基于車軌耦合的彈性地基梁板模型及算法*

陳龍川 雷曉燕

基于車軌耦合的彈性地基梁板模型及算法*

陳龍川 雷曉燕**

（華東交通大學(xué)鐵路環(huán)境振動與噪聲教育部工程研究中心，330013，南昌//第一作者，碩士研究生）

板式無砟軌道具有變形小、穩(wěn)定性好的優(yōu)點，在我國鐵路客運專線上應(yīng)用廣泛。國內(nèi)外學(xué)者在建立車輛、軌道以及車輛-軌道耦合系統(tǒng)模型及算法方面已做了許多工作。然而，已有的模型與實際情況尚有差異，有待進一步完善。根據(jù)板式無砟軌道的結(jié)構(gòu)特點，采用板單元模擬軌下結(jié)構(gòu)，建立了車輛-板式軌道耦合系統(tǒng)動力分析模型及算法，推導(dǎo)了板式軌道模型單元的剛度、質(zhì)量以及阻尼矩陣；考慮輪軌非線性接觸行為，引入交叉迭代法求解車輛-軌道耦合系統(tǒng)動力學(xué)方程；仿真分析了線路隨機不平順工況下，CRH3型動車通過CRTSⅡ型板式無砟軌道時，車輛和軌道結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。該模型與算法比已有模型更接近實際，計算結(jié)果更準(zhǔn)確可靠。

板式軌道；車輛-軌道耦合系統(tǒng)；交叉迭代法；動力響應(yīng)

板式無砟軌道具有變形小、穩(wěn)定性好的優(yōu)點，在我國鐵路客運專線上應(yīng)用廣泛。國內(nèi)外眾多學(xué)者通過建立車輛模型、軌道模型和車輛-軌道系統(tǒng)模型［1-2］來分析車輛軌道動力特性。文獻［3］建立了軌道-路基有限元模型，分析了高速列車運行過程中，軌道和路基豎向位移在時間和空間上的分布規(guī)律；文獻［4］采用ABAQUS軟件建立軌道下部結(jié)構(gòu)的有限元模型，分析了在不同運行速度下軌道結(jié)構(gòu)的動力特性；文獻［5］采用3層梁單元模擬軌道，建立了車輛-軌道系統(tǒng)模型，并對軌道過渡段動力特性進行分析；文獻［6］將彈性支承塊式無砟軌道離散為24個自由度的軌段單元，建立了高速列車-軌道耦合模型并進行動力性能分析；文獻［3-4］采用有限元軟件建模，將輪軌相互作用簡化為作用在軌道上的荷載；文獻［5］將軌下軌道板和混凝土底座模擬為梁單元，但該計算模型存在計算效率不高，不能反映車輛軌道相互作用特點的問題。

本文根據(jù)板式無砟軌道的結(jié)構(gòu)特點，采用板單元模擬軌下結(jié)構(gòu)，建立了分析車輛-板式軌道耦合系統(tǒng)的動力分析模型及算法，推導(dǎo)得出板式軌道單元的剛度、質(zhì)量以及阻尼矩陣；考慮了輪軌非線性接觸行為；不同于文獻［6］的Wilson-θ，引入交叉迭代法求解車輛-軌道耦合系統(tǒng)動力學(xué)方程，提高了計算效率；分析了線路隨機不平順工況下，CRH3型動車通過CRTSⅡ型板式無砟軌道時，車輛和軌道結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。該模型與算法更接近實際，計算結(jié)果更準(zhǔn)確、可靠。

1 模型理論

1.1 基本假設(shè)

本模型作了以下基本假設(shè)：

（1）考慮車輛和軌道的豎向動力作用；

（2）上部車輛單元與下部軌道單元沿軌道方向?qū)ΨQ，結(jié)構(gòu)模型可取半計算；

（3）采用附有二系懸掛體系的多剛體系統(tǒng)模擬車輛單元，車體與轉(zhuǎn)向架具有豎向與點頭振動；

（4）考慮輪軌之間的非線性接觸耦合行為；

（5）采用離散、彈性支承的二維梁單元模擬鋼軌，軌下墊板與扣件系統(tǒng)的支承彈性系數(shù)及阻尼系數(shù)分別用ky1和cy1表示；

（6）采用連續(xù)、彈性支承的三維板單元模擬軌道板，軌道板下CA（水泥瀝青）砂漿層的支承彈性系數(shù)與阻尼系數(shù)分別用ky2和cy2表示；

（7）采用連續(xù)、彈性支承的三維板單元模擬混凝土底座，混凝土底座下路基的支承彈性系數(shù)與阻尼系數(shù)分別用ky3和cy3表示。

1.2 車輛單元

將車輛視為具有二系懸掛彈簧阻尼10個自由度的多剛體結(jié)構(gòu)單元。其中，車體和轉(zhuǎn)向架具有豎向和點頭運動、每個輪對具有豎向運動。車輛單元模型如圖1所示。圖1中：Mc、Jc分別為結(jié)構(gòu)模型取半后的車體質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量；Mt、Jt分別為結(jié)構(gòu)模型取半后的轉(zhuǎn)向架質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量；ks1、ks2分別為車輛一、二系懸掛剛度；cs1、cs2分別為車輛一、二系懸掛阻尼；Mwi（i=1、2、3、4）為第i個車輪的質(zhì)量；Vc、φc分別為車體豎向運動的豎向位移、點頭運動的角位移；Vti、φti（i=1、2）分別為第i個轉(zhuǎn)向架豎向運動的豎向位移、點頭運動的角位移；vwi（i=1、2、3、4）為第i個車輪的豎向位移；Fuli（i=1、2、3、4）為第i個車輪的輪軌接觸力；Rw為輪軌接觸系數(shù)。考慮軌道的隨機不平順，η1、η2、η3、η4分別表示軌道與 4 個車輪接觸處的不平順幅值。

定義車輛單元的位移為：

車輛單元模型的剛度、質(zhì)量以及阻尼矩陣的推導(dǎo)和動力解析方程的建立見文獻［7-8］。

圖1 車輛單元模型

1.3 軌道單元

板式無砟軌道的主要結(jié)構(gòu)為鋼軌、墊板扣件系統(tǒng)、軌道板、CA砂漿層以及混凝土底座。文獻［5］采用梁單元模擬軌道板和底座，但其與實際結(jié)構(gòu)特性和受力性狀不符。本文建立模型時，考慮軌道板與底座的橫向轉(zhuǎn)角，采用板單元模擬軌道板和底座，彈簧阻尼模擬扣件、CA砂漿和路基。每1個軌道單元由1個梁單元和4塊板單元組裝而成，將軌道離散成40個自由度的軌道單元。軌道單元模型如圖2所示。圖2 中：w1、w8分別表示鋼軌的豎向位移；θ1y、θ8y分別表示縱向鋼軌的轉(zhuǎn)角；wi（i=2、3、4、9、10、11）表示軌道板的豎向位移；θix、θiy（i=2、3、4、9、10、11）分別表示軌道板橫向、縱向轉(zhuǎn)角；wi（i=5、6、7、12、13、14）表示混凝土底座的豎向位移；θix、θiy（i=5、6、7、12、13、14）分別表示混凝土底座橫向、縱向轉(zhuǎn)角。

圖2 軌道單元模型

定義軌道單元的位移為：

根據(jù)拉格朗日方程，建立軌道單元的有限元方程為：

式中：

L——拉格朗日函數(shù)；

T，Πp，R——動能、彈性勢能以及耗散能。

運用有限元方法推導(dǎo)鋼軌、軌道板以及混凝土底座的動能、彎曲勢能以及耗散能，計算鋼軌、軌道板以及混凝土底座的剛度、質(zhì)量和阻尼矩陣。采用對號入座的方法嵌入形成軌道單元的剛度矩陣kl，e、質(zhì)量矩陣 ml，e和阻尼矩陣 cl，e。

式中：

kr，e，ks，e，kf，e——鋼軌、軌道板以及混凝土底座的彎曲勢能產(chǎn)生的單元剛度矩陣；

kic，e——第i層支承的單元剛度矩陣（i=1、2、3）；

mr，e，ms，e，mf，e——鋼軌、軌道板以及混凝土底座的彎曲動能產(chǎn)生的單元質(zhì)量矩陣；

cic，e——第i層支承的單元阻尼矩陣（i=1、2、3）；

cb，e——與單元質(zhì)量矩陣、單元剛度矩陣有關(guān)的單元比例阻尼。

以式（5）～式（7）的各組成項可通過以下式（8）～式（11）進行計算。

式中：

Er，Ir，Ar——鋼軌彈性模量、慣性矩和截面積；

a，b，hs，hf——板單元的長度、寬度，軌道板和混凝土底座的厚度；

ρs，ρr， ρf——鋼軌、 軌道板和混凝土底座的密度；

B——彎曲矩形板單元的應(yīng)變矩陣；

D——彎曲矩形板單元的彈性矩陣；kyi（i=1，2，3）、cyi（i=1，2，3）——第i層支承的剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)；

N1，N2，N3，Nr，Ns，Nf——插值函數(shù)矩陣。

1.4 車輛-軌道耦合

通過組裝軌道單元的剛度矩陣kl，e、質(zhì)量矩陣ml，e、阻尼矩陣 cl，e得到整個軌道的剛度矩陣 Kl、質(zhì)量矩陣Ml以及阻尼矩陣Cl。車輛以及軌道子系統(tǒng)的動力學(xué)方程為：

其中：

式中：

Ku，Mu，Cu——車輛的剛度、質(zhì)量以及阻尼矩陣；

Qlg，Qug——軌道、車輛系統(tǒng)的重力向量；

Ful——輪軌之間作用力。

兩個子系統(tǒng)通過非線性輪軌力耦合，利用交叉迭代算法進行求解，計算步驟詳見文獻［8］。

2 模型驗證與仿真分析

根據(jù)上述模型和算法，用Matlab編制計算程序，運用所開發(fā)的程序進行算例驗證和仿真分析。

2.1 模型驗證

為驗證本文模型的正確性，與文獻［9］中的模型算例進行對比。本文選用1節(jié)CRH2型動車，車速為300 km/h，同時考慮德國低干擾不平順譜來建立模型。且將本文模型的計算結(jié)果與文獻［9］模型計算結(jié)果和實測結(jié)果進行對比，如表1所示。圖3為本文模型與文獻［9］的鋼軌撓度曲線對比圖。由圖3可知，兩者峰值接近、波形吻合，證明了本文模型的正確性。

表1 模型計算結(jié)果與文獻［9］計算結(jié)果、實測結(jié)果對比

2.2 仿真分析

利用所建立的車輛-軌道耦合系統(tǒng)動力分析模型，進行線路不平順工況下車輛和軌道豎向動力響應(yīng)分析。軌道參考CRTSⅡ型板式無砟軌道，車輛參考CRH3型動車，計算參數(shù)見文獻［5］。線路總計算長度為300 m，共劃分為462個軌道單元，3 234個節(jié)點，9 240個自由度，時間步長取0.001 s。車速200 km/h，線路不平順采用美國6級譜。整車高速通過210 m位置時，部分具有代表性的軌道、車輛振動響應(yīng)時程曲線如圖4～11所示。

圖3 鋼軌撓度曲線對比圖

圖4 鋼軌豎向位移

圖5 鋼軌豎向加速度

圖6 軌道板豎向位移

圖7 軌道板豎向加速度

圖8 車體豎向加速度

圖9 轉(zhuǎn)向架豎向加速度

圖10 車輪豎向加速度

圖11 輪軌作用力

表2與表3分別為在線路平順和不平順工兩種況下，軌道結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)和車輛加速度的幅值。從表2中可見：由線路不平順引起的軌道結(jié)構(gòu)豎向位移增幅為鋼軌在 20%左右，軌道板、混凝土底座在 10%左右；由線路不平順引起的軌道結(jié)構(gòu)加速度的增幅為鋼軌、軌道板在 80倍左右，混凝土底座在 40倍左右。由此可見：線路不平順對路基上 CRTSⅡ型板式軌道結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)有顯著影響；同時，由鋼軌傳至軌道板的豎向加速度明顯減小，證明扣件系統(tǒng)對軌道豎向振動具有衰減作用。由圖8～圖10可知，比較轉(zhuǎn)向架、車體和車輪得知，車輪的豎向加速度受線路不平順影響更大。此外，輪軌豎向力波動區(qū)間由67.52～69.77 kN變化為 3.96～114.13 kN，波動明顯。

表2 兩種工況下軌道結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)幅值

表3 兩種工況下車輛加速度幅值 m/s2

3 結(jié)論

（1）考慮車輛與軌道的相互作用，采用更能反映結(jié)構(gòu)特性與受力性狀的板單元模擬軌下結(jié)構(gòu)，建立了分析車輛-板式軌道耦合系統(tǒng)的動力分析模型及算法。該模型與算法考慮了輪軌非線性接觸行為和線路隨機不平順，更接近實際，計算結(jié)果更準(zhǔn)確、可靠。

（2）通過引入交叉迭代法求解車輛-軌道耦合系統(tǒng)動力學(xué)方程，提高了計算效率和精度。

（3）為了驗證本文模型的正確性，計算了高速動車作用下鋼軌豎向撓度曲線與輪軌力，并與文獻［9］模型計算結(jié)果及其實測結(jié)果進行對比，兩者波型吻合良好。

（4）仿真分析了線路平順和不平順工兩種況下，CRH3型動車通過 CRTSⅡ板式無砟軌道時，軌道和車輛結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。計算表明，線路不平順對軌道結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)有較大影響，尤其是對鋼軌的位移和加速度、車輪的加速度以及輪軌作用力有顯著影響。

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Beam-Plate Model and Algorithm Based on the Elastic Foundation of Vehicle and Track Coupling

CHEN Longchuan，LEIXiaoyan

With the advantages of good stability and little deformation，the ballastless slab track is widely used in passenger dedicated lines.A lot of work have been done in the establishment of vehicle，track and vehicle-track coupling system model and algorithm by scholars worldwide，however，the existing model can not fully simulate the actual condition，further improvement is needed.In this paper，the model and algorithm for dynamic analysis of the vehicle and track coupling system is established by adopting the element plate simulating structures under the rail.stiffness according to the characters of ballastless slab track.Then，the mass and damping matrix of two kind element plates are deduced by means of finite element method.In considering the nonlinear wheel-rail contact behavior，cross iteration method is used to solve the vehicle-track coupling system dynamics equation.In random irregular conditions，the dynamic response of vehicle and track is simulated when CRH2 train passes through the CRTS II ballastless slab track.The model is proved closer to the real condition，and the calculation result is more accurate and reliable.

slab track；vehicle-track coupling system；cross iteration method；dynamic response

U213.2+4

10.16037/j.1007-869x.2017.10.004

Author′s address Railway Noise and Vibration Environment Engineering Research Center of the Ministry of Education，East China Jiaotong University，330013，Nanchang，China

*國家自然科學(xué)基金項目（51478184）；江西省優(yōu)秀科技創(chuàng)新團隊計劃項目（20133BCB24007）

**雷曉燕為本文通信作者

2015-12-18）