基于截尾概率－非概率混合模型的可靠性優(yōu)化算法

周凌，李艷輝

基于截尾概率－非概率混合模型的可靠性優(yōu)化算法

周凌＊，李艷輝

中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長春 130033

針對工程中截尾概率變量與非概率變量同時(shí)存在的情況，給出一種新的截尾概率與非概率混合可靠性模型。在該混合可靠性模型基礎(chǔ)上，按照可靠性指標(biāo)（RIA）法給出雙層嵌套可靠性優(yōu)化模型，并采用改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell優(yōu)化算法在外層搜索設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)值，內(nèi)層采用能保證收斂的改進(jìn)的有限步長迭代法求解混合可靠性指標(biāo)。數(shù)值算例表明，改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell優(yōu)化算法的全局尋優(yōu)性得到顯著提升；改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell優(yōu)化算法與改進(jìn)的有限步長迭代法相結(jié)合求解雙層嵌套混合可靠性優(yōu)化模型的正確性得到驗(yàn)證，且對于非線性程度較高的極限狀態(tài)函數(shù)同樣能夠得到滿足截尾概率與非概率混合可靠性模型指標(biāo)要求的最優(yōu)解，并對工程結(jié)構(gòu)算例具有很好的適應(yīng)性。

截尾概率變量；非概率變量；混合可靠性模型；改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell優(yōu)化算法；改進(jìn)的有限步長迭代法；可靠性優(yōu)化

自然界中不確定信息是廣泛存在的，因而在工程中對關(guān)鍵重要結(jié)構(gòu)只進(jìn)行確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)是不夠的，有必要進(jìn)行可靠性基礎(chǔ)上的優(yōu)化設(shè)計(jì)［1－3］。除了傳統(tǒng)概率可靠性分析及其基礎(chǔ)上的優(yōu)化設(shè)計(jì)，目前越來越多的文獻(xiàn)考慮傳統(tǒng)概率與非概率變量混合存在情況下的結(jié)構(gòu)混合可靠性分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)［4－7］。這是因?yàn)樵诠こ虒?shí)踐中經(jīng)常遇見某些變量的數(shù)據(jù)樣本較少，而其他變量的數(shù)據(jù)樣本充足的情況。對于數(shù)據(jù)樣本充足的變量，能夠得到不確定變量的準(zhǔn)確概率分布，采用傳統(tǒng)概率變量進(jìn)行描述是合適的；對于數(shù)據(jù)樣本較少的不確定變量，準(zhǔn)確的概率分布無法得到，而變量分布的微小誤差會(huì)導(dǎo)致最終可靠性計(jì)算結(jié)果有較大誤差，此時(shí)采用傳統(tǒng)概率變量進(jìn)行描述是不合適的，而其邊界容易獲得，按照Ben－Haim思想采用非概率變量進(jìn)行描述較為合適［8－9］。因而對于概率與非概率混合可靠性及其優(yōu)化的研究已成為一個(gè)熱點(diǎn)研究領(lǐng)域。

Luo等［4］提出一種新的隨機(jī)變量與多維超橢球凸集合非概率變量的混合可靠性模型，并采用高效的迭代算法求解混合可靠性指標(biāo)。Jiang等［10］對隨機(jī)變量與區(qū)間變量同時(shí)存在的結(jié)構(gòu)斷裂問題進(jìn)行了研究，結(jié)構(gòu)斷裂可靠性指標(biāo)區(qū)間由基于響應(yīng)面法的高效迭代算法得到。Qiu和Wang［5］基于概率可靠性模型與區(qū)間數(shù)學(xué)方法，給出了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的概率可靠性指標(biāo)的區(qū)間。Yang等［11］采用 Monte－Carlo法與Kriging模型對概率變量與凸集合變量同時(shí)存在的混合可靠性模型進(jìn)行了求解。Wu等［12］提出采用統(tǒng)一的區(qū)間隨機(jī)抽樣方法求解帶有隨機(jī)與區(qū)間不確定系統(tǒng)參數(shù)的工程結(jié)構(gòu)的斷裂破壞載荷上下界的統(tǒng)計(jì)特性。王軍和邱志平［13］先將功能函數(shù)進(jìn)行非概率可靠性分析，然后將標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間變量空間所有區(qū)域的可靠度進(jìn)行求和計(jì)算，給出一種新的概率－非概率混合可靠性模型。孫文彩等［14］提出根據(jù)區(qū)間變量是否相關(guān)和問題的精度要求，在區(qū)間變量域中按照一定規(guī)則抽取一定量的實(shí)現(xiàn)值，將對應(yīng)的隨機(jī)失效度的平均值作為結(jié)構(gòu)失效度的近似值，從而形成隨機(jī)－區(qū)間混合變量下的結(jié)構(gòu)可靠性分析模型。

Du等［6］給出了混合可靠性模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)與求解算法。程遠(yuǎn)勝等［7］研究了概率和區(qū)間不確定性條件下的結(jié)構(gòu)魯棒設(shè)計(jì)方法。Ge等［15］對帶有隨機(jī)變量與區(qū)間變量的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行了基于混合可靠性模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)?；谖墨I(xiàn)［4］提出的混合可靠性模型，羅陽軍等［16－17］對帶有概率與非概率不確定信息的粘接鋼筋混凝土復(fù)合材料梁、導(dǎo)彈翼面進(jìn)行了混合可靠性基礎(chǔ)上的優(yōu)化設(shè)計(jì)。Xia等［18］采用混合擾動(dòng)隨機(jī)矩法估算目標(biāo)函數(shù)，運(yùn)用混合擾動(dòng)逆映射法求解零件可靠性，這樣將嵌套的隨機(jī)與區(qū)間混合可靠性優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換成單個(gè)循環(huán)求解過程，以此提高計(jì)算效率。

以上文獻(xiàn)給出的混合可靠性模型中隨機(jī)變量的分布區(qū)間是無窮大的，而在工程可靠性應(yīng)用的大多數(shù)情況下，隨機(jī)變量的分布是有界的，因而采用截尾隨機(jī)變量代替隨機(jī)變量更為合適［19］。文中將給出截尾隨機(jī)變量與多維超橢球凸集合非概率變量同時(shí)存在的混合可靠性模型及其基礎(chǔ)上的優(yōu)化算法。首先給出混合可靠性模型指標(biāo)定義與求解步驟；然后基于可靠性指標(biāo)（RIA）法給出混合可靠性基礎(chǔ)上的優(yōu)化模型與求解方法，其中外環(huán)采用改進(jìn)搜索策略的ST－Powell優(yōu)化算法搜索設(shè)計(jì)變量最優(yōu)值，內(nèi)環(huán)采用改進(jìn)的有限步長迭代法求解混合可靠性指標(biāo)，并分別給出了內(nèi)環(huán)改進(jìn)的有限步長迭代法求解混合可靠性指標(biāo)的步驟，以及改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell優(yōu)化算法的計(jì)算步驟；最后，通過算例驗(yàn)證改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell優(yōu)化算法搜索的全局性、改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell優(yōu)化搜索算法與改進(jìn)的有限步長迭代法相結(jié)合搜索混合可靠性基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)變量最優(yōu)值的正確性，以及對非線性程度較高的極限狀態(tài)函數(shù)的混合可靠性基礎(chǔ)上優(yōu)化搜索的適應(yīng)性。

1 混合可靠性模型指標(biāo)定義

在工程實(shí)踐中，同一分析對象中的不確定變量根據(jù)數(shù)據(jù)樣本是否充足而分別采用截尾隨機(jī)變量（代替隨機(jī)變量）與多維超橢球凸集合非概率變量進(jìn)行描述［4，16］，其中區(qū)間變量是多維超橢球凸集合非概率變量的一種特殊形式，因而在對其進(jìn)行可靠性評估時(shí)，會(huì)存在截尾隨機(jī)變量與非概率變量存在于同一個(gè)極限狀態(tài)函數(shù)中的情況。式（1）給出了帶有截尾隨機(jī)變量與多維超橢球凸集合非概率變量的極限狀態(tài)函數(shù)。

式中：珚X為截尾隨機(jī)向量；Y為多維超橢球凸集合向量；珡Xi為第i個(gè)截尾隨機(jī)變量；Yj為第j個(gè)超橢球凸集合向量。

目前對于隨機(jī)變量與非概率變量混合存在的可靠性指標(biāo)的定義都是基于傳統(tǒng)概率可靠性指標(biāo)β的定義發(fā)展而來的，混合可靠性指標(biāo)求解是一雙層優(yōu)化模型，即內(nèi)層在非概率變量約束下搜索極限狀態(tài)函數(shù)的最小值，外層在傳統(tǒng)概率空間迭代求解概率可靠性指標(biāo)β［4，11］。然而當(dāng)前的混合可靠性模型不能適應(yīng)截尾隨機(jī)變量與非概率變量混合存在的情況，因?yàn)闀?huì)存在β取值為無窮大的情況，若采用迭代算法則無法求解。下面以最簡單極限狀態(tài)函數(shù)中只包含強(qiáng)度珚R（截尾隨機(jī)變量）與應(yīng)力S（區(qū)間變量）兩個(gè)不確定變量的情況進(jìn)行說明，如圖1所示。當(dāng)珚R與S不干涉時(shí)，此時(shí)強(qiáng)度區(qū)間距離應(yīng)力區(qū)間的遠(yuǎn)近，不符合Ben－Haim提出的非概率思想［9］。此時(shí)截尾隨機(jī)變量的概率分布信息對最終可靠性度量結(jié)果無影響，可只取其上下界將其當(dāng)作非概率區(qū)間變量，采用非概率可靠性指標(biāo)珔η進(jìn)行度量較為合適。而當(dāng)珚R與S干涉時(shí)，采用珔η指標(biāo)不合適，因?yàn)榻^對安全已經(jīng)不存在，只考慮最可能失效點(diǎn)一點(diǎn)的信息是不夠的，應(yīng)該考慮干涉域的信息，采用傳統(tǒng)概率可靠性指標(biāo)珋β是合適的，應(yīng)當(dāng)充分考慮截尾隨機(jī)變量的概率分布信息。因而需要綜合考慮這兩種情況，即對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)超球空間中，單位超球與極限狀態(tài)曲面干涉與不干涉兩種情況，如圖1所示。

在文獻(xiàn)［20］中，作者針對上述存在的干涉與不干涉兩種情況提出多維超橢球凸集合可靠性綜合指標(biāo)定義，但極限狀態(tài)函數(shù)中只包含多維超橢球凸集合變量，將其擴(kuò)展到截尾隨機(jī)變量與多維超橢球凸集合非概率變量同時(shí)存在的情況，則一種新的混合可靠性指標(biāo)珔κ（珚X，Y）定義為

式中：珔η在非概率可靠性指標(biāo)基礎(chǔ)上發(fā)展而來；珋β由傳統(tǒng)概率可靠性指標(biāo)發(fā)展而來；Φ（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

在文獻(xiàn)［4］提出的混合模型的基礎(chǔ)上，加入截尾隨機(jī)變量的上下界約束，則得到珋β（珚X，Y）的表達(dá)式為

式中：G為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的極限狀態(tài)函數(shù)；u為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間變量；uR與uL為的上下界；Δvj為第j個(gè)標(biāo)準(zhǔn)超球空間向量。sgn （））提取G （0，Δv）取值的正負(fù)號，確定搜索到的概率可靠性指標(biāo)β珋（最短距離）的正負(fù)值。

η珔（X珚，Y）在非概率可靠性指標(biāo)η 的基礎(chǔ)上加入截尾隨機(jī)變量，其表達(dá)式為

式中：Δv′為從截尾隨機(jī)變量珚X轉(zhuǎn)換來的等效標(biāo)準(zhǔn)超球空間向量；m為截尾隨機(jī)變量個(gè)數(shù)；n為超橢球凸集合個(gè)數(shù)；δi為第i個(gè)截尾隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化的等效區(qū)間變量；δj為第j個(gè)超橢球凸集合轉(zhuǎn)化的等效區(qū)間變量。sgn（G（0，0））提取G 0，（）0取值的正負(fù)號，確定搜索到的非概率可靠性指標(biāo)珔η（最短距離）的正負(fù)值。為了提高計(jì)算效率，方便迭代計(jì)算，可將珔η（珚X，Y）這一極?。瓨O大值雙層優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)超球空間中原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面最短距離問題［20］，即

式中：G′為極限狀態(tài)方程約束函數(shù)；C為權(quán)重系數(shù)，其涵義是加快中括號中“非概率可靠性指標(biāo)只可能存在于無窮空間中通過原點(diǎn)與區(qū)間集合頂點(diǎn)的超射線上”這一必要條件迅速收斂于0。

2 混合可靠性指標(biāo)求解步驟

由式（3）與式（5）可以看出，珋β（珚X，Y）與珔η（珚X，Y）均可采用與傳統(tǒng)概率可靠性指標(biāo)求解類似的改進(jìn)的一次二階矩法快速迭代求解，為保證迭代收斂性，采用改進(jìn)的有限步長迭代法進(jìn)行求解［20－21］。改進(jìn)的有限步長迭代法具體求解步驟將不再贅述，只給出混合可靠性指標(biāo)κ珔的求解過程。首先迭代求解η珔，若η珔≥1，則κ珔＝η珔；若η珔＜1，則迭代求解β珋，κ珔＝Φ（β珋）。下面給出η珔與β珋 的求解過程。

2．1 η珚的求解步驟

步驟1 只考慮截尾隨機(jī)變量X珡i的上下界，將其轉(zhuǎn)化為等效區(qū)間變量Y′i∈ ［］。再將Y′轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)超球空間變量Δv′i，即

步驟2 將多維超橢球凸集合向量Yj轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)超球空間向量Δvj，即

式中：Λj為對角矩陣；Pj為正交矩陣；且Wj＝為描述超橢球形狀的已知正定矩陣；αj為確定超橢球大小的已知正實(shí)數(shù)。

步驟3 采用改進(jìn)的有限步長迭代法求解珔η。

2．2 珔β的求解步驟

步驟4 令k＝k＋1，若 Δv（k＋1）－Δv（k）＋u（k＋1）－u（k）＜ε，則迭代循環(huán)終止；否則，返回步驟1。

3 混合可靠性基礎(chǔ)上的優(yōu)化算法

在上述給出的截尾隨機(jī)變量與多維超橢球凸集合非概率變量同時(shí)存在的混合可靠性指標(biāo)珋κ（珚X，Y）基礎(chǔ)上，基于RIA法給出的優(yōu)化模型為［18］

式中：d為設(shè)計(jì)向量；f（d）為目標(biāo)函數(shù)；珔κj為第j個(gè)極限狀態(tài)函數(shù)對應(yīng)的混合可靠性指標(biāo)約束允許值；gj（d，珚X，Y）為第j個(gè)極限狀態(tài)函數(shù)；Rj（d，珚X，Y）為第j個(gè)極限狀態(tài)函數(shù)對應(yīng)的混合可靠性指標(biāo)約束；珔κ［gj（d，珚X，珚Y）］為第j個(gè)極限狀態(tài)函數(shù)計(jì)算得到的混合可靠性指標(biāo)；hi（d）為確定性約束；dL和dU為設(shè)計(jì)變量的上下界；Ng為混合可靠性約束個(gè)數(shù)；Nh為確定性約束個(gè)數(shù)。

為了保證搜索到的最優(yōu)值的全局性與快速性，將具有全局性的混沌優(yōu)化算法與高效的局部優(yōu)化算法Powell算法相結(jié)合，并對組合優(yōu)化算法的搜索策略進(jìn)行改進(jìn)，以達(dá)到既保證全局性又具有搜索速度快的特點(diǎn)。在采用混沌－Powell優(yōu)化算法搜索式（9）的混合可靠性優(yōu)化模型時(shí)，需先用乘子法將約束優(yōu)化轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化模型［22］，即

式中：ψ（d）為無約束優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；r為系數(shù)；λ為乘子，設(shè)計(jì)變量的上下界約束可歸到確定性約束中。乘子迭代公式為

文中采用均勻性較好的Skew－Tent映射式進(jìn)行混沌搜索，其表達(dá)式為［23］

下面給出基于Skew－Tent映射式的改進(jìn)搜索 后 的 混 沌－Powell（ST－Powell）優(yōu) 化 算 法 對式（10）混合可靠性優(yōu)化模型進(jìn)行搜索的步驟。

步驟1 初始化參數(shù)，設(shè)置混沌運(yùn)動(dòng)最大次數(shù)N1，并置k＝k1＝k2＝0。賦n個(gè)微小差異的初值給Skew－Tent映射式（12）中的（不取不動(dòng)點(diǎn)：0．25，0．50，0．75），則可由式（12）得到n個(gè)軌跡不同的混沌變量序列

2）若k≠0，則進(jìn)行以下比較：若ψk＜（k1－1），則ψ1＊（k1）＝ψk，（k1）＝dk，進(jìn)行步驟4；否則，進(jìn)行步驟5。

步驟4 以混沌當(dāng)前迭代步搜索得到的最優(yōu)點(diǎn)d1＊（k1）為初始點(diǎn)進(jìn)行Powell局部快速搜索得到最優(yōu)值ψ2＊（k1）與最優(yōu)點(diǎn)（k1）。

1）若k1＝0，則ψ＊（k2）＝（k1），d＊（k2）＝（k1）。

2）若k1≠0，進(jìn)行以下比較：若（k1）＜ψ＊（k2），則ψ＊（k2）＝（k1），d＊（k2）＝（k1）。

3）置k1＝k1＋1，進(jìn)行步驟5。

步驟5 置k＝k＋1，若k≤N，并由式（12）得到n個(gè)軌跡不同的新的混沌變量tk＋1i，返回步驟2。若k＞N1，則進(jìn)行步驟6。

步驟6 若k2＞0∩ d＊（k2）－d＊（k2－1）＜ε，則ST－Powell算法搜索終止，輸出最優(yōu)值ψ＊（k2）與最優(yōu)點(diǎn)d＊（k2）；否則，置k2＝k2＋1，并將當(dāng)前最優(yōu)值所對應(yīng)的混沌變量加微小擾動(dòng)作為下次混沌搜索的初值，即t0i＝t＊i＋δ，返回步驟1。

這里對全局性混沌優(yōu)化算法與局部快速優(yōu)化算法組合后的搜索策略進(jìn)行了改進(jìn)，目前組合算法的搜索策略是先由混沌搜索到一當(dāng)前最優(yōu)解，然后以當(dāng)前最優(yōu)解為初始點(diǎn)進(jìn)行局部快速尋優(yōu)［24］；而改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell組合算法是混沌變量每搜索到一改進(jìn)解（此時(shí)混沌算法并未結(jié)束），即進(jìn)行一次Powell算法局部搜索，相當(dāng)于將Powell算法嵌入到混沌搜索中。下面以圖2說明改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell優(yōu)化算法在全局性搜索上的優(yōu)越性。前一種搜索策略的不足在于混沌搜索由于局部搜索能力較弱得到的當(dāng)前最優(yōu)解很可能不是全局最優(yōu)解，盡管混沌的遍歷性保證混沌軌道點(diǎn)能到達(dá)過全局最優(yōu)解附近（圖2中E點(diǎn)和F點(diǎn)），但由于沒能到達(dá)全局最優(yōu)點(diǎn)（圖2中A點(diǎn)），而最優(yōu)解附近的函數(shù)值（圖2中E點(diǎn)和F點(diǎn)）比局部最優(yōu)值（圖2中B點(diǎn)、C點(diǎn)和D點(diǎn)）小，則全局最優(yōu)解附近點(diǎn)被局部最優(yōu)點(diǎn)取代的可能性非常大，因而混沌搜索得到的最優(yōu)解往往不是全局最優(yōu)而是局部最優(yōu)，以局部最優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行局部快速優(yōu)化算法搜索得到的也是局部最優(yōu)點(diǎn)。這將大大降低組合優(yōu)化算法全局性的搜索能力，若需要得到較好的全局尋優(yōu)率，則需要大幅提升混沌運(yùn)動(dòng)次數(shù)，降低搜索效率。而改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell優(yōu)化算法則很好解決了這個(gè)不足，每找到一混沌改進(jìn)解就進(jìn)行Powell算法局部搜索，加強(qiáng)了混沌搜索每一步的局部尋優(yōu)能力，從而當(dāng)混沌搜索到達(dá)全局最優(yōu)附近時(shí)（圖2中E點(diǎn)和F點(diǎn)），能通過Powell算法局部搜索到達(dá)全局最優(yōu)（圖2中A點(diǎn)），不會(huì)被局部最優(yōu)（圖2中B點(diǎn)、C點(diǎn)和D點(diǎn)）所取代，增大全局尋優(yōu)率，提高了搜索效率。

改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell優(yōu)化算法的全局搜索效果將在數(shù)值算例1中進(jìn)行驗(yàn)證。另外在求解式（10）中目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值時(shí)將會(huì)用到第2節(jié)中介紹的混合可靠性指標(biāo)求解步驟。由于在求解式（10）時(shí)是由乘子法將約束優(yōu)化轉(zhuǎn)為無約束優(yōu)化模型，因而改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell優(yōu)化算法與改進(jìn)的有限步長迭代算法搜索混合可靠性基礎(chǔ)上的最優(yōu)值的流程如圖3所示，其中Kcz為乘子法迭代步數(shù)，ζ為r的調(diào)節(jié)系數(shù)［22］。

4 數(shù)值算例

下面給出4個(gè)數(shù)值算例：算例1驗(yàn)證改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell優(yōu)化算法的全局性；算例2驗(yàn)證文中提出的算法搜索混合可靠性基礎(chǔ)上的最優(yōu)值的正確性；算例3給出帶有截尾隨機(jī)變量與非概率變量的高非線性極限狀態(tài)函數(shù)的混合可靠性基礎(chǔ)上的優(yōu)化搜索過程；算例4對飛行器上的執(zhí)行機(jī)構(gòu)電動(dòng)舵機(jī)的關(guān)重件滾珠絲桿尺寸進(jìn)行重量最輕的混合可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)，以顯示文中提出的混合可靠性指標(biāo)及其基礎(chǔ)上的優(yōu)化算法在工程上具有較好的應(yīng)用前景和適用性。

算例1 下面引用文獻(xiàn)［24］的2個(gè)常用的全局性測試函數(shù)，其表達(dá)式為

f1有多個(gè)局部極小值，一個(gè)全局最優(yōu)點(diǎn)（0，0，0），全局最優(yōu)值為0。f2有幾千個(gè)局部極小值，一個(gè)全局最優(yōu)點(diǎn)（0，0，0，0，0），全局最優(yōu)值為0。

表1與表2對比了改進(jìn)搜索策略后的STPowell優(yōu)化算法與文獻(xiàn)［24］中的混沌－BFGS混合法對式（13）和式（14）的搜索結(jié)果。為測試優(yōu)化算法的全局尋優(yōu)率，隨機(jī)給出100個(gè)混沌變量的初值，進(jìn)行100次算法搜索，記錄搜索到的全局最優(yōu)值（i＝1，2）與最優(yōu)點(diǎn)x＊、搜索時(shí)間Time及全局尋優(yōu)率P（%），其中、x＊和Time為100次搜索中搜到的所有全局最優(yōu)解的相應(yīng)項(xiàng)相加取均值。

表1 f1函數(shù)的全局尋優(yōu)結(jié)果Table 1 Global optimization results of function f1

表2 f2函數(shù)的全局尋優(yōu)結(jié)果Table 2 Global optimization results of function f2

從尋優(yōu)結(jié)果可以看出，改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell優(yōu)化算法在較少混沌運(yùn)動(dòng)次數(shù)N1的情況下，全局尋優(yōu)率卻得到較大提升，表明改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell優(yōu)化算法全局尋優(yōu)性好、尋優(yōu)速度快。

算例2 為驗(yàn)證改進(jìn)搜索策略后的STPowell優(yōu)化算法與改進(jìn)的有限步長迭代法搜索混合可靠性基礎(chǔ)上的最優(yōu)值的正確性，采用文獻(xiàn)［17］的算例進(jìn)行驗(yàn)證，注意此時(shí)求解的混合可靠性指標(biāo)是β（X，Y），X為無截尾區(qū)間的普通隨機(jī)向量，不是文中提出的κ珔（X珚，Y）。算例的優(yōu)化模型為

式中：

設(shè)計(jì)變量μ1和μ2分別為隨機(jī)變量X1和X2的均值，X1和X2的標(biāo)準(zhǔn)差σ1＝σ2＝0．3。Y1與Y2采用凸集合描述為Y∈｛Y｜（Y－Y ）TWy·（Y－Y）≤1｝，其 名 義 值Y＝ ［Y珚1Y珚2］T＝標(biāo)目標(biāo)值βm，j＝3．0（j＝1，2，3）。

采用改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell優(yōu)化算法與改進(jìn)的有限步長迭代法相結(jié)合的搜索過程如表3所示，可以看出文中提出的算法與文獻(xiàn)［17］的計(jì)算結(jié)果一致，說明了本文算法搜索混合可靠性基礎(chǔ)上的最優(yōu)值的正確性。同時(shí)本算法是由全局性與局部快速相結(jié)合的組合優(yōu)化算法，并采用改進(jìn)的有限步長迭代法（快速算法）求解混合可靠性指標(biāo)，乘子法只進(jìn)行3步即得到最優(yōu)值，計(jì)算較快、耗時(shí)較少。

表3 算例2的最優(yōu)值搜索過程Table 3 Search process of optimal value of Example 2

算例3 本算例的極限狀態(tài)函數(shù)的非線性程度較高［19］，且極限狀態(tài)函數(shù)中包含截尾隨機(jī)變量與非概率變量，可靠性指標(biāo)采用文中提出的混合可靠性指標(biāo)珔κ，算例優(yōu)化模型為

其中：μ1和μ2分別為截尾標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量X1與X2的均值；X1和X2的標(biāo)準(zhǔn)差σ1＝σ2＝1．0；其 截 尾 區(qū) 間 為 X1∈ ［－0．9，0．9］與X2∈［－2．5，2 ．5］ ；Y1為區(qū)間變量，Y1∈ ［－1，1］。很顯然函數(shù)f的最小值為0。

最優(yōu)值的搜索過程如表4所示，迭代4步即得到最優(yōu)值，表明算法搜索速度較快。表5與表6給出了μ1和μ2取最優(yōu)值時(shí)，改進(jìn)的有限步長迭代法求解η珔（X珚，Y）與β珋（X珚，Y）的迭代過程，可以看出對于高非線性極限狀態(tài)函數(shù)算例，混合可靠性指標(biāo)迭代求解時(shí)算法能得到收斂結(jié)果，且搜索速度較快。因?yàn)棣谦叄╔珚，Y）＝0．903 0＜1，所以κ珋（X珚，Y）＝Φ（1 ．251 3）＝0．894 6。從 表6還可以看出，X1在迭代過程中受到截尾區(qū)間的約束。

表4 算例3的最優(yōu)值搜索過程Table 4 Search process of optimal value of Example 3

表5 珔η（珚X，Y）迭代過程列表Table 5 List of iterative process of珔η（珚X，Y）

表6 珔β（珚X，Y）迭代過程列表Table 6 List of iterative process珔β（珚X，Y）

算例4 某型飛行器上電動(dòng)舵機(jī)及其滾珠絲桿如圖4所示。滾珠絲桿作為電動(dòng)舵機(jī)重要的傳動(dòng)件，其主要有屈曲、轉(zhuǎn)速過大和拉伸破壞3種失效模式。

下面給出以滾珠絲桿尺寸為設(shè)計(jì)變量，重量最輕為目標(biāo)函數(shù)，3種失效模式對應(yīng)的混合可靠度及設(shè)計(jì)變量范圍作為約束函數(shù)的可靠性優(yōu)化模型為

式中：d0為滾珠絲桿的公稱直徑；L為滾珠絲桿的長度；ρ＝7 800kg／m3為滾珠絲桿材料密度；W為滾珠絲桿的質(zhì)量；珔κj為第j個(gè)極限狀態(tài)函數(shù)對應(yīng)的允許混合可靠度；gj為第j個(gè)極限狀態(tài)函數(shù)。3個(gè)極限狀態(tài)函數(shù)對應(yīng)3種失效模式，其表達(dá)式為

式中：c為與絲杠支承方式有關(guān)的臨界載荷系數(shù)；Mh為鉸鏈力矩；Mj為慣性力矩；i2＝0．02為曲柄滑塊機(jī)構(gòu)減速比；f為與絲杠支承方式有關(guān)的臨界轉(zhuǎn)速系數(shù)；nmax為絲杠的最大轉(zhuǎn)速；［］σ為絲杠的許用拉伸應(yīng)力；d1＝d0－0．8為絲杠的內(nèi)徑，滾珠直徑為0．8mm。從設(shè)計(jì)師處得知，式（20）中的系數(shù)、材料許用拉伸應(yīng)力數(shù)據(jù)樣本缺乏，不能得到它們的準(zhǔn)確概率分布，但它們的范圍能夠得到，因而將系數(shù)c、f與［］σ處理為區(qū)間變量；所受力矩、最大轉(zhuǎn)速可以通過充足的試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到其準(zhǔn)確的概率分布，且是有上下界的，即處理為截尾隨機(jī)變量。從設(shè)計(jì)師處得到的工程數(shù)據(jù)確定式（20）中的不確定變量類型與取值如表7所示。

表8給出了滾珠絲桿尺寸的最優(yōu)值搜索過程，圖5給出了在尺寸取最優(yōu)值情況下，屈曲、轉(zhuǎn)速過大、拉伸破壞3種失效模式對應(yīng)的混合可靠度計(jì)算迭代過程。從表8與圖5可以看出，文中提出的算法很快就搜索到最優(yōu)值，并且在迭代計(jì)算混合可靠度時(shí)，雖然前段出現(xiàn)振蕩，但最終都能收斂。該算例的最優(yōu)尺寸在尺寸區(qū)間的下限處獲得。

算例5 結(jié)合工程設(shè)計(jì)需要與設(shè)計(jì)師要求，更改滾珠絲桿尺寸搜索范圍并降低混合可靠度允許值，得到如式（21）所示的可靠性優(yōu)化搜索模型。

表9給出了滾珠絲桿尺寸的最優(yōu)值搜索過程，圖6給出了在尺寸取最優(yōu)值情況下，3種失效模式對應(yīng)的混合可靠度計(jì)算迭代過程。此時(shí)d0在優(yōu)化搜索區(qū)間內(nèi)獲得，L仍取下限值。

表7 電動(dòng)舵機(jī)參數(shù)的不確定變量列表Table 7 List of uncertainty variables of electro－mechanical actuator parameters

表8 算例4的最優(yōu)值搜索過程Table 8 Search process of optimal value of Example 4

表9 算例5的最優(yōu)值搜索過程Table 9 Search process of optimal value of Example 5

5 結(jié) 論

1）文中提出的截尾隨機(jī)－非概率變量混合可靠性模型能夠適應(yīng)在標(biāo)準(zhǔn)超球空間中極限狀態(tài)曲面與單位超球干涉與不干涉兩種情況。

2）改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell優(yōu)化算法的全局尋優(yōu)率得到較大提升，相應(yīng)最大混沌運(yùn)動(dòng)次數(shù)卻大幅下降，表明搜索速度也得到大幅提升。

3）改進(jìn)搜索策略后的ST－Powell優(yōu)化算法與改進(jìn)的有限步長迭代法相結(jié)合能夠正確搜索到混合可靠性基礎(chǔ)上的最優(yōu)值，且對于非線性程度較高的極限狀態(tài)函數(shù)、工程結(jié)構(gòu)算例同樣適用。參 考 文 獻(xiàn)

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Reliability－based optimization algorithm using hybrid model with truncated probability and non－probability

ZHOU Ling＊，LI Yanhui
Changchun Institute of Optics，F(xiàn)ine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033，China

A new hybrid reliability model is presented for the case that truncated probabilistic variables and non－probabilistic variables exist simultaneously in engineering．Based on the new hybrid reliability model and reliability index assessment（RIA）method，a nested loop hybrid reliability－based optimization model is also presented．Modified ST－Powell optimization algorithm with better search strategy is used to search the optimal values of design variables in the out－loop．Modified limit step length iteration algorithm，which can ensure convergence，is used to solve the new hybrid reliability index in the innerloop．Numerical examples show that the global optimization rate of the modified ST－Powell optimization algorithm with better search strategy can be promoted significantly，and the validity of hybrid reliability－based optimization model searched by the algorithm presented in this paper is proved．The algorithm can obtain the optimal values for hybrid reliability－based optimization model with high nonlinear limit state function．The algorithm presented in this paper has a good adaptability to hybrid reliability－based optimization problems of engineering structure．

truncated probabilistic variable；non－probabilistic variable；hybrid reliability model；modified ST－Powell optimization algorithm with better search strategy；modified limit step length iteration algorithm；reliability－based optimization

2016－03－11；Revised：2016－05－15；Accepted：2016－08－12；Published online：2016－08－26 10：05

URL：www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160826．1005．002．html

s：National Natural Science Foundation of China（51305421）；National Defence Technology Basis Research Project of China（JSZL2014130B005）；Young Scholars Fund of Development Project of Science and Technology of Jilin Province（20140520137JH）＊Corresponding author．E－mail：hszl007＠163．com

V215．7；O213．2；TB114．3

A

1000－6893（2017）01－220216－13

http：／hkxb．buaa．edu．cn hkxb＠buaa．edu．cn

10．7527／S1000－6893．2016．0233

2016－03－11；退修日期：2016－05－15；錄用日期：2016－08－12；網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2016－08－26 10：05

www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160826．1005．002．html

國家自然科學(xué)基金 （51305421）；國防技術(shù)基礎(chǔ)科研項(xiàng)目 （JSZL2014130B005）；吉林省科技發(fā)展項(xiàng)目青年基金 （20140520137JH）

＊通訊作者 ．E－mail：hszl007＠163．com

周凌，李艷輝．基于截尾概率－非概率混合模型的可靠性優(yōu)化算法［J］．航空學(xué)報(bào)，2017，38（1）：220216．ZHOU L，LI Y H．Reliability－based optimization algorithm using hybrid model with truncated probability and non－probability［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2017，38（1）：220216．

（責(zé)任編輯：徐曉）