構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)自由度分析
——拆桿等效法

許允斗， 劉文蘭， 陳亮亮， 姚建濤， 趙永生,*， 朱佳龍

1.燕山大學(xué) 河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室， 秦皇島 066004 2.燕山大學(xué) 先進(jìn)鍛壓成型技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 秦皇島 066004 3.中國(guó)空間技術(shù)研究院 西安分院， 西安 710100

構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)自由度分析
——拆桿等效法

許允斗1,2， 劉文蘭1， 陳亮亮1， 姚建濤1,2， 趙永生1,2,*， 朱佳龍3

1.燕山大學(xué) 河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室， 秦皇島 066004 2.燕山大學(xué) 先進(jìn)鍛壓成型技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 秦皇島 066004 3.中國(guó)空間技術(shù)研究院 西安分院， 西安 710100

針對(duì)四面體構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)的多環(huán)耦合特性，提出了一種空間多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)的自由度分析方法——拆桿等效法。首先拆除四面體基本可展單元機(jī)構(gòu)的耦合約束鏈，將剩余部分視為一個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，然后應(yīng)用螺旋理論分析各輸出節(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)目及性質(zhì)，進(jìn)而構(gòu)造各輸出節(jié)點(diǎn)與定節(jié)點(diǎn)之間的等效串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈，最后復(fù)原拆除的耦合約束鏈得到四面體基本可展單元的等效機(jī)構(gòu)，應(yīng)用修正的G-K公式計(jì)算等效機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目，并基于反螺旋理論分析等效機(jī)構(gòu)的自由度性質(zhì)，從而獲得四面體基本可展單元的運(yùn)動(dòng)特性。根據(jù)四面體基本可展單元的等效機(jī)構(gòu)及其組合方式對(duì)最小組合單元及大尺寸構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了化簡(jiǎn)，并根據(jù)其幾何特征約束方程推導(dǎo)了最小組合單元及大尺寸構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)的自由度。建立了由27個(gè)四面體基本可展單元組成的構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)的仿真模型，對(duì)該機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明提出的拆桿等效法求得的自由度正確，為進(jìn)一步分析此類天線機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)為其他類型的空間多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)的自由度分析提供了一種新的思路。

拆桿等效法； 四面體單元； 可展天線； 自由度； 螺旋理論

空間可展開天線已在衛(wèi)星通信、遙感測(cè)量、空間探測(cè)及軍事偵察等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。目前，可展開天線的種類多種多樣，其中，構(gòu)架式可展天線整個(gè)網(wǎng)面靠桁架支撐，不僅剛度大且易于保證形面精度，其支撐機(jī)構(gòu)由若干個(gè)基本可展單元組成，穩(wěn)定性好、折疊比大，因此，構(gòu)架式可展天線是目前及未來較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)大型可展天線的主要發(fā)展對(duì)象之一。

構(gòu)架式可展天線在國(guó)內(nèi)外已經(jīng)獲得了多次在軌應(yīng)用，例如，在俄羅斯“聯(lián)盟號(hào)”飛船[1]、日本ETS-VIII衛(wèi)星[2]以及中國(guó)的HJ-1-C衛(wèi)星SAR天線[3]上，等等。隨著構(gòu)架式可展天線的多次成功應(yīng)用，此種天線的研究受到了越來越多學(xué)者的關(guān)注。Jin等[4]應(yīng)用多柔體動(dòng)力學(xué)仿真軟件對(duì)一種構(gòu)架式可展天線的展開過程進(jìn)行了分析，關(guān)富玲等[5]提出了一種程序化設(shè)計(jì)四面體構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)的方法，陳務(wù)軍等[6]通過推導(dǎo)兩端帶扭簧的桿件宏單元的縮減線彈性剛度矩陣和一致質(zhì)量矩陣分析了扭簧剛度對(duì)扭簧驅(qū)動(dòng)的構(gòu)架式可展天線結(jié)構(gòu)的影響，文獻(xiàn)[7-8]給出了帶彈簧節(jié)點(diǎn)的構(gòu)架式天線結(jié)構(gòu)詳細(xì)的設(shè)計(jì)方案，Xu和Guan[9]綜合考慮四面體構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)的機(jī)械性能和電氣性能提出了一種結(jié)構(gòu)-電氣綜合設(shè)計(jì)方法，楊玉龍等[10]從工程角度以結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的技術(shù)指標(biāo)和全部構(gòu)件集合為系統(tǒng)要素，基于結(jié)構(gòu)解析模型法設(shè)計(jì)了一個(gè)四面體可展桁架拋物面天線，文獻(xiàn)[11]提出了一種利用伸縮桿驅(qū)動(dòng)的六棱柱展開單元及其構(gòu)成的大型構(gòu)架式切割拋物面天線，黃志榮等[12]基于驅(qū)動(dòng)部件的失效模式開展了面向可靠性的四面體構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)部件的優(yōu)化設(shè)計(jì)，后來其又對(duì)偏饋式四面體構(gòu)架可展天線機(jī)構(gòu)進(jìn)行了系統(tǒng)的構(gòu)型設(shè)計(jì)和展開協(xié)調(diào)性研究[13]，張海波等[14]以弦桿夾角的均勻性和最小均方根誤差為優(yōu)化準(zhǔn)則提出了確定四面體構(gòu)架式可展拋物面天線上弦節(jié)點(diǎn)位置的三種映射方法：平面桁架垂直投影映射、中軸線弧等長(zhǎng)映射和弦長(zhǎng)協(xié)調(diào)變化映射，此外，文獻(xiàn)[15-18]也對(duì)構(gòu)架式可展天線的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、展開穩(wěn)定性等展開了相關(guān)研究。

上述這些文獻(xiàn)都是針對(duì)構(gòu)架式可展天線的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和控制展開的研究，目前鮮有關(guān)于構(gòu)架式可展天線支撐機(jī)構(gòu)(以下簡(jiǎn)稱為構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu))自由度分析的文獻(xiàn)報(bào)道，而機(jī)構(gòu)自由度的分析是對(duì)一個(gè)機(jī)構(gòu)最基本的認(rèn)識(shí)。構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)由多個(gè)基本可展單元通過一定的機(jī)構(gòu)學(xué)原理連接而成，其基本可展單元本身就屬于空間多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)，因此，這類天線機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)比一般的串聯(lián)、并聯(lián)及串并混聯(lián)機(jī)構(gòu)要復(fù)雜得多，傳統(tǒng)的機(jī)構(gòu)自由度分析方法[19-24]和單個(gè)多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)的自由度分析方法[25-27]已不再適用于此類構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)。鑒于上述原因，本文提出一種拆桿等效法分析四面體構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)的自由度。

1 拆桿等效法介紹

鑒于空間多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)可以看做是在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上添加一定數(shù)量的耦合約束鏈構(gòu)成的，本文提出一種拆桿等效法分析此類機(jī)構(gòu)的自由度。該方法的主要思想是先將機(jī)構(gòu)的耦合約束鏈拆除得到基本并聯(lián)機(jī)構(gòu)，然后基于螺旋理論分析基本并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的自由度數(shù)目及性質(zhì)，進(jìn)而構(gòu)建并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)與基座之間的等效串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈，再次復(fù)原拆除的耦合約束鏈得到整個(gè)多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)的等效機(jī)構(gòu)，最后通過分析等效機(jī)構(gòu)的自由度獲知原多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)的自由度。其求解步驟可概括為：① 拆桿，得到基本并聯(lián)機(jī)構(gòu)；② 基于螺旋理論分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度；③ 根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目及性質(zhì)建立等效串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈；④ 復(fù)原拆桿，建立原空間多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)的等效機(jī)構(gòu)，分析等效機(jī)構(gòu)的自由度。

其中，從多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)中合理拆分基本并聯(lián)機(jī)構(gòu)和構(gòu)建整個(gè)機(jī)構(gòu)的等效機(jī)構(gòu)是該方法的關(guān)鍵。需要注意的是：① 為了復(fù)原拆桿后得到構(gòu)型簡(jiǎn)單的等效機(jī)構(gòu)，在選擇基本并聯(lián)機(jī)構(gòu)時(shí)以與耦合約束鏈兩端相連的桿件之一作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)；② 因在原位置復(fù)原拆除的耦合約束鏈，故需分別以與耦合約束鏈兩端連接的桿件為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)分析其自由度并構(gòu)建其與基座之間的等效串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈。

本文以四面體可展天線機(jī)構(gòu)為例應(yīng)用拆桿等效法分析此類空間多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)的自由度。

2 四面體可展天線機(jī)構(gòu)的自由度分析

2.1 基本可展單元的結(jié)構(gòu)及自由度分析

四面體可展天線機(jī)構(gòu)的基本可展單元由4個(gè)節(jié)點(diǎn)、9根連桿和15個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副組成，如圖1所示。為方便分析，記四面體基本可展單元頂端的1個(gè)節(jié)點(diǎn)和底面的3個(gè)節(jié)點(diǎn)分別為H、A、B、C，15個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的中心分別為點(diǎn)R1～R15，連桿R10R11、R12R13、R14R15的軸線延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，四面體底面三角形ABC的外心為點(diǎn)O。連桿R1R2和R2R3等長(zhǎng)，連桿R4R5和R5R6等長(zhǎng)，連桿R7R8和R8R9等長(zhǎng)，連桿R10R11、R12R13、R14R15等長(zhǎng)，15個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的方向矢量S1～S15滿足的幾何關(guān)系為：S1∥S2∥S3⊥平面R1R2R3，S4∥S5∥S6⊥平面R4R5R6，S7∥S8∥S9⊥平面R7R8R9，S10∥S11⊥平面AOP，S12∥S13⊥平面COP，S14∥S15⊥平面BOP，且節(jié)點(diǎn)H上的三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副共面。

該四面體基本可展單元屬于空間多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)，根據(jù)本文提出的拆桿等效法選取節(jié)點(diǎn)B和C之間的R7R8R9運(yùn)動(dòng)鏈為耦合約束鏈，以節(jié)點(diǎn)A為基座，分別以節(jié)點(diǎn)B和C為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)分析其相對(duì)于基座的自由度數(shù)目和性質(zhì)。

首先，拆除節(jié)點(diǎn)B和C之間的R7R8R9耦合約束鏈，將四面體基本可展單元的剩余部分視做以節(jié)點(diǎn)A為基座，節(jié)點(diǎn)B為動(dòng)平臺(tái)，含兩個(gè)支撐分支的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖2所示，其中，一個(gè)分支為R1R2R3串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈，另一個(gè)分支為含閉環(huán)子鏈的(R4R5R6R12R13R11R10)-R15R14運(yùn)動(dòng)鏈。

其次，基于螺旋理論分析圖2所示的基本并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度。在基座A處建立參考坐標(biāo)系A(chǔ)-XYZ，其中X軸沿節(jié)點(diǎn)B、A的連線方向，Y軸位于平面ABC且與節(jié)點(diǎn)B、A的連線垂直，則Z軸恰好與四面體單元底面的法線OP平行，如圖2 所示。四面體可展單元在收攏/展開過程中任意位形下其連桿R1R2和R2R3處于半折疊狀態(tài)(即兩桿不共軸)，連桿R4R5和R5R6、R7R8和R8R9亦然，則在四面體可展單元收攏/展開過程中的任意位形下，圖2所示并聯(lián)機(jī)構(gòu)的分支1的運(yùn)動(dòng)螺旋系在參考坐標(biāo)系A(chǔ)-XYZ下可表示為

圖1 四面體基本可展單元結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖 Fig.1 Schematic diagram of deployable tetrahedralelement

圖2 拆桿后的基本并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Schematic diagram of parallel mechanism with one coupled chain being removed

(1)

式中：[0b1c1]為分支1中轉(zhuǎn)動(dòng)副的方向矢量；[x10 0]、[x2y2z2]、[x30 0]分別為轉(zhuǎn)動(dòng)副中心點(diǎn)R1、R2、R3的坐標(biāo)。

求式(1)所示運(yùn)動(dòng)螺旋系的反螺旋可得分支1提供給動(dòng)平臺(tái)B的約束力螺旋系為

(2)

在分析分支2提供給動(dòng)平臺(tái)B的約束作用之前先分析與分支2的閉環(huán)子鏈等效的廣義運(yùn)動(dòng)副。將閉環(huán)子鏈R10R4R5R6R12R13R11視作以節(jié)點(diǎn)H為動(dòng)平臺(tái)、節(jié)點(diǎn)A為基座，含分支R10R11和分支R4R5R6R12R13的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，則分支R10R11的運(yùn)動(dòng)螺旋系在坐標(biāo)系A(chǔ)-XYZ下可表示為

(3)

式中：[a4b40]為連桿R10R11兩端轉(zhuǎn)動(dòng)副的方向矢量；[x11y11z]為轉(zhuǎn)動(dòng)副中心點(diǎn)R11的坐標(biāo)。

根據(jù)反螺旋理論可得分支R10R11提供給節(jié)點(diǎn)H的約束力螺旋系為

(4)

同理，分支R4R5R6R12R13的運(yùn)動(dòng)螺旋系在坐標(biāo)系A(chǔ)-XYZ下可表示為

(5)

式中：[a2b2c2]和[a5b50]分別為運(yùn)動(dòng)鏈R4R5R6中轉(zhuǎn)動(dòng)副和連桿R12R13兩端轉(zhuǎn)動(dòng)副的方向矢量；[x4y40]、[x5y5z5]、[x6y60]、[x12y120]和[x13y13z]分別為轉(zhuǎn)動(dòng)副中心點(diǎn)R4、R5、R6、R12和R13的坐標(biāo)。

求式(5)所示螺旋系的反螺旋可得分支R4R5R6R12R13提供給節(jié)點(diǎn)H的約束力螺旋為

(6)

式(6)表示與運(yùn)動(dòng)鏈R4R5R6中轉(zhuǎn)動(dòng)副和連桿R12R13兩端轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線均垂直的約束力偶。

則求式(4)和式(6)所示約束力螺旋的并集可得在閉環(huán)子鏈中節(jié)點(diǎn)H受到的約束力螺旋系，從而根據(jù)反螺旋理論可得節(jié)點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)螺旋為

(7)

分支P0R15R14提供給動(dòng)平臺(tái)B的約束力螺旋系在坐標(biāo)系A(chǔ)-XYZ下可表示為

圖3 分支2的等效分支Fig.3 Equivalent mechanism of limb 2

(8)

則式(2)和式(8)所示約束力螺旋系的并集即為動(dòng)平臺(tái)B受到的約束力螺旋系，求該約束力螺旋系的反螺旋可得節(jié)點(diǎn)B相對(duì)于節(jié)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)螺旋為

(9)

式(9)表示沿X軸的移動(dòng)，即在四面體可展單元收攏/展開過程中任意位形下拆除耦合約束鏈R7R8R9得到的并聯(lián)機(jī)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)B相對(duì)于節(jié)點(diǎn)A具有1個(gè)沿A、B連線方向的移動(dòng)自由度。

同理，以節(jié)點(diǎn)C為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)，可得節(jié)點(diǎn)C相對(duì)于節(jié)點(diǎn)A也具有1個(gè)沿A、C連線方向的移動(dòng)自由度。因此，在拆除耦合約束鏈R7R8R9的機(jī)構(gòu)中，節(jié)點(diǎn)B和C與節(jié)點(diǎn)A之間的等效串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈均為1個(gè)移動(dòng)副，記節(jié)點(diǎn)B和C與節(jié)點(diǎn)A通過移動(dòng)副相連的接觸點(diǎn)分別為P1和P2。

最后，在節(jié)點(diǎn)B和C之間復(fù)原拆除的R7R8R9約束鏈，并結(jié)合節(jié)點(diǎn)B(C)與節(jié)點(diǎn)A之間的等效串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈可構(gòu)建圖1所示的處于收攏/展開過程中的四面體基本可展單元的等效機(jī)構(gòu)，如圖4所示。

圖4 四面體基本可展單元的等效機(jī)構(gòu) Fig.4 Equivalent mechanism of deployable tetrahedralelement

顯然，圖4所示的單閉環(huán)機(jī)構(gòu)中，與三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線垂直的2個(gè)約束力偶為該機(jī)構(gòu)的公共約束，該機(jī)構(gòu)中不存在冗余約束和局部自由度，則根據(jù)修正的G-K公式可得圖4所示等效機(jī)構(gòu)的自由度為

4×(5-5-1)+5=1

(10)

式中：M為機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目；d為機(jī)構(gòu)的階數(shù)，且d=6-λ，λ為機(jī)構(gòu)的公共約束數(shù)；n為含機(jī)架的構(gòu)件數(shù)；g為機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)目；v為除公共約束后冗余約束的數(shù)目；ξ為機(jī)構(gòu)中存在的局部自由度數(shù)。

式(10)表明圖4所示的等效機(jī)構(gòu)只有1個(gè)自由度，且在該機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中節(jié)點(diǎn)B和節(jié)點(diǎn)C相對(duì)于節(jié)點(diǎn)A只發(fā)生移動(dòng)運(yùn)動(dòng)。為便于分析節(jié)點(diǎn)B和C向節(jié)點(diǎn)A移動(dòng)的過程中節(jié)點(diǎn)B和C之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，將節(jié)點(diǎn)B視為定節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)C視為動(dòng)節(jié)點(diǎn)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)螺旋和約束力螺旋之間的反螺旋關(guān)系可知P1P2運(yùn)動(dòng)鏈提供給節(jié)點(diǎn)C一個(gè)垂直平面ABC的約束力和空間的三個(gè)約束力偶，R7R8R9運(yùn)動(dòng)鏈提供給節(jié)點(diǎn)C一個(gè)沿該鏈中轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的約束力和兩個(gè)與該鏈中轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線垂直的約束力偶，則節(jié)點(diǎn)C共受到2個(gè)約束力和5個(gè)約束力偶，限制了節(jié)點(diǎn)C的2個(gè)移動(dòng)和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，根據(jù)2個(gè)約束力的方位可知節(jié)點(diǎn)C相對(duì)于節(jié)點(diǎn)B具有1個(gè)沿B、C連線方向的移動(dòng)運(yùn)動(dòng)，因此，節(jié)點(diǎn)B與C之間的R7R8R9運(yùn)動(dòng)鏈與一個(gè)軸線沿B、C連線方向的移動(dòng)副等效，記節(jié)點(diǎn)B和C通過移動(dòng)副相連的接觸點(diǎn)為P3，則圖4所示的等效機(jī)構(gòu)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為圖5所示的機(jī)構(gòu)。

圖5 四面體基本可展單元的最簡(jiǎn)等效機(jī)構(gòu) Fig.5 Simplest equivalent mechanism of deployabletetrahedral element

綜上，圖1所示的四面體基本可展單元在收攏/展開過程中始終具有1個(gè)自由度，任選1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副添加驅(qū)動(dòng)，若頂節(jié)點(diǎn)H固定，則在驅(qū)動(dòng)作用下，節(jié)點(diǎn)A、B、C始終保持各自的姿態(tài)不變分別沿直線AO、BO、CO同步遠(yuǎn)離或靠近點(diǎn)O，即在四面體基本可展單元的收攏/展開過程中，其底面三角形ABC同比例縮小或放大。

(11)

(12)

運(yùn)動(dòng)鏈R4R5R6中間轉(zhuǎn)動(dòng)副運(yùn)動(dòng)螺旋的改變未影響分支2提供給動(dòng)平臺(tái)B的約束力螺旋系，因此，四面體基本可展單元在完全展開狀態(tài)，其動(dòng)平臺(tái)B受到的約束力螺旋系為式(2)、式(8)和式(12)所示約束螺旋的并集，該約束力螺旋系的最大線性無關(guān)數(shù)為6，限制了動(dòng)平臺(tái)B所有的自由度。

因此，四面體基本可展單元機(jī)構(gòu)在完全展開狀態(tài)自由度為零，則由其組成的最小組合單元及大型構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)在完全展開狀態(tài)的自由度也為零。從機(jī)構(gòu)學(xué)角度來說四面體基本可展單元及其組成的大型機(jī)構(gòu)的完全展開狀態(tài)即為其在整個(gè)工作空間內(nèi)的邊界奇異位形，機(jī)構(gòu)處于極限點(diǎn)時(shí)不能再繼續(xù)運(yùn)動(dòng)。故僅分析四面體基本可展單元組成的最小組合單元及大型構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)在收攏/展開過程中任意位形下的自由度。

2.2 最小組合單元的結(jié)構(gòu)及自由度分析

四面體可展天線機(jī)構(gòu)的最小組合單元由3個(gè)基本可展單元共用1個(gè)底面節(jié)點(diǎn)且基本可展單元彼此之間通過三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副構(gòu)成的串聯(lián)約束鏈連接而成，如圖6所示。每條三轉(zhuǎn)動(dòng)副串聯(lián)鏈中的兩根連桿等長(zhǎng)，且在每個(gè)四面體基本可展單元中，底面節(jié)點(diǎn)與頂節(jié)點(diǎn)之間的連桿等長(zhǎng)。

根據(jù)前述四面體基本可展單元在收攏/展開過程中任意位形下的等效機(jī)構(gòu)及基本可展單元間的連接方式易得四面體可展天線機(jī)構(gòu)的最小組合單元的等效機(jī)構(gòu)如圖7所示。

假設(shè)圖7中節(jié)點(diǎn)A為定節(jié)點(diǎn)，且斷開節(jié)點(diǎn)B與G之間的三轉(zhuǎn)動(dòng)副串聯(lián)約束鏈，在四面體基本可展單元H-ABC的節(jié)點(diǎn)B與A之間的移動(dòng)副上添加驅(qū)動(dòng)，則根據(jù)單個(gè)基本可展單元的自由度數(shù)目及性質(zhì)可知在驅(qū)動(dòng)作用下節(jié)點(diǎn)B、C、D、E、F、G會(huì)同步移動(dòng)到B′、C′、D′、E′、F′、G′位置，如圖8所示。

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

(13)

即

圖6 最小組合單元結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.6 Schematic diagram of the minimum composite unit

圖7 最小組合單元的等效機(jī)構(gòu) Fig.7 Equivalent mechanism of the minimum compositeunit

圖8 圖7所示機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)后的位形Fig.8 Configuration of mechanism shown in Fig.7 after movement

(14)

式(14)表明當(dāng)節(jié)點(diǎn)B和G之間無約束鏈時(shí)，在節(jié)點(diǎn)B和A之間移動(dòng)副上添加的驅(qū)動(dòng)作用下，節(jié)點(diǎn)B和G分別沿直線BA和GA同步向節(jié)點(diǎn)A移動(dòng)，而根據(jù)本文2.1節(jié)的分析可知若復(fù)原節(jié)點(diǎn)B和G之間的三轉(zhuǎn)動(dòng)副串聯(lián)約束鏈同樣能保證等式(14)成立，因此，圖7所示的等效機(jī)構(gòu)的自由度為1，即四面體可展天線機(jī)構(gòu)的最小組合單元在收攏/展開過程中具有1個(gè)自由度。

2.3 大型四面體可展天線機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)及自由度分析

大型四面體構(gòu)架式可展天線的支撐機(jī)構(gòu)由多個(gè)四面體基本可展單元彼此之間共用1個(gè)底面節(jié)點(diǎn)組成。鑒于每個(gè)四面體單元的結(jié)構(gòu)均如圖1所示，在下文中只用簡(jiǎn)單的線條表示四面體，不再給出所有轉(zhuǎn)動(dòng)副的簡(jiǎn)圖，圖9所示為由12個(gè)四面體基本可展單元兩兩之間共用1個(gè)底面節(jié)點(diǎn)組成的構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)的俯視圖，其中周邊節(jié)點(diǎn)M1與M2、M2與M3、M5與M6、M6與M7、M9與M10、M10與M11之間仍通過三轉(zhuǎn)動(dòng)副串聯(lián)約束鏈連接。

根據(jù)四面體基本可展單元在收攏/展開過程中任意位形下的等效機(jī)構(gòu)及基本單元間的連接方式可得圖9所示構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)在收攏/展開過程中的等效機(jī)構(gòu)如圖10所示。

假設(shè)圖10所示機(jī)構(gòu)中的12個(gè)四面體單元的運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立，則根據(jù)本文2.1節(jié)對(duì)四面體基本可展單元自由度的分析可知每個(gè)四面體單元在運(yùn)動(dòng)過程中其底面三角形同比例縮小/放大，即存在以下幾何關(guān)系：

圖9 含12個(gè)四面體單元的構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)的俯視圖Fig.9 Top view of deployable truss-antenna mechanism assembled by 12 tetrahedral elements

圖10 圖9所示構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)的等效機(jī)構(gòu)Fig.10 Equivalent mechanism of deployable truss-antenna mechanism shown in Fig.9

(15)

式中：A′B′、A′C′和B′C′分別為四面體單元ABC在獨(dú)立收攏/展開過程中底面節(jié)點(diǎn)A與B、A與C、B與C之間的距離，是隨時(shí)間變化的量；AB、AC、BC分別為四面體單元ABC在初始狀態(tài)下底面節(jié)點(diǎn)A與B、A與C、B與C之間的距離，是常量；λ1為四面體單元ABC在收攏/展開過程中其底面節(jié)點(diǎn)兩兩之間的距離相對(duì)于初始距離的變化系數(shù)，是個(gè)變量；與λ1的定義類似，λ2～λ12分別為其他11個(gè)四面體單元在獨(dú)立收攏/展開過程中底面節(jié)點(diǎn)兩兩之間的距離相對(duì)于相應(yīng)初始距離的變化系數(shù)。

此外，從圖9和圖10可以看到第1～12個(gè)四面體基本可展單元兩兩之間共用1個(gè)節(jié)點(diǎn)組成構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)的過程中自動(dòng)構(gòu)成了閉環(huán)機(jī)構(gòu)BCM12、ACD、EDM4、AEF、ABG及GFM8，假設(shè)這6個(gè)閉環(huán)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)也相互獨(dú)立，則這6個(gè)閉環(huán)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中存在以下幾何關(guān)系：

(16)

式中：λ13～λ18分別為閉環(huán)機(jī)構(gòu)BCM12、ACD、EDM4、AEF、ABG及GFM8在獨(dú)立收攏/展開過程中其節(jié)點(diǎn)兩兩之間的距離相對(duì)于相應(yīng)初始距離的變化系數(shù)，與λ1的定義類似。

當(dāng)上述12個(gè)四面體單元機(jī)構(gòu)和6個(gè)閉環(huán)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)相互制約時(shí)，將式(16)代入式(15)可得

λ1=λ2=…=λ18

(17)

式(17)表明所有四面體單元在運(yùn)動(dòng)過程中底面相鄰兩節(jié)點(diǎn)間距離相對(duì)于其初始距離的變化系數(shù)相等，則僅在單個(gè)驅(qū)動(dòng)作用下圖10所示機(jī)構(gòu)就能實(shí)現(xiàn)整體縮小/放大。因此，圖9所示的由12個(gè)四面體基本可展單元組成的天線機(jī)構(gòu)在收攏/展開過程中具有1個(gè)自由度，若固定底面中心節(jié)點(diǎn)A，則所有四面體同步向節(jié)點(diǎn)A靠攏，且在運(yùn)動(dòng)過程中各節(jié)點(diǎn)姿態(tài)始終保持不變。

同理可得由n(n>12)個(gè)四面體基本可展單元兩兩共用1個(gè)底面節(jié)點(diǎn)組成的大型構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)在收攏/展開過程中具有1個(gè)自由度，在完全展開狀態(tài)(即邊界奇異位形處)機(jī)構(gòu)自由度減少為零。

3 仿真驗(yàn)證

根據(jù)前述分析可知由多個(gè)四面體基本可展單元組成的大型構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)在收攏/展開過程中只具有1個(gè)自由度，即在機(jī)構(gòu)收攏/展開的過程中所有節(jié)點(diǎn)只發(fā)生相對(duì)移動(dòng)，其姿態(tài)始終保持初始位形下的姿態(tài)不變。在這里以圖11所示的由27個(gè)四面體基本可展單元組成的球面構(gòu)架式可展天線的支撐機(jī)構(gòu)為例驗(yàn)證前述自由度分析的正確性。

圖11 含27個(gè)四面體單元的構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)俯視圖Fig.11 Top view of deployable truss-antenna mechanism assembled by 27 tetrahedral elements

圖11所示構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)在完全展開狀態(tài)的三維模型如圖12所示，該位形下27個(gè)四面體單元底面的節(jié)點(diǎn)位于球面上，即底面各節(jié)點(diǎn)姿態(tài)不相同。一般來說機(jī)構(gòu)處于奇異位形時(shí)需靠冗余驅(qū)動(dòng)或附加外力避開該位形后才恢復(fù)原有的自由度，因此，添加多個(gè)驅(qū)動(dòng)使圖12所示可展天線機(jī)構(gòu)避開其邊界奇異位形(即完全展開狀態(tài))后，僅在連接節(jié)點(diǎn)A和B的三轉(zhuǎn)動(dòng)副串聯(lián)約束鏈的中間轉(zhuǎn)動(dòng)副上添加驅(qū)動(dòng)，使該轉(zhuǎn)動(dòng)副每秒轉(zhuǎn)動(dòng)0.5°，則所有四面體單元在該驅(qū)動(dòng)作用下同步向中心節(jié)點(diǎn)A收攏，圖13和圖14分別為該天線機(jī)構(gòu)的半收攏狀態(tài)和收攏末態(tài)。需要說明的是任選該機(jī)構(gòu)的其他轉(zhuǎn)動(dòng)副添加驅(qū)動(dòng)，均能達(dá)到圖14所示的收攏末態(tài)。

在圖11所示機(jī)構(gòu)中選取四面體單元底面三角形M1M2M14，已知在該機(jī)構(gòu)完全展開狀態(tài)節(jié)點(diǎn)M1與M2、M2與M14、M1與M14之間的距離為：M1M2=0.353 m，M2M14=0.395 m，M1M14=0.377 m，測(cè)得在機(jī)構(gòu)收攏過程中節(jié)點(diǎn)M1與M2、

圖12 完全展開狀態(tài)的三維模型Fig.12 3D model of antenna in fully expanded state

圖13 中間狀態(tài)的仿真模型Fig.13 Simulation model of antenna in its middle state

圖14 收攏末態(tài)的仿真模型Fig.14 Simulation model of antenna in its folded state

M2與M14、M1與M14之間的距離變化曲線如圖15 所示。

令

(18)

由圖15和節(jié)點(diǎn)M1與M2、M2與M14、M1與M14之間的初始距離可得

λ1,2=λ2,14=λ1,14=λ0

(19)

圖15 三角形M1M2M14的節(jié)點(diǎn)兩兩之間的距離變化曲線Fig.15 Distance between arbitrary two nodes of triangle M1M2M14

同理，可測(cè)得圖11所示機(jī)構(gòu)在收攏過程中其他四面體單元底面三角形的節(jié)點(diǎn)兩兩之間的距離變化曲線，通過計(jì)算可得其與初始距離之間的比例系數(shù)均為λ0，如圖16所示。

圖16 比例收攏系數(shù)λ0Fig.16 Value of proportional shrinkage factor λ0

從圖12～圖14可以看到圖11所示的含27個(gè)四面體基本可展單元的構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)在避開邊界奇異位形后僅在1個(gè)驅(qū)動(dòng)作用下實(shí)現(xiàn)了收攏運(yùn)動(dòng)，且在初始狀態(tài)位于球面上的所有節(jié)點(diǎn)在收攏末態(tài)位于同比例縮小的球面上，說明各節(jié)點(diǎn)向中心節(jié)點(diǎn)A收攏的過程中僅發(fā)生了移動(dòng)運(yùn)動(dòng)，姿態(tài)未發(fā)生改變，此外，圖16表明在機(jī)構(gòu)收攏過程中所有四面體基本單元同比例收攏，充分驗(yàn)證了本文基于拆桿等效法對(duì)四面體基本可展單元及由其組成的大型構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)的自由度分析的正確性。

4 結(jié) 論

1) 基于螺旋理論提出了一種分析空間多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)自由度的拆桿等效法。將復(fù)雜的多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)拆分為基本并聯(lián)機(jī)構(gòu)和耦合約束鏈，基于螺旋理論分析基本并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)得到等效串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈，結(jié)合耦合約束鏈得到多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)的等效機(jī)構(gòu)，化簡(jiǎn)了耦合機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)，從而通過分析等效機(jī)構(gòu)得到原機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目和性質(zhì)。

2) 應(yīng)用提出的拆桿等效法將空間多環(huán)耦合的四面體單元機(jī)構(gòu)等效為一個(gè)單閉環(huán)機(jī)構(gòu)，并化簡(jiǎn)了由其構(gòu)成的大型構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)，通過分析等效機(jī)構(gòu)得到了四面體基本可展單元及其構(gòu)成的大型構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目及性質(zhì)，為進(jìn)一步分析此類天線機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)奠定了理論基礎(chǔ)。

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(責(zé)任編輯： 李世秋)

*Corresponding author. E-mail: yszhao@ysu.edu.cn

Mobility analysis of a deployable truss-antenna mechanism—Method based on link-demolishing and equivalent idea

XU Yundou1,2, LIU Wenlan1, CHEN Liangliang1, YAO Jiantao1,2, ZHAO Yongsheng1,2,*, ZHU Jialong3

1.ParallelRobotandMechatronicSystemLaboratoryofHebeiProvince,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China2.KeyLaboratoryofAdvancedForging&StampingTechnologyandScienceofMinistryofNationalEducation,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China3.ChinaAcademyofSpaceTechnology(Xi’an),Xi’an710100,China

A method for Degree Of Freedom (DOF) analysis of spatial mechanisms with multiple coupled-loops is proposed based on the link-demolishing and equivalent idea, in view of the multi-loop coupling characteristic of a deployable truss antenna assembled by tetrahedral elements. The coupling constraint chain of the deployable tetrahedral element is removed, and the remainder is regarded as a parallel mechanism. The number and characteristic of the DOF of each output node are then analyzed using the screw theory, and the equivalent serial kinematic chain between the output nodes and the fixed node are then established. The equivalent mechanism of the deployable tetrahedral element is obtained by reconstructing the coupling constrained chain. The number and characteristic of the DOF of the equivalent mechanism are got using the modified G-K formula and the reciprocal screw theory, respectively. As a result, the kinematic characteristics of the tetrahedral element are known. The structure of the minimum composite unit and the large-scale truss deployable antenna are simplified, according to the equivalent mechanism and the combination of the tetrahedral elements. The numbers of the DOF of the minimum composite unit and the large-scale truss deployable antenna are derived on the basis of the geometric constraint equations. The simulation model for a deployable truss antenna assembled by 27 tetrahedral elements is built, and its DOF is verified. The result shows that the DOF of the antenna analyzed by the proposed method is correct. The method lays a foundation for further analysis of the kinematics and dynamics of similar type of antennas, providing a new idea for DOF analysis of other multi-loop coupling mechanisms.

link-demolishing and equivalent method; tetrahedron cell; deployable antennas; mobility; screw theory

2017-02-24； Revised： 2017-03-13； Accepted： 2017-03-21； Published online： 2017-04-19 11:24

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170419.1124.006.html

s： National Natural Science Foundation of China (51675458); Key Project of Natural Science Foundation of Hebei Province (E2017203335); Youth Top Talent Project of Hebei Province Higher Education (BJ2017060)

V243.4; TH112

A

1000-6893(2017)09-421188-12

2017-02-24； 退修日期： 2017-03-13； 錄用日期： 2017-03-21； 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間： 2017-04-19 11:24

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170419.1124.006.html

國(guó)家自然科學(xué)基金(51675458)； 河北省自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(E2017203335)； 河北省高等學(xué)校青年拔尖人才計(jì)劃項(xiàng)目 (BJ2017060)

*通訊作者.E-mail: yszhao@ysu.edu.cn

許允斗， 劉文蘭， 陳亮亮， 等． 構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)自由度分析——拆桿等效法[J]． 航空學(xué)報(bào), 2017, 38(9): 421188. XU Y D, LIU W L, CHEN L L, et al. Mobility analysis of a deployable truss-antenna mechanism—Method based on link-demolishing and equivalent idea[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2017, 38(9): 421188.

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.421188