從“算法”走向“意義”

王嬋丹

摘 要：平均數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率版塊的一個(gè)基本概念。學(xué)生能比較容易地掌握平均數(shù)的計(jì)算方法，卻常忽略平均數(shù)的特征及其意義。因此，教學(xué)“平均數(shù)”一課就需立足于學(xué)情調(diào)查分析，汲取教材給予我們的啟示，從“情境創(chuàng)設(shè)追求真實(shí)性與可靠性”“不同維度切入達(dá)成意義建構(gòu)”“習(xí)題多層開發(fā)體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)價(jià)值”三方面，幫助學(xué)生更好地理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，從而形成數(shù)據(jù)分析觀念，感悟其統(tǒng)計(jì)價(jià)值。

關(guān)鍵詞：平均數(shù)；數(shù)據(jù)分析觀念；統(tǒng)計(jì)意義

平均數(shù)作為一個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量，是小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率版塊的一個(gè)基本概念，歷來是課堂研究的重要內(nèi)容。為了解學(xué)生在學(xué)習(xí)本課之前有哪些知識(shí)儲(chǔ)備，認(rèn)知和學(xué)習(xí)能力達(dá)到哪種水平，筆者對(duì)城鄉(xiāng)三、四年級(jí)近200名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)主要存在以下兩個(gè)問題。

[調(diào)查問題1]

你聽說過平均數(shù)嗎？請(qǐng)用自己的語(yǔ)言說說什么是平均數(shù)？

[水平分級(jí)]

如表1，根據(jù)學(xué)生回答確定其對(duì)于“平均數(shù)”概念認(rèn)知能力的水平級(jí)別。

[數(shù)據(jù)呈現(xiàn)]

三、四年級(jí)分別發(fā)放84份、134份問卷，收回有效卷84份、134份，統(tǒng)計(jì)情況如圖1。

歸因分析：知識(shí)負(fù)遷移，導(dǎo)致“平均分”與“平均數(shù)”混淆。

對(duì)于平均數(shù)意義的理解，三、四年級(jí)學(xué)生大多處于0～1級(jí)水平。雖然四年級(jí)學(xué)生總體認(rèn)知水平好于三年級(jí)，但大多是基于“均分”的認(rèn)識(shí)上?？上攵瑢W(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)“平均數(shù)”與“平均分”概念混淆實(shí)屬難免，關(guān)鍵在于課堂中如何幫助學(xué)生理解“每份”能代表一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，實(shí)現(xiàn)從“平均分”上升到對(duì)“平均數(shù)”意義的理解上。

[調(diào)查問題2]

比一比：男生與女生哪隊(duì)踢毽子水平更高？

（1）要比哪隊(duì)踢毽子水平更高，當(dāng)人數(shù)不同時(shí)，你打算比什么？怎樣比？

（2）你可以通過算一算或畫一畫等各種方式，說明這一隊(duì)成績(jī)好的理由。

[水平分級(jí)]

如表2，根據(jù)學(xué)生回答確定其對(duì)于“人數(shù)不同的兩隊(duì)如何比較踢毽水平”的能力水平級(jí)別。

[數(shù)據(jù)呈現(xiàn)]

三、四年級(jí)分別發(fā)放84份、134份問卷，收回有效卷84份、134份，統(tǒng)計(jì)情況如圖2。

歸因分析：經(jīng)驗(yàn)缺乏，從“用總數(shù)”到“用平均數(shù)”出現(xiàn)思維斷層。

從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，處在1級(jí)水平即用“總踢毽個(gè)數(shù)”去比較兩組水平的人占了多數(shù)。訪談處在1級(jí)水平的學(xué)生：“說說你為什么要比總數(shù)？”大多學(xué)生認(rèn)為，把每個(gè)人的踢毽個(gè)數(shù)加起來就能代表整個(gè)隊(duì)的踢毽水平。訪談處在0級(jí)水平的學(xué)生，發(fā)現(xiàn)有一部分真不知道該怎么比，還有一小部分學(xué)生認(rèn)為，人數(shù)不同，比總數(shù)不公平，但想不到該用什么數(shù)來代表每個(gè)隊(duì)的踢毽水平。由此可見，絕大部分學(xué)生對(duì)于平均數(shù)的意義及其統(tǒng)計(jì)價(jià)值是陌生的。

那么，教材能給予我們哪些啟示呢？通過教材之間的橫向與縱向?qū)Ρ?，尋找在編排上的共性與區(qū)別，以求了解編排中的變化，尋求到問題解決的方法。

對(duì)比1：選取人教版例1（圖3）與北師大版（圖4）在統(tǒng)計(jì)素材上進(jìn)行橫向比較。

啟發(fā)：基于合適情境的創(chuàng)設(shè)，把握“教”的方向。

從統(tǒng)計(jì)過程看，北師大版較完整地呈現(xiàn)了數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，而人教版僅用圖表呈現(xiàn)了數(shù)據(jù)整理后的結(jié)果?？梢姡行﹥?nèi)容不適合在課堂中經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)過程，又缺失統(tǒng)計(jì)研究的價(jià)值。所以，統(tǒng)計(jì)素材的選擇至關(guān)重要。

對(duì)比2：選取人教版2002年與2016年的教材，對(duì)同類素材不同編排上進(jìn)行對(duì)比（圖5）。選取人教版例2與北師大版，對(duì)意義建構(gòu)不同路徑上進(jìn)行對(duì)比（圖6）。

啟發(fā)：基于有效路徑的選擇，明確“教”的方法。

縱向看，從“相同人數(shù)比較→不同人數(shù)比較”調(diào)整，教材更想凸顯“用平均數(shù)去代表兩組數(shù)據(jù)的總體水平，體現(xiàn)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)作用與價(jià)值”的意圖。橫向看，北師大版呈現(xiàn)同一個(gè)人連續(xù)數(shù)據(jù)的一般水平，人教版呈現(xiàn)一個(gè)小組分散數(shù)據(jù)的整體水平。這些調(diào)整變化以及編排上的不同，都給課堂建構(gòu)“平均數(shù)”意義指明了路徑與方向。

對(duì)比3：選取人教2002年出版的“平均數(shù)”練習(xí)課的最后一題（圖7）與人教2016年出版的“平均數(shù)”練習(xí)課的最后兩題（圖8和圖9），在習(xí)題演變上進(jìn)行對(duì)比。

啟發(fā)：基于習(xí)題演變的分析，核實(shí)“教”的目標(biāo)。

過去的習(xí)題更側(cè)重于“算法”的鞏固，雖然在形式上出現(xiàn)圖文結(jié)合，有時(shí)會(huì)涉及加權(quán)平均數(shù)的深化，但落腳點(diǎn)還是在于“算法”的理解?，F(xiàn)在習(xí)題的考查點(diǎn)發(fā)生了本質(zhì)變化，更關(guān)注學(xué)生對(duì)“平均數(shù)”意義的理解，更關(guān)注數(shù)據(jù)分析觀念的建立，更關(guān)注對(duì)用統(tǒng)計(jì)結(jié)果做出合理推斷與預(yù)測(cè)的能力的考查。因此，習(xí)題的改編與設(shè)計(jì)應(yīng)傾向于這方面思考。

綜上所述，無論是縱向的教材調(diào)整，還是橫向的版本對(duì)比，都能發(fā)現(xiàn)教材對(duì)“平均數(shù)”這個(gè)統(tǒng)計(jì)量在素材的選擇、算法的探究、意義的理解、習(xí)題的設(shè)計(jì)等方面做出了調(diào)整。其目的是想實(shí)現(xiàn)從“算法意義上的平均數(shù)”走向“統(tǒng)計(jì)意義上的平均數(shù)”。

那么，在教學(xué)“平均數(shù)”時(shí)，就必須順應(yīng)教材帶給我們的調(diào)整與變化的啟示，必須遵循學(xué)生的認(rèn)知和能力水平，讓學(xué)生真正融入統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域，讓數(shù)學(xué)課堂真正富有統(tǒng)計(jì)味道。

一、真實(shí)情境創(chuàng)設(shè)，體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)價(jià)值

增強(qiáng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的真實(shí)性和可靠性，就必須堅(jiān)持實(shí)事求是的原則，因?yàn)檎鎸?shí)性是可靠性的基礎(chǔ)，可靠性是真實(shí)性的外在表現(xiàn)，兩者和諧統(tǒng)一，這也是教學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域內(nèi)容時(shí)必須遵循的原則。那么如何解決時(shí)間上的矛盾呢？

1. “延伸”課堂，克服時(shí)間不足的矛盾

實(shí)現(xiàn)與其他課程整合是延伸課堂時(shí)間、拓寬課堂空間的比較有效的途徑。如：套圈個(gè)數(shù)的數(shù)據(jù)收集可以通過與活動(dòng)課相結(jié)合；記數(shù)字情況統(tǒng)計(jì)可以創(chuàng)設(shè)一個(gè)課前的游戲環(huán)節(jié)；生日月份的統(tǒng)計(jì)可以與綜合實(shí)踐課相結(jié)合等。

[片段描述]

（1）課前五分鐘：如圖10，這是一個(gè)記數(shù)字游戲，考驗(yàn)同學(xué)們的記憶力，請(qǐng)大家把你看到的數(shù)字按順序記在紙上，看看在3秒時(shí)間內(nèi)你能記住幾個(gè)？

（2）在這一輪游戲中，我們班最多記住了（ ）個(gè)，這是我們班的最高水平。還想再玩嗎？

這一環(huán)節(jié)的設(shè)置，不僅創(chuàng)設(shè)了和諧輕松的學(xué)習(xí)氛圍，而且還能讓學(xué)生比較科學(xué)與真實(shí)地了解自己和同伴三秒鐘記數(shù)字的水平，讓統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)具有真實(shí)可靠性。更重要的是向?qū)W生傳遞了統(tǒng)計(jì)所做的研究是有現(xiàn)實(shí)背景和意義的，那么我們基于數(shù)據(jù)分析所做的推斷是合理有價(jià)值的。只有這樣，才能幫助學(xué)生建立科學(xué)的研究觀，才能發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念，感悟統(tǒng)計(jì)的價(jià)值。

2. 重置問題，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)更趨合理化

教學(xué)平均數(shù)時(shí)往往會(huì)創(chuàng)設(shè)“再增加一個(gè)數(shù)據(jù)，看看平均數(shù)會(huì)發(fā)生怎樣的變化”這一問題情境。但往往后續(xù)增加的這個(gè)數(shù)據(jù)，執(zhí)教者可能因?yàn)橐_(dá)成某個(gè)教學(xué)目標(biāo)，會(huì)虛擬這個(gè)數(shù)據(jù)。

[片段描述1]感受極端數(shù)據(jù)

師：同學(xué)們，乙隊(duì)的整體水平低了些，她們想再增加一名隊(duì)員，你們覺得他們隊(duì)有沒有反敗為勝的可能？（ppt展示如圖11，感悟平均數(shù)被大大拉高的現(xiàn)象）

一生在座位上竊竊私語(yǔ)：王強(qiáng)能套這么多嗎？

當(dāng)提供一個(gè)極大數(shù)據(jù)時(shí)，學(xué)生對(duì)于“平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響”感受比較深刻。但這個(gè)違背事實(shí)依據(jù)的數(shù)據(jù)，個(gè)別學(xué)生就質(zhì)疑“這位高手怎么比另外三個(gè)人的總和還要多呢”。顯而易見，這樣的情景創(chuàng)設(shè)違背了科學(xué)性，統(tǒng)計(jì)結(jié)果就失去了其價(jià)值。現(xiàn)調(diào)整如下：

[片段描述2]

師：老師也加入了這場(chǎng)套圈比賽，你們覺得平均水平會(huì)有怎樣的變化？

生1：我認(rèn)為平均水平會(huì)高一些，因?yàn)槔蠋煹乃綍?huì)比我們好一點(diǎn)，如果您套了15個(gè)，乙隊(duì)的水平就能提高。

生2：可能還是7個(gè)，如果老師套了7個(gè)，那么平均數(shù)就不會(huì)發(fā)生變化。

生3：那也有可能會(huì)比原來的平均數(shù)要低，萬一老師不擅長(zhǎng)套圈呢。

可見，問題情境的調(diào)整不僅開放了學(xué)生的思維，更重要的是能引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)做出一個(gè)合理的分析，這樣更有利于數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)。

二、不同維度切入，達(dá)成意義建構(gòu)

基于學(xué)情調(diào)查與教材分析，一般會(huì)采取以下素材和路徑來推進(jìn)“平均數(shù)”意義的建構(gòu)。

1. 立足“均分”經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)意義架構(gòu)

基于學(xué)生有“均分”的經(jīng)驗(yàn)，教師從“平均每份是多少”切入意義教學(xué)是比較順暢的。但這層認(rèn)知僅停留在把一個(gè)數(shù)均分后的結(jié)果上，學(xué)生很難把這些離散的點(diǎn)，當(dāng)作一個(gè)整體看待。那么怎樣實(shí)現(xiàn)“這一份的數(shù)字能代表這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)或整體水平”呢，筆者認(rèn)為可以增加“對(duì)比思辨”的環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)“統(tǒng)計(jì)意義”上的建構(gòu)。

[片段描述]

想一想，我能說理。

師：通過剛才的研究，我們知道了平均數(shù)能代表一組數(shù)據(jù)的平均水平?，F(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們想想圖12中哪個(gè)問題能用“平均數(shù)”去解釋？為什么？

生1：我認(rèn)為第二個(gè)問題能用平均數(shù)解釋。因?yàn)橹灰谌齻€(gè)花瓶給第二個(gè)花瓶一朵花，就能讓三個(gè)花瓶的花同樣多。

生2：我也認(rèn)為第二個(gè)問題可以用平均數(shù)解釋。因?yàn)橥ㄟ^“18÷3=6”就能求出每個(gè)花瓶可以插6朵花，這個(gè)6就是“6、5、7”這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)。

老師見同學(xué)們認(rèn)知基本達(dá)成一致，追問：那第一個(gè)問題呢？

生3：我覺得第一個(gè)問題雖然也是通過“18÷3=6”來計(jì)算的，但其實(shí)這道題是把18花朵平均分成三份，求每份是多少？

生4：我和生3的想法相同，這是二年級(jí)學(xué)過的平均分。

師歸納：同學(xué)們說得很有道理。其實(shí)“平均分”和“平均數(shù)”都可以通過“總數(shù)÷份數(shù)=每份的數(shù)”得到。但平均數(shù)的特點(diǎn)就是還能用這個(gè)每份相同的數(shù)，去描述一組數(shù)據(jù)的平均水平，就像生2說的那樣，6是“6、5、7”這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

此題是人教版例2中的做一做，當(dāng)認(rèn)識(shí)完“平均數(shù)”意義后，會(huì)有一部分學(xué)生仍存在混淆。此時(shí)，教師要直視這一現(xiàn)象，通過“題組式”對(duì)比，讓學(xué)生用“平均數(shù)”的知識(shí)解釋問題，再經(jīng)歷對(duì)比、討論、思辨，漸漸明晰“平均數(shù)”的意義。

2. 站在“統(tǒng)計(jì)”高度，實(shí)現(xiàn)意義架構(gòu)

如果課堂一開始就定位在“統(tǒng)計(jì)”高度上，即在學(xué)生思維的困惑處展開研究，學(xué)生就會(huì)跳出“平均分”的干擾，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度認(rèn)識(shí)、理解、感悟“平均數(shù)”的意義。但同時(shí)，我們也能預(yù)設(shè)到學(xué)生對(duì)“集中趨勢(shì)”的理解是非常困難的。因此，在仔細(xì)研讀了教材后，教學(xué)時(shí)就可以從“連續(xù)數(shù)據(jù)的一般水平”與“分散數(shù)據(jù)的整體水平”中展開意義探究。

如：北師大版教材采用的素材就是“淘淘一人五次記數(shù)字”的情境，對(duì)于這五個(gè)連續(xù)數(shù)據(jù)的平均水平的描述，教學(xué)中可以舍棄“集中趨勢(shì)”，而采用“一般水平”的描述。

[片段描述]關(guān)注“連續(xù)數(shù)據(jù)的一般水平”

對(duì)比不同水平感悟，平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的一般水平。

師：9可以說是淘淘5次記數(shù)字的最高水平，那4個(gè)呢（生說：最低水平）。那能用哪個(gè)數(shù)字來代表淘淘5次記數(shù)字的一般水平呢？

生1：我覺得是5，因?yàn)?不會(huì)太多也不會(huì)太少，在中間。

生2：我認(rèn)為是6，因?yàn)閯偛盼覀冇靡贫嘌a(bǔ)少法，得到了淘淘每次都能記6個(gè)（圖14）。

生1：但6這個(gè)數(shù)字，一次也沒有出現(xiàn)呀。（頓時(shí)教室里沒有聲音）

生3：如果每次都記5個(gè)的話，還可以讓每一次再分1個(gè)（圖15）。

老師引導(dǎo)學(xué)生感悟?qū)嶋H數(shù)據(jù)與平均數(shù)據(jù)的區(qū)別。

師：現(xiàn)在同學(xué)們想不明白的地方在于選5，還可以再分，選6，沒有被套出來。

看樣子，同學(xué)們已經(jīng)關(guān)注到“平均數(shù)”最核心的部分了。其實(shí)，能代表一組數(shù)據(jù)平均水平的數(shù)，它不一定要真實(shí)存在，不一定真要有一次記住6個(gè)數(shù)字。它可以通過算與移的方法，讓它們變得同樣多?，F(xiàn)在你們說說：可以用哪個(gè)數(shù)字代表淘淘記數(shù)字的一般水平？

生1：我認(rèn)為是6，因?yàn)檫x6的時(shí)候淘淘這五次就同樣多了。