L⊕L*,[·,·]α′,δ,α′) 的交換Hom-理想,L與(L⊕L*)/L*同構(gòu).下面考慮在L⊕L*上的階化對稱雙線性型qL, 這里x+f,y+g∈L⊕L*,

    qL(x+f,y+g)=f(y)+ε(x,y)g(x).

    定理2設(shè)L,L*,ω和qL定義如上, 則(L⊕L*,qL,δ,α′)是度量δ-Hom-Jordan李色代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

    ω(x,y)(z)=ε(x,y+z)ω(y,z)(x), ?x,y,z∈L.

    證明: 若x+f與L⊕L*的所有元正交, 則f(y)=0且ε(x,y)g(x)=0, ?y∈L及?g∈L*, 可得x=0,f=0.從而對稱雙線性型qL是非退化的.

    設(shè)x+f,y+g,z+h∈L⊕L*, 則有

    另一方面, 有

    由π與ad的定義, 可驗證

    qL([x+f,y+g]L⊕L*,z+h)=qL(x+f,[y+g,z+h]L⊕L*)

    當(dāng)且僅當(dāng)

    w(x,y)(z)=ε(x,y+z)w(y,z)(x).

    證畢.

    定義9設(shè)L是域F上的δ-Hom-Jordan李色代數(shù).定義一個導(dǎo)出序列為

    (L(n))n≥0:L(0)=L,L(n+1)=[L(n),L(n)];

    一個降中心序列為

    (Ln)n≥0:L0=L,Ln+1=[Ln,L];

    一個升中心序列為

    (Cn(L))n≥0:C0(L)=0,Cn+1(L)=C(Cn(L)).

    其中若I是L的子空間, 則定義C(I)={a∈L|[a,L]?I}.

    L稱為可解的和冪零的(長度k)當(dāng)且僅當(dāng)存在(最小)整數(shù)k, 使得L(k)=0,Lk=0.

    定理3若(L,[·,·]L,δ,α)是域F上的δ-Hom-Jordan李色代數(shù), 則下列結(jié)論成立:

    2) 設(shè)0≠L=I⊕J, 其中I和J是(L,[·,·]L,δ,α)的兩個Hom-理想.用I*(或J*)表示L*中在J(或I)上取值為零的線性映射構(gòu)成的階化子空間.顯然,I*(或J*)同構(gòu)于其對偶空間I(或J), 且L*?I*⊕J*.

    由于

    [I*,L]L⊕L*(J)=I*([L,J]L)?I*(J)=0

    [I,L*]L⊕L*(J)=L*([I,J]L)?L*(I∩J)=0,

    則有[I*,L]L⊕L*?I*, [I,L*]L⊕L*?I*.于是

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