一種基于多普勒頻率的恒模信號直接定位方法

王鼎， 尹潔昕,*， 吳志東， 劉瑞瑞

1.解放軍信息工程大學(xué) 信息系統(tǒng)工程學(xué)院， 鄭州 450001 2.國家數(shù)字交換系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心， 鄭州 450002

一種基于多普勒頻率的恒模信號直接定位方法

王鼎1,2， 尹潔昕1,2,*， 吳志東1， 劉瑞瑞1

1.解放軍信息工程大學(xué) 信息系統(tǒng)工程學(xué)院， 鄭州 450001 2.國家數(shù)字交換系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心， 鄭州 450002

相比于傳統(tǒng)的差分多普勒(DD)兩步定位方法，以Amar和Weiss提出的基于多普勒頻率的單步直接定位方法在低信噪比和小樣本條件下具有更高的定位精度。在該類新型定位體制的基礎(chǔ)上，提出了一種基于多普勒頻率的恒模信號直接定位方法。首先，依據(jù)最大似然(ML)準(zhǔn)則以及恒模信號的恒包絡(luò)特征，建立相應(yīng)的直接定位優(yōu)化模型。然后，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的代數(shù)特征將全部未知參量分成兩組，并提出一種有效的多參量交替迭代算法，用以獲得該優(yōu)化問題的最優(yōu)數(shù)值解。新算法包含了針對這兩組未知參量的Newton型迭代公式，用以避免網(wǎng)格搜索，并能實(shí)現(xiàn)多維參數(shù)的“解耦合”估計(jì)。最后，推導(dǎo)出針對恒模信號的目標(biāo)位置直接估計(jì)方差的克拉美羅界(CRB)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了新方法的優(yōu)越性。

無源定位； 直接位置確定； 多普勒頻率； 恒模信號； 最大似然估計(jì)； Newton型迭代； 克拉美羅界

眾所周知，無線電信號定位對于無線通信、遙測導(dǎo)航、目標(biāo)檢測、電子對抗等諸多工程物理科學(xué)領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。無線定位的基本過程是從接收信號中提取出與目標(biāo)位置相關(guān)的參數(shù)(也稱定位觀測量)，然后再從這些參數(shù)中獲得關(guān)于目標(biāo)的位置信息。用于目標(biāo)定位的觀測量涉及到空、時(shí)、頻、能量等多域參數(shù)，其中最為典型的觀測量包括：到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival, TDOA)[1]、到達(dá)頻率差(Frequency Difference of Arrival, FDOA)[2]、到達(dá)信號增益比(Gain Ratio of Arrival, GROA)[3]、到達(dá)角度(Angle of Arrival, AOA)[4]、到達(dá)時(shí)間(Time of Arrival, TOA)[5]、到達(dá)頻率(Frequency of Arrival, FOA)[6]、接收信號強(qiáng)度(Received Signal Strength, RSS)[7]等。根據(jù)上述觀測量可以建立關(guān)于目標(biāo)位置參數(shù)的代數(shù)方程，通過優(yōu)化求解該方程即可確定目標(biāo)位置信息。

一般而言，不同的定位觀測量適用于不同的信號類型和定位場景，例如，寬頻帶信號適用于TDOA定位，窄頻帶或者點(diǎn)頻信號適用于AOA、FOA以及FDOA定位。需要指出的是，F(xiàn)OA和FDOA參數(shù)都是由于信號的多普勒效應(yīng)所產(chǎn)生的，其主要應(yīng)用于目標(biāo)和觀測站之間存在徑向速度的場景中。事實(shí)上，基于多普勒頻率的無線定位也是一種十分重要的定位體制，其中最具代表性的方法是差分多普勒(Differential Doppler, DD)定位法[8-9]，該方法利用不同觀測站接收到同一信號時(shí)所產(chǎn)生的多普勒頻差來實(shí)現(xiàn)定位，這種定位方式也稱為兩步定位法。所謂兩步定位是指先從觀測站接收到的信號數(shù)據(jù)中提取定位參數(shù)，然后再基于該參數(shù)確定目標(biāo)的位置信息，這也是目前無線定位系統(tǒng)中采用的主流方法。

盡管兩步定位法廣泛應(yīng)用于各類無線定位系統(tǒng)中，但以Weiss和Amar為代表的一些學(xué)者卻系統(tǒng)總結(jié)了該類定位方法存在的若干不足，比如，估計(jì)方差難以達(dá)到漸近最優(yōu)、多目標(biāo)分辨能力較弱以及存在數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)等問題。與此同時(shí)，以他們?yōu)榇淼闹T多學(xué)者還提出一類新型無線定位體制[10-26]，即目標(biāo)位置直接確定(Direct Position Determination, DPD)或稱直接定位(Direct Localization, DL)技術(shù)。該類定位方法的基本思想是從觀測站接收到的信號數(shù)據(jù)中直接獲得目標(biāo)位置信息，而無需估計(jì)其他中間參量。通過大量實(shí)驗(yàn)可以驗(yàn)證，在低信噪比(SNR)和小樣本條件下，DPD方法比傳統(tǒng)兩步定位方法具有更高的定位精度，并且能夠有效避免數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題。值得一提的是，隨著通信帶寬和計(jì)算能力的提升，DPD方法可應(yīng)用于多種無線定位體制中，而針對多普勒頻率定位體制，Weiss和Amar也專門設(shè)計(jì)了相應(yīng)的DPD方法[14]，相比于前面提到的DD定位法，該DPD方法的優(yōu)勢是顯著的。另一方面，DPD方法還存在一個(gè)潛在的優(yōu)勢就是其能直接融合信號時(shí)域波形信息，例如，文獻(xiàn)[10-12,14,23]提出了信號波形已知條件下的DPD方法，而文獻(xiàn)[15-17,26]則依次提出了針對多輸入多輸出(MIMO)雷達(dá)信號、OFDM信號、循環(huán)平穩(wěn)信號以及恒模信號的DPD方法。大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，通過利用信號時(shí)域波形信息可以顯著提升目標(biāo)定位精度。

在通信信號處理中，一類恒模信號(即相位調(diào)制信號)得到廣泛應(yīng)用[27-29]，例如，模擬域的調(diào)頻(FM)和調(diào)相(PM)信號等，數(shù)字域的FSK，PSK，4-QAM 信號等。該類信號的顯著特點(diǎn)是其復(fù)包絡(luò)具有恒模特性，若能夠?qū)⑦@一特征利用到目標(biāo)定位中，則將有助于提升目標(biāo)位置估計(jì)精度。例如，文獻(xiàn)[26]提出的DPD方法正是融入了信號的恒模特性，但其中采用單個(gè)天線陣列接收信號，所以它是基于信號方位信息所提出的定位方法，沒有考慮信號的多普勒效應(yīng)，并不屬于多普勒定位體制。本文則是在文獻(xiàn)[14]提出的基于多普勒頻率的DPD方法的基礎(chǔ)上，提出了一種基于多普勒頻率的恒模信號DPD方法。文中首先依據(jù)最大似然(Maximum Likelihood, ML)準(zhǔn)則以及恒模信號的恒包絡(luò)特征，建立相應(yīng)的DPD優(yōu)化模型。然后，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的代數(shù)特征將全部未知參量分為兩組，并隨之提出一種有效的多參量交替迭代算法，用以獲得該優(yōu)化問題的最優(yōu)數(shù)值解。在新提出的交替迭代算法中，根據(jù)兩組未知參量的數(shù)學(xué)模型分別設(shè)計(jì)出相應(yīng)的Newton型迭代公式，用以避免網(wǎng)格搜索，并能實(shí)現(xiàn)多維參數(shù)的“解耦合”估計(jì)，以使得新算法具有快速收斂性和穩(wěn)健性。最后，文中還推導(dǎo)了目標(biāo)位置直接估計(jì)方差的克拉美羅界(Cramér-Rao Bound, CRB)，從而為DPD方法的參數(shù)估計(jì)精度提供定量的理論參考。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，新方法的統(tǒng)計(jì)性能可以漸近逼近相應(yīng)的CRB，通過利用恒模信號的恒包絡(luò)特性可以提高目標(biāo)定位精度(相比沒有信號時(shí)域波形信息的條件下)。

1 信號模型與預(yù)備結(jié)論

1.1 信號模型

假設(shè)有一個(gè)待定位的靜止輻射源，其位置向量為q(維數(shù)為D)，該目標(biāo)輻射恒包絡(luò)信號(即相位調(diào)制信號)，并且該信號能夠同時(shí)被N個(gè)運(yùn)動(dòng)觀測站截獲。每個(gè)觀測站將在K個(gè)時(shí)隙段內(nèi)對目標(biāo)輻射信號進(jìn)行采樣，相鄰兩個(gè)采集時(shí)隙段的時(shí)間間隔為T。為了能夠?qū)υ撃繕?biāo)進(jìn)行直接定位，這里需要做出以下兩點(diǎn)假設(shè)[14]：

2) 目標(biāo)輻射窄帶信號，并且信號帶寬B小于信號到達(dá)不同觀測站的時(shí)延最大值τmax的倒數(shù)(即B<1/τmax)，于是信號到達(dá)不同觀測站的復(fù)包絡(luò)是一致的。

基于上述討論和假設(shè)，第n個(gè)觀測站在第k個(gè)時(shí)隙段內(nèi)截獲到的無線電信號模型可以表示為

xn,k(t)+εn,k(t)

(1)

式中：sk(t)為信號在第k個(gè)時(shí)隙段內(nèi)的復(fù)包絡(luò)，文中假設(shè)該復(fù)包絡(luò)具有恒模特性，不失一般性，這里將其表示為sk(t)=exp(jφk(t))，φk(t)為其相位調(diào)制分量；εn,k(t)為零均值復(fù)圓高斯白噪聲，其方差為σ2；βn,k為信號在第k個(gè)時(shí)隙段到達(dá)第n個(gè)觀測站的復(fù)傳播系數(shù)；fn,k為第n個(gè)觀測站在第k個(gè)時(shí)隙段截獲到的信號頻率，該頻率可以表示為[14]

fn,k=(fc+Δfk)(1+γn,k(q))

(2)

式中:fc為信號載波頻率的標(biāo)稱值(該值可認(rèn)為是已知量)；Δfk為由于目標(biāo)輻射信號的不穩(wěn)定而導(dǎo)致的頻率漂移；γn,k(q)為由目標(biāo)與觀測站之間的相對運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生(即多普勒效應(yīng))，其代數(shù)表達(dá)式為

(3)

式中：v為無線電信號的傳播速度。需要指出的是，通常有γn,k(q)?1和Δfk?fc，于是fn,k可以近似表示為

fn,k≈fc+Δfk+fcγn,k(q)

(4)

由于fc是已知量，因此通過數(shù)字下變頻處理后所得到的信號頻率為

(5)

假設(shè)觀測站的信號采樣時(shí)間間隔為Ts，并且在每個(gè)時(shí)隙段共采集到了L個(gè)信號樣本點(diǎn)，若將這L個(gè)信號采樣值合并成向量形式就可以得到如下觀測模型：

βn,kAn,k(q)B(Δfk)sk+εn,k=

βn,kAn,k(q)Skb(Δfk)+εn,k

(6)

式中：

(7)

為了便于后續(xù)的理論分析，這里定義如下參數(shù)向量

(8)

1.2 預(yù)備結(jié)論

在給出新的DPD方法之前，這里先給出文中證明的一個(gè)預(yù)備結(jié)論，并以命題形式給出。

(9)

式中：

(10)

命題1的證明見附錄A，其中的結(jié)論對于文中DPD方法的推導(dǎo)至關(guān)重要。

2 恒模信號直接定位方法

2.1 直接定位方法的基本思想

上述直接定位問題本質(zhì)上還是屬于信號參數(shù)估計(jì)問題，為了獲得漸近最優(yōu)的估計(jì)精度，通常利用最大似然準(zhǔn)則進(jìn)行求解。在高斯噪聲條件下，最大似然準(zhǔn)則等價(jià)于如下最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則：

(11)

顯然，式(11)是一個(gè)多維非線性優(yōu)化問題，其閉式解無法獲得，僅能利用迭代法求其數(shù)值解。由于式(11)中共包含4種不同的未知參量(種類較多)，因此可以選擇交替迭代算法進(jìn)行數(shù)值尋優(yōu)。該算法的基本思想是，在每次迭代中僅針對部分未知參量進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，并保持其余未知參量固定不變，依次進(jìn)行直至收斂為止。

根據(jù)式(11)中目標(biāo)函數(shù)的代數(shù)特點(diǎn)，本文提出的交替迭代算法將未知參量分成兩組：第1組包含Δf和q；第2組包含β和φ。每一輪迭代中將包含兩個(gè)運(yùn)算單元：第1個(gè)是在β和φ固定不變的情況下對Δf和q進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算；第2個(gè)則是在Δf和q固定不變的情況下對β和φ進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。2.2節(jié)將推導(dǎo)其具體計(jì)算過程。

2.2 交替迭代算法的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

2.2.1 參量Δf和q的優(yōu)化

(12)

式中：

(13)

顯然，式(12)的閉式解無法獲得，只能利用數(shù)值迭代的方式進(jìn)行求解。注意到Δfk是一個(gè)僅與k有關(guān)系的標(biāo)量，而且關(guān)于它的優(yōu)化求解可以通過FFT算法來實(shí)現(xiàn)[14]，因此不妨將其作為“隱變量”來處理(即并不顯式參與優(yōu)化)，此時(shí)可以將式(12)看成是僅關(guān)于位置向量q的優(yōu)化問題，即有

(14)

式中：

wk(Δfk,q)=(ck(q))HEk(Δfk)ck(q)

(15)

其中：

(16)

式(16)中的第2個(gè)等式利用了矩陣恒等式vec(XYZ)=(ZT?X)·vec(Y)，而J1則是滿足等式vec((Ck(q))T)=J1·vec(Ck(q))的置換矩陣。

由于“隱”變量Δfk的存在，式(14)中目標(biāo)函數(shù)w(q)并不是關(guān)于位置向量q的顯式表達(dá)式，此時(shí)求解式(14)最易操作的方法就是網(wǎng)格搜索[14]，但這會(huì)導(dǎo)致較大的運(yùn)算量，尤其是對定位精度要求較高的條件下(因?yàn)樗阉鞑介L較小，網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)較多)。為此，這里將給出一種求解式(14)的Newton迭代公式，它可以快速收斂至其最優(yōu)解，但瓶頸在于目標(biāo)函數(shù)w(q)的梯度向量gr(q)和Hessian矩陣Gr(q)的表達(dá)式無法直接獲得，這就需要利用命題1中的結(jié)論?；谠撁}可以推得gr(q)和Gr(q)的表達(dá)式分別為

(17)

式中：

(18)

(19)

總結(jié)上述討論可以得到求解式(14)的Newton迭代公式為

(20)

2.2.2 參量β和φ的優(yōu)化

(21)

從式(21)中不難看出，不同時(shí)隙段內(nèi)的未知參量可以分離并行估計(jì)，于是可以將式(21)拆分成如下K個(gè)相互獨(dú)立的子問題

(22)

(23)

式中：(·)?為矩陣或向量的Moore-Penrose廣義逆。將式(23)代入式(22)中可以得到僅關(guān)于φk的優(yōu)化問題為

(24)

式中：

(25)

由于式(24)中的目標(biāo)函數(shù)含有正交投影矩陣，此時(shí)利用Gaussian-Newton迭代公式可以快速收斂至其最優(yōu)解[30-31]，相應(yīng)的迭代公式為

(26)

式中：m為迭代數(shù)；λ2(0<λ2<1)為步長因子，而向量gt(φk)和矩陣Gt(φk)的表達(dá)式分別為

(27)

式中：vecd[·]為提取矩陣對角元素構(gòu)成的列向量；⊙表示矩陣Schur積(即點(diǎn)乘)，而en,k(φk)的表達(dá)式為

(28)

2.3 交替迭代算法的總結(jié)與討論

基于上述討論，下面可以總結(jié)出用于DPD的交替迭代算法的計(jì)算步驟。

關(guān)于上述DPD方法有下述幾點(diǎn)說明：

注釋2 未知參量q的迭代初值可以通過文獻(xiàn)[8-9]中提出的DD定位方法獲得(即兩步定位方法)。

注釋3 步驟2中的一維優(yōu)化計(jì)算可以利用FFT算法來獲得(見文獻(xiàn)[14]中的附錄I)，從而有效降低運(yùn)算量。

注釋4 步驟3中φk的迭代初值可事先計(jì)算sk的估計(jì)值，然后再利用其相位獲得，為此可以將βn,k設(shè)為1，然后基于式(11)可得sk的近似估計(jì)值為

(29)

數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，由注釋2和注釋4給出的迭代初始值能夠保證算法收斂至較好的解，并且通常在15次迭代以內(nèi)即可達(dá)到收斂。

3 參數(shù)估計(jì)方差的克拉美羅界

本節(jié)將推導(dǎo)未知參數(shù)估計(jì)方差的克拉美羅界，重點(diǎn)推導(dǎo)目標(biāo)位置估計(jì)方差的克拉美羅界。首先定義如下包含全部未知參數(shù)的向量

η=[σ2μT]T=

[σ2qTφTΔfT(Re{β})T(Im{β})T]T

(30)

式中：

μ=[qTφTΔfT(Re{β})T(Im{β})T]T

(31)

接著再定義如下包含全部接收數(shù)據(jù)的向量

(32)

(βN,KAN,K(q)B(ΔfK)sK)HH

(33)

基于文獻(xiàn)[33]中的結(jié)論可知，關(guān)于參數(shù)向量μ的克拉美羅界矩陣可以表示為

(34)

式中:

(35)

利用式(33)可以進(jìn)一步推得式(35)中各個(gè)子矩陣的表達(dá)式為

(36)

式中：

(37)

在實(shí)際應(yīng)用中主要關(guān)注目標(biāo)位置向量q的估計(jì)方差的克拉美羅CRB(q)，但從式(34)中無法直接得到CRB(q)的閉式表達(dá)式，這是因?yàn)镃RB(μ)并不具備塊狀結(jié)構(gòu)。為了獲得CRB(q)的閉式表達(dá)式，可以利用文獻(xiàn)[34]中的思想，重新定義一個(gè)新的參數(shù)向量，而關(guān)于該新參數(shù)向量的克拉美羅界矩陣具有塊狀結(jié)構(gòu)。新參數(shù)向量定義為

(Im{β}+Im{U1}q+Im{U2}φ+Im{U3}Δf)T]T

(38)

式中:

(39)

對比式(31)和式(38)可知

(40)

式中：

(41)

(42)

式中：

(43)

另一方面，根據(jù)式(35)、式(39)和式(43)可得

(44)

(45)

式中：

(46)

(47)

(48)

利用分塊矩陣求逆公式可以推得CRB(q)的表達(dá)式為

(49)

式(49)給出了基于多普勒頻率的恒模信號直接定位方差的CRB，第4節(jié)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)將表明，文中提出的交替迭代算法的性能可以漸近逼近此CRB，這是由于該DPD方法是基于ML準(zhǔn)則推導(dǎo)的，這一準(zhǔn)則通?？梢蕴峁u近最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)性能。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

4.1 與克拉美羅界進(jìn)行比較

本節(jié)將新提出的DPD方法的性能與式(49)給出的CRB進(jìn)行比較，以說明該方法在統(tǒng)計(jì)性能上的漸近最優(yōu)性。

首先假設(shè)目標(biāo)輻射窄帶調(diào)頻信號，目標(biāo)位置設(shè)為3種情況，分別為(6，6) km，(8，8) km 和(10，10) km，現(xiàn)有3個(gè)運(yùn)動(dòng)觀測站可以截獲其信號，并且每隔10 s就對該信號進(jìn)行一個(gè)時(shí)隙段的采樣(共有10個(gè)時(shí)隙段)，觀測站的運(yùn)動(dòng)速度為200 m/s，其運(yùn)動(dòng)軌跡與目標(biāo)位置關(guān)系如圖1所示。需要指出的是，將目標(biāo)的位置分組設(shè)為3種情況是為了說明目標(biāo)與觀測站之間的距離對于定位精度的影響，從圖1中不難看出，第3種情況的目標(biāo)距離觀測站最遠(yuǎn)，而第1種情況的目標(biāo)最接近觀測站。另一方面，信號的載波頻率擾動(dòng)量在[-100 100] Hz內(nèi)服從均勻分布，信道傳播系數(shù)的幅度均設(shè)為1，其相位在[-π π]內(nèi)服從均勻分布。首先將每個(gè)時(shí)隙段內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)設(shè)為50，信號載波頻率設(shè)為0.2 GHz，圖2(a)給出了目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差隨著信噪比的變化曲線；接著將信噪比設(shè)為5 dB，信號載波頻率設(shè)為0.2 GHz，圖2(b)給出了目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差隨著每個(gè)時(shí)隙段內(nèi)樣本點(diǎn)數(shù)的變化曲線；最后將信噪比設(shè)為5 dB，每個(gè)時(shí)隙段內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)設(shè)為50，圖2(c)給出了目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差隨著信號載波頻率的變化曲線。

圖1 運(yùn)動(dòng)觀測站與目標(biāo)位置之間的幾何關(guān)系(包含3個(gè)觀測站)Fig.1 Geometry relationship between moving observers and emitter (three observers)

圖2 目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差的變化曲線(3個(gè)觀測站) Fig.2 RMSE of source position estimation(three observers)

接著假設(shè)有4個(gè)運(yùn)動(dòng)觀測站可以截獲其信號，并且每隔5 s對該信號進(jìn)行一個(gè)時(shí)隙段的采樣(共有10個(gè)時(shí)隙段)，觀測站的運(yùn)動(dòng)速度為100 m/s，目標(biāo)的位置仍然設(shè)為3種情況，分別為(8，8) km，(10，10) km和(12，12) km，其與運(yùn)動(dòng)觀測站的位置關(guān)系如圖3所示。需要指出的是，這里將目標(biāo)的位置分組設(shè)為3種情況也是為了說明目標(biāo)與觀測站之間的距離對于定位精度的影響，從圖3中不難看出，第3種情況的目標(biāo)距離觀測站最遠(yuǎn)，而第1種情況的目標(biāo)最接近觀測站。首先將每個(gè)時(shí)隙段內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)設(shè)為50，信號載波頻率設(shè)為0.2 GHz，圖4(a)給出了目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差隨著信噪比的變化曲線；接著將信噪比設(shè)為5 dB，信號載波頻率設(shè)為0.2 GHz，圖4(b)給出了目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差隨著每個(gè)時(shí)隙段內(nèi)樣本點(diǎn)數(shù)的變化曲線；最后將信噪比設(shè)為5 dB，每個(gè)時(shí)隙段內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)設(shè)為50，圖4(c)給出了目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差隨著信號載波頻率的變化曲線。

從圖2和圖4中可以看出：① 本文提出的DPD方法的定位精度隨著信噪比、樣本點(diǎn)數(shù)以及信號載波頻率的增加而提高；② 針對近距離目標(biāo)的定位精度要高于針對遠(yuǎn)距離目標(biāo)的定位精度，也就是說針對第3種情況的目標(biāo)精度最低，而針對第1種情況的目標(biāo)精度最高；③ 新方法的性能曲線漸近逼近式(49)給出的CRB曲線，從而說明了新方法的漸近最優(yōu)性。

圖3 運(yùn)動(dòng)觀測站與目標(biāo)位置之間的幾何關(guān)系(4個(gè)觀測站) Fig.3 Geometry relationship between movingobservers and emitter (four observers)

圖4 目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差變化曲線(4個(gè)觀測站)Fig.4 RMSE of source position estimation(four observers)

4.2 與其他定位方法的性能進(jìn)行比較

本節(jié)將文中新提出的DPD方法的性能與文獻(xiàn)[14]中的DPD方法以及傳統(tǒng)DD方法[8-9]的性能進(jìn)行比較，以進(jìn)一步說明新方法的優(yōu)勢。值得一提的是，這幾種方法的性能在高信噪比條件下是漸近一致的，但是在低信噪比條件下的性能差異較大，因此本節(jié)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果均是在低信噪比條件下給出的。另一方面，文獻(xiàn)[14]中提出了兩種DPD方法，一種用于信號波形未知的場景，另一種則用于信號波形精確已知的情形，下面稱前者為“方法1”，稱后者為“方法2”。

定位場景和實(shí)驗(yàn)參數(shù)基本同圖1，首先將每個(gè)時(shí)隙段內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)設(shè)為100，信號載波頻率設(shè)為0.2 GHz，目標(biāo)位置設(shè)為(7，7) km，圖5(a)給出了4種定位方法的目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差隨著信噪比的變化曲線；接著將信噪比設(shè)為-7 dB，信號載波頻率設(shè)為0.2 GHz，目標(biāo)位置設(shè)為(7，7) km，圖5(b)給出了4種定位方法的目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差隨著每個(gè)時(shí)隙段內(nèi)樣本點(diǎn)數(shù)的變化曲線；然后將信噪比設(shè)為-7 dB，每個(gè)時(shí)隙段內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)設(shè)為100，目標(biāo)位置設(shè)為(7，7) km，圖5(c)給出了4種定位方法的目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差隨著信號載波頻率的變化曲線；最后將信噪比設(shè)為-7 dB，每個(gè)時(shí)隙段內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)設(shè)為100，信號載波頻率設(shè)為0.2 GHz，圖5(d)給出了目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差隨著目標(biāo)在x軸方向坐標(biāo)的變化曲線，這里假設(shè)目標(biāo)在x軸方向上的坐標(biāo)等于其在y軸方向上的坐標(biāo)。

圖5 目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差在x軸方向坐標(biāo)的變化曲線(低信噪比條件)Fig.5 RMSE of source position estimation in x-axis (under low SNR condition)

從圖5中可以看出：① 4種方法的定位精度均隨著信噪比、樣本點(diǎn)數(shù)以及信號載波頻率的增加而提高，并且對近距離目標(biāo)的定位精度要高于對遠(yuǎn)距離目標(biāo)的定位精度；② 相比傳統(tǒng)的DD方法，3種DPD方法在低信噪比和小樣本數(shù)條件下的優(yōu)勢是顯著的，這一點(diǎn)在文獻(xiàn)[14]中也已經(jīng)得到驗(yàn)證；③ 在低信噪比條件下，文中DPD方法的定位精度要優(yōu)于文獻(xiàn)[14]中的方法1，并且比方法1具有更高的噪聲閾值(即產(chǎn)生門限效應(yīng)的噪聲功率)，這是因?yàn)榉椒?中并未利用信號時(shí)域波形信息，而本文的DPD方法則融合了信號的恒模特征，從而提高了低信噪比條件下的定位精度；④ 在低信噪比條件下，文中DPD方法的定位精度要略差于文獻(xiàn)[14]中的方法2，這是因?yàn)榉椒?假設(shè)信號波形精確已知，這比恒模特性包含了更多的信息，因此其定位精度自然也會(huì)更高，但總體而言，兩者的性能差異并不大，值得一提的是，精確的波形信息在實(shí)際應(yīng)用場景中并不總能輕易獲得，但恒模特征則相對較容易滿足。

5 結(jié) 論

1) 本文提出了一種基于多普勒頻率的恒模信號DPD方法，并推導(dǎo)了針對恒模信號的目標(biāo)位置直接估計(jì)方差的CRB，從而為DPD方法的參數(shù)估計(jì)精度提供定量的理論參考。

2) 數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，新方法的統(tǒng)計(jì)性能可以漸近逼近相應(yīng)的CRB，并且相比沒有信號時(shí)域波形信息的條件，通過利用恒模信號的恒包絡(luò)特征可以提高目標(biāo)定位精度，尤其是在低信噪比和小樣本數(shù)的環(huán)境中。

3) 本文提出的DPD方法僅能針對單信號進(jìn)行定位，后續(xù)的工作還要將其推廣至多信號定位的場景中。

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附錄A:

(A1)

于是函數(shù)h(z)的梯度向量和Hessian矩陣分別等于

(A2)

(A3)

(A4)

將式(A4)代入式(A2)中可知式(9)中的第1式成立。將式(A4)兩邊對向量z求導(dǎo)可知

(A5)

由式(A5)可以進(jìn)一步推得

(A6)

將式(A4)和式(A6)代入式(A3)中可知式(9)中的第2式成立。至此，命題1得證。

(責(zé)任編輯： 蘇磊)

*Corresponding author. E-mail: Cindyin0807@163.com

Direct localization method for constant modulus source based on Doppler frequency shifts

WANG Ding1,2, YIN Jiexin1,2,*, WU Zhidong1, LIU Ruirui1

1.SchoolofInformationSystemsEngineering,PLAInformationEngineeringUniversity,Zhengzhou450001,China2.NationalDigitalSwitchingSystemEngineering&TechnologicalResearchCenter,Zhengzhou450002,China

Compared with the conventional Differential Doppler (DD) localization method, the Direct Position Determination (DPD) method proposed by Amar and Weiss has higher position estimation accuracy under the condition of low Signal-to-Noise Ratio (SNR) and small number of samples. Based on this novel localization mechanism, a new DPD method using Doppler frequency shifts is presented for the constant modulus source. The DPD optimization model is constructed based on the Maximum Likelihood (ML) criterion as well as the constant modulus property of the source. All the unknowns are then classified into two groups according to the algebraic characteristic of the cost function, and an effective alternating iteration algorithm is presented to solve this DPD optimization problem numerically. In the proposed algorithm, two Newton-type iterative steps are devised for the two groups of unknowns, and then the grid search can be avoided and the multidimensional parameters are decoupled. The Cramér-Rao Bound (CRB) on the direct position estimation variance for constant modulus source is derived. Simulation results corroborate the good performance of the proposed method.

passive location; direct position determination; Doppler frequency; constant modulus source; maximum likelihood estimation; Newton-type iteration; Cramér-Rao bound

2016-12-30； Revised： 2017-02-08； Accepted： 2017-03-15； Published online： 2017-04-01 13:27

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170401.1327.004.html

s： National Natural Science Foundation of China (61201381); China Postdoctoral Science Foundation (2016M592989); The Outstanding Youth Foundation of Information Engineering University (2016603201)

V324.2+3; TN911.7

A

1000-6893(2017)09-321084-14

2016-12-30； 退修日期： 2017-02-08； 錄用日期： 2017-03-15； 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間： 2017-04-01 13:27

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170401.1327.004.html

國家自然科學(xué)基金(61201381)； 中國博士后科學(xué)基金(2016M592989)； 信息工程大學(xué)優(yōu)秀青年基金(2016603201)

*通訊作者.E-mail: Cindyin0807@163.com

王鼎， 尹潔昕， 吳志東， 等． 一種基于多普勒頻率的恒模信號直接定位方法[J]． 航空學(xué)報(bào), 2017, 38(9): 321084. WANG D, YIN J X, WU Z D, et al. Direct localization method for constant modulus source based on Doppler frequency shifts[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2017, 38(9): 321084.

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.321084