行星機(jī)構(gòu)的可靠性分析與計算

李銘， 謝里陽,*， 丁麗君

1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院， 沈陽 110819 2.中國航發(fā)黎明運行保障中心， 沈陽 110000

行星機(jī)構(gòu)的可靠性分析與計算

李銘1， 謝里陽1,*， 丁麗君2

1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院， 沈陽 110819 2.中國航發(fā)黎明運行保障中心， 沈陽 110000

行星機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計缺陷、制造與安裝誤差、支撐構(gòu)件剛度不足等原因可能會使系統(tǒng)發(fā)生一定程度的偏載，從而會影響整個機(jī)構(gòu)的使用壽命與可靠性。利用最小次序統(tǒng)計量的概念建立了行星齒輪系的可靠度計算模型，模型反映了偏載對齒輪系可靠性的影響。首先，對行星機(jī)構(gòu)進(jìn)行了詳細(xì)的運動學(xué)和力學(xué)分析，計算得到了各個齒輪的隨機(jī)載荷歷程。根據(jù)Miner線性疲勞累積損傷法則，將隨機(jī)載荷歷程轉(zhuǎn)化為等效恒幅載荷譜，并將其作為可靠性模型的載荷輸入變量。然后，將特定齒輪的疲勞壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計處理，將統(tǒng)計結(jié)果作為可靠性模型的強(qiáng)度輸入變量。最后，根據(jù)模型的計算結(jié)果定量地說明了偏載對行星齒輪系可靠性的影響程度，同時利用隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)處理方法對可靠性模型的有效性進(jìn)行了驗證。

行星機(jī)構(gòu)； 偏載分析； 可靠度計算； 疲勞壽命； 彎曲應(yīng)力計算

行星機(jī)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于各種大功率傳動系統(tǒng)中，尤其在航空領(lǐng)域，由于其具有體積小、質(zhì)量輕、承載能力大的優(yōu)點，因此得到了充分的重視。行星機(jī)構(gòu)可以達(dá)到很高的功率傳輸水平，是由于行星輪的功率分流作用減小了輪齒的受力，在傳輸功率相當(dāng)?shù)臈l件下，行星齒輪系較其他齒輪系具有更高的可靠性。同時，由于大多數(shù)行星機(jī)構(gòu)采取行星輪中心對稱布置，這將使作用在中心輪上的徑向力相互抵消，從而減小了軸承的支撐要求。但是，在行星機(jī)構(gòu)中只有當(dāng)傳輸功率平均分配到各個行星輪上，它的這些優(yōu)點才能得到充分的發(fā)揮。

在實際應(yīng)用中，由于制造與安裝誤差、支撐構(gòu)件的變形等因素的影響，行星機(jī)構(gòu)的偏載問題是無法避免的[1]，因此對它的偏載分析具有重要的實際意義。Hidaka等[1-3]通過理論分析與試驗證明了只有當(dāng)至少一個中心輪處于浮動狀態(tài)，行星機(jī)構(gòu)才能達(dá)到較好的載荷分擔(dān)效果，Muller[4]也得出了相同的結(jié)論。Hidaka和Terauchi[1]指出，行星架等支撐構(gòu)件的小變形可以改善行星機(jī)構(gòu)的偏載狀況。其他一些研究[5-8]同樣討論了支撐條件對行星機(jī)構(gòu)載荷分擔(dān)的影響。Hayashi等[9]通過試驗證明了隨著輸入功率的增加，行星機(jī)構(gòu)的偏載系數(shù)呈現(xiàn)降低的趨勢。Kahraman[10-11]通過一個簡化的離散模型說明了行星銷軸在動態(tài)載荷下的運動規(guī)律，進(jìn)而說明了銷軸對行星機(jī)構(gòu)載荷分配的影響。

針對高速、重載的齒輪機(jī)構(gòu)的可靠性分析是必要的，尤其對于航空領(lǐng)域的行星齒輪機(jī)構(gòu)來說更是不可或缺的設(shè)計過程。Yang[12]改進(jìn)了線性疲勞累積損傷法則，使其更好地應(yīng)用于齒輪機(jī)構(gòu)的疲勞計算。張義民等[13]利用隨機(jī)攝動法對齒輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行了可靠性分析，在一定程度上完善了齒輪傳動的設(shè)計過程。張冠宇等[14]采用Kriging模型對大型球磨機(jī)齒輪機(jī)構(gòu)的體積和可靠性進(jìn)行了全局優(yōu)化。Nejad等[15]提出了一種用于風(fēng)力發(fā)電機(jī)的齒輪彎曲疲勞長壽命損傷計算方法。李延福等[16]使用邏輯圖評估了風(fēng)力渦輪機(jī)系統(tǒng)中通用齒輪機(jī)構(gòu)的可靠性。Guerine等[17]分析了參數(shù)具有不確定性的齒輪機(jī)構(gòu)的動態(tài)統(tǒng)計響應(yīng)。

偏載會惡化行星機(jī)構(gòu)的載荷環(huán)境，限制其優(yōu)勢的發(fā)揮，同時會降低行星齒輪系的可靠性。目前尚未見有文獻(xiàn)涉及偏載對行星齒輪系可靠性影響的研究，本文將偏載系數(shù)與可靠度計算結(jié)果進(jìn)行對比，定量地分析了偏載程度與行星齒輪系可靠度之間的關(guān)系。一般的，齒輪系統(tǒng)的力學(xué)仿真計算需要大量的運算時間，學(xué)者們?yōu)榱藴p小計算代價，一般將齒輪系統(tǒng)簡化為幾個齒輪甚至是幾個輪齒[18-20]。對于行星機(jī)構(gòu)的偏載研究，這種建模方法不能很好地反映機(jī)構(gòu)的偏載狀態(tài)。本文建立了行星機(jī)構(gòu)的整體仿真模型，考慮了軸、軸承以及行星架等支撐構(gòu)件的彈性變形對輪齒應(yīng)力的影響。對于計算代價的考慮，沒有以一條連續(xù)曲線的形式表示輪齒的載荷歷程，而只是計算它在嚙合過程中的應(yīng)力峰值，以一系列離散點的形式給出載荷信息，這樣不僅節(jié)省了計算時間，還考慮到了影響系統(tǒng)可靠性的主要的載荷因素。

將特定的試驗齒輪(與行星齒輪系齒輪的主要參數(shù)相同)的壽命信息作為齒輪系統(tǒng)可靠性計算的已知條件，并沒有像一般的，以材料的疲勞特性推測零件或系統(tǒng)的可靠性[21-23]，因此在研究中回避了對零件的表面狀態(tài)、尺寸、應(yīng)力集中和殘余應(yīng)力等因素的考慮，提高了計算精度的同時又簡化了計算過程。

對行星機(jī)構(gòu)的偏載狀態(tài)進(jìn)行了詳細(xì)的分析與計算，得到了偏載狀態(tài)下輪齒的載荷譜，并將其作為可靠性模型的載荷輸入變量；同時，根據(jù)特定齒輪的壽命數(shù)據(jù)，利用最小次序統(tǒng)計量概念將齒輪的概率壽命轉(zhuǎn)化為輪齒的概率壽命，并將其作為可靠性模型的強(qiáng)度輸入變量。最終，根據(jù)行星齒輪系的載荷特點建立了其可靠性計算模型，模型可以簡單而有效地計算行星齒輪系在偏載狀態(tài)下的可靠度。

1 行星機(jī)構(gòu)

1.1 機(jī)構(gòu)簡介

某發(fā)動機(jī)三級減速器的行星機(jī)構(gòu)如圖1所示，其主要構(gòu)件包括行星齒輪系、軸承、行星架、輸入軸、輸出軸以及行星軸。

其中，行星齒輪系由太陽輪、行星輪和內(nèi)齒輪組成，其詳細(xì)參數(shù)如表1所示。

圖1 行星機(jī)構(gòu)Fig.1 Planetary mechanism

表1 行星齒輪系的參數(shù)Table 1 Parameters of planetary gear train

ParameterSungearPlanetgearRinggearModule/mm444Numberofteeth301663Pressureangle/(°)202020Helixangle/(°)000Facewidth/mm262626Tooththickness/mm6.666.666.60Basepitch/mm11.80911.80911.809Profileshiftcoefficient0.12990.12990.1096Rootfilletradius/mm2.2432.4361.370Rootroughness/μmRz=10Rz=10Rz=10ISOqualitygrade666PrecisionmachiningGrindingGrindingGrindingMaterial20CrMnTi20CrMnTi20CrMnTiCasedepth/mm0.8±0.130.8±0.130.8±0.13SurfacehardnessHRC59-63HRC59-63HRC59-63CorehardnessHRC35-48HRC35-48HRC35-48

太陽輪與輸入軸相聯(lián)，行星架與輸出軸相聯(lián)，內(nèi)齒輪與箱體固定，機(jī)構(gòu)中的功率流向為：輸入軸→太陽輪→行星輪→行星架→輸出軸。機(jī)構(gòu)的額定工況為：輸入轉(zhuǎn)速450 r/min，輸入功率100 kW，內(nèi)部工作溫度70 ℃。

1.2 運動學(xué)分析

根據(jù)行星機(jī)構(gòu)的運動學(xué)方程，獲得各個齒輪的相對嚙合頻率，可用于計算輪齒的載荷歷程，還用于將輪齒的載荷作用次數(shù)轉(zhuǎn)化為機(jī)構(gòu)的運行時間，統(tǒng)一可靠性模型的自變量。首先，假設(shè)太陽輪a、行星輪c、內(nèi)齒輪b及行星架x的絕對角速度分別為ωa、ωc、ωb及ωx，那么它們的角速度關(guān)系式為

(1)

由式(1)可以得到行星機(jī)構(gòu)的運動學(xué)方程式

(2)

根據(jù)式(2)可以得到太陽輪、行星輪和內(nèi)齒輪分別與行星架的相對轉(zhuǎn)速。其運動學(xué)參量如表2所示，其中，負(fù)號表示旋轉(zhuǎn)方向相反，nc為機(jī)構(gòu)中行星輪的個數(shù)，t為任意的時間段。

1.3 齒根彎曲應(yīng)力計算方法

考慮到齒輪彎曲疲勞失效是齒輪最常見的失效形式之一，且對于航空領(lǐng)域的行星機(jī)構(gòu)來說，掉落的齒塊可能使機(jī)構(gòu)卡死，導(dǎo)致整個傳動系統(tǒng)在瞬間失去工作能力，甚至?xí)l(fā)生機(jī)毀人亡的慘劇。

因此，將齒輪彎曲疲勞強(qiáng)度作為行星機(jī)構(gòu)可靠性分析、評價的指標(biāo)。

在計算齒根彎曲應(yīng)力時，可把輪齒視為懸臂梁，并采用30° 切線法確定其危險截面，如圖2所示，hF為力臂，SF為危險截面齒厚，ρr為齒根圓角半徑，αa指明了法向力的方向。在端面內(nèi)作與輪齒對稱中心線成30° 夾角并與齒根過渡曲線相切的兩條直線，連接兩個切點并平行于齒輪軸線的截面就是危險截面，這里是輪齒彎曲疲勞裂紋發(fā)生的主要位置。

為了計算危險截面上的最大彎曲應(yīng)力，以單對齒嚙合時全部載荷作用于齒頂為基礎(chǔ)來計算，作用于齒頂?shù)姆ㄏ蛄?/p>

(3)

式中：T1為主動齒輪的轉(zhuǎn)矩；d1為主動齒輪的分度圓直徑；α為壓力角。

圖2 30° 切線法確定危險截面 Fig.2 30° tangent method for determining dangerous section

齒輪傳動中的載荷應(yīng)計入原動機(jī)和工作機(jī)的特性、齒輪內(nèi)部的動載荷、齒寬上載荷分布不均勻和嚙合齒對間載荷分配不均勻等因素的影響，因此齒輪的計算載荷可表示為

Fnc=KFn

(4)

式中：K為載荷系數(shù)，它由使用系數(shù)KA，動載系數(shù)Kv，齒向載荷分布系數(shù)Kβ和齒間載荷分配系數(shù)Kα構(gòu)成，即K=KAKvKβKα。

若忽略齒面間的摩擦力，那么作用于齒頂?shù)姆ㄏ蛄n可以分解為Fncosαa和Fnsinαa兩個力，如圖3所示。

由于Fncosαa產(chǎn)生的剪應(yīng)力和Fnsinαa產(chǎn)生的壓應(yīng)力比Fncosαa產(chǎn)生的彎曲應(yīng)力小得多，可忽略不計。那么，齒根彎曲應(yīng)力為

(5)

式中：b為齒寬。

將式(3)和式(4)代入式(5)得

(6)

圖3 齒根彎曲應(yīng)力計算Fig.3 Tooth root bending stress calculation

Ys和重合度系數(shù)Yε，最終得到齒根彎曲應(yīng)力的表達(dá)式[24]為

(7)

式中：YF為齒形系數(shù)，它與齒廓形狀有關(guān)，與模數(shù)m無關(guān)；Ys為應(yīng)力修正系數(shù)，用它考慮齒根過渡圓角處的應(yīng)力集中；Yε為重合度系數(shù)。

由式(7)計算得到的齒根彎曲應(yīng)力是受載齒側(cè)齒根危險截面處的最大拉應(yīng)力(文中提到的齒根彎曲應(yīng)力都是指這個最大的應(yīng)力)，如圖3所示。它計算了輪齒在嚙合過程中齒根彎曲應(yīng)力的峰值，因此輪齒的載荷歷程可以以一系列離散值的形式給出。同時將這個最大值出現(xiàn)的嚙合位置定義為危險嚙合位置。

使用RomaxDesigner軟件作為齒根彎曲應(yīng)力計算的輔助工具，它具有強(qiáng)大的齒輪機(jī)構(gòu)分析、計算能力。RomaxDesigner軟件可以實現(xiàn)行星機(jī)構(gòu)的精確建模，反映出機(jī)構(gòu)中齒輪、軸承、軸以及行星架等關(guān)鍵構(gòu)件的受力和變形狀態(tài)。對于齒根彎曲應(yīng)力的計算，它以式(7)為基礎(chǔ)，根據(jù)仿真模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)，同時考慮離心力、熱效應(yīng)以及支撐構(gòu)件的變形等因素對應(yīng)力的影響，最終通過式(7)中的系數(shù)精確地反映出來。

2 載荷分配分析

2.1 均載分析

行星機(jī)構(gòu)在理想的制造精度與支撐剛度的條件下，將會處于均載狀態(tài)。所謂行星機(jī)構(gòu)均載，就是指系統(tǒng)中傳遞的功率被平均分配到各個行星輪上。如圖4所示，在均載狀態(tài)下，行星輪受到齒輪副嚙合力的作用而發(fā)生偏移，在笛卡爾坐標(biāo)系下將偏移量的比例系數(shù)放大150倍，會發(fā)現(xiàn)行星輪的中心都落在同一個圓上，即3個行星輪的偏移量相同。此時，它們對太陽輪的徑向合力為0，輸入軸與輸出軸沒有發(fā)生彎曲變形。在額定工況下(輸入功率為100 kW)，通過計算得到了太陽輪傳遞給各個行星輪的功率都為33.3 kW，即整個行星機(jī)構(gòu)處于均載狀態(tài)。

圖4 均載分析Fig.4 Analysis of equal load sharing

根據(jù)行星機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和額定工況，利用RomaxDesigner計算得到了均載狀態(tài)下太陽輪的齒根彎曲應(yīng)力為414 MPa；行星輪雙側(cè)受載，兩側(cè)的齒根彎曲應(yīng)力相等，量值為439 MPa；內(nèi)齒輪的齒根彎曲應(yīng)力為369 MPa。

2.2 偏載分析

與均載的定義相反，行星機(jī)構(gòu)偏載是指系統(tǒng)中傳遞到各個行星輪的功率或嚙合力不相等。起初，為了消除偏載，人們努力提高行星機(jī)構(gòu)的加工精度，從而使它的制造和安裝變得困難。隨后又采用各種均載機(jī)構(gòu)力求使行星輪間載荷分配均勻，但在運行過程中仍會出現(xiàn)偏載問題。

在實際應(yīng)用中，一個支撐結(jié)構(gòu)不合理的行星機(jī)構(gòu)如圖5所示，相對于圖1中的機(jī)構(gòu)，它增加了一對斜齒輪副，同時改變了功率輸出位置，而行星齒輪系的參數(shù)與機(jī)構(gòu)的額定工況都與圖1中的相同。

在斜齒輪副嚙合力的作用下，機(jī)構(gòu)中的傳動軸和行星架發(fā)生了彎曲變形。將行星架節(jié)點合位移(USUM)的比例系數(shù)放大150倍，如圖6所示，可以看到行星架的變形為非對稱變形。

圖5 不合理的支撐結(jié)構(gòu)Fig.5 Unreasonable supporting structure

行星架與傳動軸的變形將導(dǎo)致太陽輪發(fā)生徑向與軸向偏移，使太陽輪中心與內(nèi)齒輪中心不再重合，如圖7所示，在笛卡爾坐標(biāo)系下，將齒輪偏移量的比例系數(shù)放大50倍并以線框形式顯示，可以看到3個行星輪的中心不在同一個圓上，它們的偏移量不再相等。太陽輪與行星輪的這種偏移將使它們的工作齒廓間形成不同程度的間隙或過盈，導(dǎo)致太陽輪傳遞給各個行星輪的載荷不再相等，行星機(jī)構(gòu)處于偏載狀態(tài)。

在額定工況下，使用RomaxDesigner分別對機(jī)構(gòu)的均載狀態(tài)和偏載狀態(tài)進(jìn)行了靜力計算，得到某一時刻行星輪載荷分配對比結(jié)果如表3所示(P與T分別表示構(gòu)件傳遞的功率與扭矩)。機(jī)構(gòu)均載時，各個行星輪傳遞的功率相等，且在運行過程中保持不變；而當(dāng)機(jī)構(gòu)處于偏載狀態(tài)時，各個行星輪傳遞的功率相差較大，且在運行過程中時刻變化。

圖6 傳動軸與行星架的變形Fig.6 Deformation of drive shafts and planet carrier

圖7 偏載分析Fig.7 Analysis of unequal load sharing

表3 載荷分配結(jié)果對比Table 3 Comparison of load sharing results

TypeEqualloadsharingUnequalloadsharingP/kWT/(N·m)P/kWT/(N·m)Outputshaft1008457.91008457.9Planet133.32819.321.41808.2Planet233.32819.352.64448.6Planet333.32819.3262201.1

同時，以行星輪間載荷分配不均勻系數(shù)G來描述行星機(jī)構(gòu)的偏載程度

(8)

式中：Fmax為分配給行星輪的最大載荷；Fave為分配給行星輪的平均載荷。

圖8 偏載程度分析Fig.8 Analysis of unequal load degree

2.3 載荷譜計算

為了定量分析偏載對行星機(jī)構(gòu)的影響，下面對行星齒輪系在偏載狀態(tài)下的載荷進(jìn)行計算與處理。

通過以上分析已經(jīng)知道，在偏載狀態(tài)下，行星輪的周向位置不同，其輸出功率不同，齒根彎曲應(yīng)力也將不同，即行星輪的齒根彎曲應(yīng)力是其輪齒位置坐標(biāo)的函數(shù)。對于太陽輪也有相同的結(jié)論，由于太陽輪與行星輪每次發(fā)生危險嚙合的位置不同，因此在偏載狀態(tài)下，太陽輪輪齒的齒根彎曲應(yīng)力在不同的旋轉(zhuǎn)位置也會不同。而對于內(nèi)齒輪，它與箱體固定，每個輪齒的位置坐標(biāo)不變，所以內(nèi)齒輪各個輪齒的齒根彎曲應(yīng)力值是固定的。

圖9 內(nèi)齒輪的齒根彎曲應(yīng)力值Fig.9 Tooth root bending stress values of ring gear

使用跟蹤目標(biāo)齒的方法計算內(nèi)齒輪上各個輪齒在偏載狀態(tài)下的齒根彎曲應(yīng)力。指定任意一個行星輪上的任意一個輪齒作為目標(biāo)齒，根據(jù)表2中行星機(jī)構(gòu)的運動學(xué)參量，計算了當(dāng)目標(biāo)齒與內(nèi)齒輪完成兩次相鄰的危險嚙合時行星架的旋轉(zhuǎn)角度，然后將行星架的旋轉(zhuǎn)角度輸入RomaxDesigner中，RomaxDesigner可以精確識別輸出軸的角度變化，計算目標(biāo)齒與內(nèi)齒輪的每一次嚙合應(yīng)力的大小，最終可以得到偏載狀態(tài)下內(nèi)齒輪上各個輪齒的齒根彎曲應(yīng)力值，如圖9所示(環(huán)繞內(nèi)齒輪的一圈數(shù)字是以MPa為單位的齒根彎曲應(yīng)力值)。由于輸入軸單向旋轉(zhuǎn)，斜齒輪齒廓間的正壓力方向不變，導(dǎo)致太陽輪偏移方向固定。在太陽輪的偏移方向上形成“過盈區(qū)”，其背離方向上形成“間隙區(qū)”。在過盈區(qū)嚙合的輪齒，齒廓間的側(cè)隙較小，而間隙區(qū)的嚙合側(cè)隙較大。從圖中還可以發(fā)現(xiàn)，應(yīng)力的最大值并不在過盈區(qū)，而在過盈區(qū)向間隙區(qū)過渡的交界處，在那里形成高應(yīng)力區(qū)，在另一側(cè)形成低應(yīng)力區(qū)。在逆時針方向上，由低應(yīng)力區(qū)向高應(yīng)力區(qū)齒根彎曲應(yīng)力逐漸增大。在直齒輪構(gòu)成的行星機(jī)構(gòu)中，相互嚙合的輪齒間的齒根彎曲應(yīng)力值存在正比例關(guān)系，因此當(dāng)太陽輪與行星輪的輪齒同時進(jìn)入高應(yīng)力區(qū)時，它們的齒根彎曲應(yīng)力一起變大，離開時又會同時變小，在低應(yīng)力區(qū)的情況正好相反。通過齒輪試驗獲知，20CrMnTi滲碳齒輪的彎曲疲勞極限在400 MPa左右。在偏載狀態(tài)下，內(nèi)齒輪上有44%的齒根彎曲應(yīng)力大于其疲勞極限，最高的超過疲勞極限46%，因此這些輪齒將成為影響內(nèi)齒輪可靠性的敏感部位。

太陽輪與行星輪的輪齒危險嚙合位置并不固定，在偏載狀態(tài)下，它們的某些輪齒是否經(jīng)常在高應(yīng)力區(qū)嚙合，成為影響其可靠性的敏感部位，分析如下。

首先分析太陽輪。如圖10所示，太陽輪逆時針旋轉(zhuǎn)，跟蹤目標(biāo)齒(圖中填充的輪齒)的嚙合軌跡，P1為它的第一個危險嚙合位置(與①行星輪嚙合)，當(dāng)目標(biāo)齒旋轉(zhuǎn)到位置P2時到達(dá)其第二個危險嚙合位置(與②行星輪嚙合)，P1與P2之間的角度為177°；太陽輪繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)目標(biāo)齒旋轉(zhuǎn)到位置P3時第三次到達(dá)其危險嚙合位置(與③行星輪嚙合)，P2與P3之間的角度同樣為177°。即每當(dāng)太陽輪旋轉(zhuǎn)177°，它的目標(biāo)齒會經(jīng)歷一次危險嚙合，同理可以得到目標(biāo)齒的其他危險嚙合位置。由此可見，太陽輪目標(biāo)齒的危險嚙合位置均布于整個圓周，平均分布在高、低應(yīng)力區(qū)。由于機(jī)構(gòu)中的3個行星輪呈中心對稱布置，因此太陽輪其他輪齒與目標(biāo)齒的嚙合情況相同。由此得出結(jié)論，在偏載狀態(tài)下，太陽輪上不存在影響自身可靠性的敏感輪齒。

圖10 太陽輪目標(biāo)齒的危險嚙合位置Fig.10 Dangerous meshing positions of target tooth of sun gear

同時，計算了太陽輪目標(biāo)齒與行星輪依次嚙合50次的齒根彎曲應(yīng)力值，如圖11(a)所示。這是一個高低載荷交替的脈動隨機(jī)載荷歷程，50個應(yīng)力值基本上可以反映目標(biāo)齒的受載狀態(tài)。

圖11 目標(biāo)齒的載荷歷程Fig.11 Load history of target tooth

行星輪輪齒的危險嚙合位置的分析方法與太陽輪的相同。行星輪的目標(biāo)齒與太陽輪和內(nèi)齒輪交替嚙合，相鄰危險嚙合點之間的圓周角度為47°，它們同樣均布于整個圓周，平均分布在高、低應(yīng)力區(qū)，因此當(dāng)偏載發(fā)生時，行星輪上不存在影響其可靠性的敏感輪齒。同時，行星輪目標(biāo)齒依次嚙合50次的齒根彎曲應(yīng)力值如圖11(b)所示，這是一個具有周期變化趨勢的脈動隨機(jī)載荷歷程，50個應(yīng)力值基本上可以反映目標(biāo)齒的受載狀態(tài)。由于系統(tǒng)中的行星輪均勻布置，因此3個行星輪上的所有輪齒與目標(biāo)齒的載荷歷程相同。

為了有效應(yīng)用圖11中的載荷歷程計算行星齒輪系的可靠度，需要利用Miner線性疲勞累積損傷理論，將脈動隨機(jī)載荷歷程轉(zhuǎn)化為等效恒幅載荷譜。根據(jù)離散應(yīng)力值的載荷歷程形式，將一次載荷造成的損傷表示為D=1/N，N為當(dāng)前載荷水平對應(yīng)的疲勞壽命。那么在變幅載荷作用下，n次載荷造成的損傷為

(9)

由于輪齒的彎曲疲勞壽命一般較長，且圖11中的載荷歷程具有高、低載荷交替的趨勢，因此可以不考慮載荷順序效應(yīng)，認(rèn)為臨界疲勞損傷值在1附近[25]。通過一個疲勞試驗得到了輪齒的強(qiáng)度信息，但是試驗是在輪齒單向受載的狀態(tài)下進(jìn)行的，其輪齒S-N曲線的應(yīng)力比R=0。由于行星機(jī)構(gòu)輸入轉(zhuǎn)速方向一定，太陽輪輪齒單向受載，可以根據(jù)試驗得到的輪齒中值S-N曲線，應(yīng)用Miner法則，將圖11(a)中的載荷歷程轉(zhuǎn)化為等效恒幅載荷譜。而對于行星輪，由于輪齒承受對稱雙向彎曲載荷，在相同應(yīng)力等級下，其損傷要大于單向受載的情況，因此在應(yīng)用Miner法則時，應(yīng)將試驗得到的輪齒極限應(yīng)力降低30%，將單向受載的輪齒強(qiáng)度轉(zhuǎn)化為雙向受載的強(qiáng)度[24]。最后計算得到了太陽輪和行星輪的等效恒幅載荷譜的峰值分別為562 MPa和593 MPa，分別超過均載時的35.7%和35.1%。由此可見，偏載惡化了行星機(jī)構(gòu)的載荷環(huán)境。

3 行星齒輪系可靠度計算

3.1 模型的建立

將最小次序統(tǒng)計量的概念應(yīng)用于可靠性模型的建立過程中，最小次序統(tǒng)計量的概念可以描述為，從總體分布中抽出n個樣本，選出樣本中的最小值，重復(fù)此動作，最終由最小值得到的分布就是該總體的最小次序統(tǒng)計量分布?？梢詫⑦@個概念應(yīng)用于齒輪，將一個齒輪看成串聯(lián)系統(tǒng)，齒輪上各個輪齒看成系統(tǒng)中相同的零件。如果任意輪齒失效，使齒輪無法完成指定的功能，則這個串聯(lián)系統(tǒng)失效。

根據(jù)最小次序統(tǒng)計量的定義，齒輪的概率壽命等同于其輪齒概率壽命的最小次序統(tǒng)計量，它們的壽命分布關(guān)系如圖12所示。

圖12 齒輪與輪齒的壽命分布關(guān)系Fig.12 Life distribution relationship between gear and tooth

對于兩批材料與結(jié)構(gòu)參數(shù)相同的齒輪產(chǎn)品，兩者的輪齒彎曲疲勞性能可能存在差異，這種差異主要來自于熱處理階段。由于滲碳溫度、滲碳時間、碳濃度等熱處理條件無法達(dá)到完全一致，將會使兩批齒輪的齒根處形成不同的表面硬度和心部硬度、硬化層深度和沿深度方向的硬度變化梯度、表面與次表面的殘余應(yīng)力狀態(tài)等，這些因素會共同影響輪齒的彎曲疲勞壽命與可靠性[26-29]。對于一個齒輪來說，它的熱處理條件是完全相同的，因此有理由認(rèn)為一個齒輪上各個輪齒的疲勞壽命在相同的應(yīng)力等級下為獨立同分布隨機(jī)變量，甚至對于同一批相同的齒輪來說，它們的輪齒壽命也可以看成是來自相同的母體，這是將最小次序統(tǒng)計量應(yīng)用于齒輪的前提條件。對于行星機(jī)構(gòu)而言，它的齒輪一般出自同一批齒輪產(chǎn)品，又由于所有齒輪的模數(shù)相同，承載能力相同，因此可以認(rèn)為系統(tǒng)中所有輪齒的疲勞壽命服從同一個分布。

若總體X的概率密度函數(shù)為f(x)，累積分布函數(shù)為F(x)，則最小次序統(tǒng)計量的概率密度函數(shù)為

(10)

用Z表示齒輪的齒數(shù)，自變量x表示輪齒的載荷作用次數(shù)(即壽命)，將式(10)兩邊積分，得到輪齒概率壽命的最小次序統(tǒng)計量累積分布函數(shù)Gmin(x)，即齒輪的壽命累積分布函數(shù)可以表示為

(11)

將式(11)變換，得到輪齒的壽命累積分布函數(shù)

(12)

用兩參數(shù)威布爾分布函數(shù)表示齒輪的壽命分布[30]，其累積分布函數(shù)可以表示為

(13)

式中：β0和θ0分別為齒輪壽命分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。

將式(13)代入式(12)得

(14)

式(14)將齒輪的概率壽命轉(zhuǎn)化成了輪齒的概率壽命。從分布函數(shù)的形式可見，輪齒的壽命分布同樣為兩參數(shù)威布爾分布，其形狀參數(shù)不變β1=β0，尺度參數(shù)變?yōu)棣?=θ0Z1/β0。

式(14)建立了齒輪與輪齒之間的概率壽命的關(guān)系，對這種關(guān)系的必要性作如下討論。根據(jù)行星機(jī)構(gòu)的運動學(xué)與力學(xué)分析，獲得了系統(tǒng)中各個齒輪的輪齒載荷信息，如果再得到它們的強(qiáng)度信息，就能夠完成對齒輪系統(tǒng)的可靠度計算?？梢酝ㄟ^疲勞試驗獲得輪齒的強(qiáng)度信息，國內(nèi)外學(xué)者一般采用脈動加載的方式獲得輪齒的疲勞壽命，但這種試驗方法無法反映輪齒在嚙合過程中的動態(tài)特性(齒根的應(yīng)力狀態(tài)為多軸應(yīng)力狀態(tài))，它只適用于不同輪齒之間的參數(shù)對比試驗[31-34]。因此，使用了功率流封閉式齒輪旋轉(zhuǎn)試驗機(jī)，它可以很好地反映輪齒的實際載荷狀態(tài)，但由此得到的試驗數(shù)據(jù)為齒輪的壽命而非輪齒的壽命，這就需要借助兩者的概率壽命關(guān)系，最終用于獲得輪齒的強(qiáng)度信息。

轉(zhuǎn)化過程如圖13所示，將不同應(yīng)力等級下的齒輪壽命分布轉(zhuǎn)化為輪齒的壽命分布，然后采用最小二乘法，對各應(yīng)力級S下輪齒壽命的概率密度曲線的相同可靠度分位點進(jìn)行線性擬合，最終得到了輪齒P-S-N曲線。

圖13 齒輪與輪齒的壽命分布轉(zhuǎn)換Fig.13 Life distribution transformation between gear and tooth

這里需要強(qiáng)調(diào)的是，試驗中使用的齒輪試樣為特定的齒輪，它與行星齒輪系中的齒輪的基本參數(shù)相同，如材料、模數(shù)、壓力角、齒寬等。同時，兩者的制造設(shè)備與工藝路線等也要相同，且要求來自于同一批熱處理，這些要求最終能夠保證行星齒輪系可靠度計算的精度。

在獲得了行星齒輪系中輪齒的載荷與強(qiáng)度信息后，便可以完成系統(tǒng)的可靠度計算。對于太陽輪，根據(jù)其目標(biāo)齒的等效恒幅應(yīng)力可以得到其輪齒在σa應(yīng)力等級下的壽命累積分布函數(shù)Fa(x)，由于太陽輪所有輪齒的載荷歷程都相同，因此可以得到太陽輪的可靠度表達(dá)式為

(15)

同理得到行星輪的可靠度表達(dá)式為

(16)

式中：Za與Zc分別為太陽輪與行星輪的齒數(shù)。

內(nèi)齒輪上各個輪齒處于不同的應(yīng)力等級，其中有18個輪齒的齒根彎曲應(yīng)力高于疲勞極限，它們是影響內(nèi)齒輪可靠性的敏感部位，因此考慮這18個輪齒，內(nèi)齒輪的可靠度表達(dá)式為

Rb(x)=(1-Fb1(x))(1-Fb2(x))…

(1-Fb18(x))

(17)

根據(jù)可靠性乘積定律，行星齒輪系的可靠度表達(dá)式為

(18)

將式(15)～式(17)代入式(18)得

(1-Fb1(x))…(1-Fb18(x))

(19)

式(19)中，自變量x表示輪齒的載荷作用次數(shù)，由于行星齒輪系中各個齒輪的嚙合頻率不同，因此需要將式(19)中的自變量統(tǒng)一為機(jī)構(gòu)的運行時間t，根據(jù)表2中的運動學(xué)參量，行星齒輪系的可靠度表達(dá)式變?yōu)?/p>

(20)

同時將兩參數(shù)威布爾分布函數(shù)代入式(20)，并整理得

(21)

式中：βa和θa為在σa應(yīng)力等級下，太陽輪輪齒的壽命分布形狀參數(shù)和尺度參數(shù)；βc和θc為在σc應(yīng)力等級下，行星輪輪齒的壽命分布形狀參數(shù)和尺度參數(shù)；βb1和θb1為在σb1應(yīng)力等級下，內(nèi)齒輪上第一個敏感輪齒的壽命分布形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。

式(21)即為行星齒輪系考慮偏載影響的可靠度計算模型，根據(jù)行星齒輪系的結(jié)構(gòu)參數(shù)和特定齒輪的壽命信息便可以簡單而有效地計算系統(tǒng)在偏載狀態(tài)下的可靠度。當(dāng)用此模型計算齒輪系在均載狀態(tài)下的可靠度時，只需要將輪齒的均載應(yīng)力計算結(jié)果代入模型即可。

表4 偏載狀態(tài)的可靠度計算結(jié)果Table 4 Reliability results with unequal load sharing

表5 均載狀態(tài)的可靠度計算結(jié)果Table 5 Reliability results of equal load sharing

3.2 模型的驗證

行星齒輪系可靠性建模的關(guān)鍵思想是利用最小次序統(tǒng)計量概念，將特定齒輪的壽命分布轉(zhuǎn)化為輪齒的壽命分布，為了對這種轉(zhuǎn)化思想的有效性進(jìn)行驗證，首先介紹一種隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理方法。

在壽命試驗中一般會獲得兩種數(shù)據(jù)，一種是具有準(zhǔn)確失效時間的數(shù)據(jù)，稱之為失效數(shù)據(jù)；另一種是沒有失效就退出試驗，即它的實際壽命要大于試驗時間，這種數(shù)據(jù)稱之為截尾數(shù)據(jù)，以上兩種數(shù)據(jù)統(tǒng)稱為隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)。

將隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)的概念應(yīng)用于齒輪，在齒輪的疲勞試驗中，當(dāng)一個齒輪上的某個輪齒斷裂時立刻停止試驗，這樣便獲得了斷裂輪齒的失效數(shù)據(jù)和其他輪齒的截尾數(shù)據(jù)，將輪齒的隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理可以得到輪齒的概率壽命，并可將其與可靠性模型的計算結(jié)果進(jìn)行對比驗證。

用兩參數(shù)威布爾分布函數(shù)表示輪齒的疲勞壽命，并采用最大似然估計法對隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)進(jìn)行分布參數(shù)估計。用(t1,δ1),(t2,δ2),…,(tn,δn)表示隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)，ti代表第i個輪齒的壽命數(shù)據(jù)，當(dāng)δi=1時ti是失效數(shù)據(jù)；當(dāng)δi=0時ti為截尾數(shù)據(jù)，那么在一個齒輪上，輪齒壽命的隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)模型如圖14所示。

威布爾分布函數(shù)的兩個參數(shù)(β,θ)的似然函數(shù)可表示為

(22)

β的最大似然估計可通過式(23)解得

圖14 輪齒壽命的隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)模型Fig.14 Randomly censored data model for tooth life

(23)

θ的最大似然估計通過式(24)解出

(24)

以圖13中最高應(yīng)力級的17個齒輪的壽命數(shù)據(jù)作為研究對象，從中可以得到17個輪齒的壽命數(shù)據(jù)和408個輪齒的截尾數(shù)據(jù)，共425個輪齒的隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)(一個試驗齒輪上具有25個輪齒)。最終得到的對比結(jié)果如圖15所示。

圖15 兩種方法的概率密度曲線Fig.15 Probability density curves of two methods

由于隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)的樣本量較大，因此其統(tǒng)計結(jié)果比較接近真實值。通過圖15中的結(jié)果對比可以看到，兩者的概率密度曲線具有較高的重合度，均值的相對誤差為7.9%，標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差為8.8%，可見本文的轉(zhuǎn)化模型具有較好的概率壽命計算能力。

4 結(jié) 論

行星機(jī)構(gòu)的偏載問題不容忽視，偏載對行星齒輪系可靠性的影響及齒輪系在偏載狀態(tài)下的可靠度計算方法更是偏載問題的核心。通過以上研究可以得到如下結(jié)論。

2) 針對這種參數(shù)的行星機(jī)構(gòu)，無論均載或是偏載，行星輪都是影響齒輪系可靠性的敏感構(gòu)件。由于其齒數(shù)較少，嚙合頻率較高，加之輪齒雙側(cè)受載，因此其可靠度相對較低。在設(shè)計時應(yīng)該適當(dāng)增加行星輪的強(qiáng)度，用于提高整個系統(tǒng)的可靠度。對于齒輪彎曲疲勞失效模式，內(nèi)齒輪對系統(tǒng)可靠性的影響并不顯著，因此在追求輕質(zhì)量的航空行星減速器的設(shè)計中，可以通過適當(dāng)減小內(nèi)齒輪的齒寬來達(dá)到減小質(zhì)量的目的。

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(責(zé)任編輯： 李世秋)

*Correspondingauthor.E-mail:sysyxie@163.com

Reliabilityanalysisandcalculationforplanetarymechanism

LIMing1,XIELiyang1,*,DINGLijun2

1.SchoolofMechanicalEngineeringandAutomation,NortheasternUniversity,Shenyang110819,China2.AECCLimingOperationSupportCenter,Shenyang110000,China

Foraplanetarymechanism,structuraldesigndefects,manufacturingandinstallationerrors,lackofstiffnessofthesupportstructureandotherfactorsmaycausetoacertaindegreeunequalloadsharing,thusaffectingthelifeandreliabilityoftheentirebody.Areliabilitypredictionmodelfortheplanetarygearsetisestablishedbyusingtheconceptofminimumorderstatistics,andthemodelreflectstheinfluenceofpartialloadonthereliabilityoftheplanetarygearset.Adetailedkinematicsandmechanicsanalysisofthemechanismiscarriedout,andtherandomloadhistoriesofeachgeararecalculated.AccordingtothelawofMinerlinearfatiguecumulativedamage,therandomloadhistoriesaretransformedintoequivalentconstantamplitudeloadspectrums,whicharetakenastheloadinputvariableforthereliabilitymodel.Thefatiguelifedataofspecificgearsarethenstatisticallyprocessed,andthetreatedlifeinformationisusedasthestrengthinputvariableforthereliabilitymodel.Accordingtothepredictionresultofthemodel,theadverseeffectsofpartialloadonthereliabilityoftheplanetarygearsetarequantitativelyexplained,andtheeffectivenessofthemodelisverifiedbyrandomlycensoreddataprocessing.

planetarymechanism;partialloadanalysis;reliabilitycalculation;fatiguelife;bendingstresscalculation

2017-01-17；Revised2017-02-17；Accepted2017-04-24；Publishedonline2017-05-190927

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170519.0927.002.html

s：NationalKeyTechnologyResearchandDevelopmentProgramofChina(2014BAF08B01);NationalNaturalScienceFoundationofChina(51335003)

2017-01-17；退修日期2017-02-17；錄用日期2017-04-24； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間

時間：2017-05-190927

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國家科技支撐計劃 (2014BAF08B01)； 國家自然科學(xué)基金 (51335003)

.E-mailsysyxie@163.com

李銘， 謝里陽， 丁麗君． 行星機(jī)構(gòu)的可靠性分析與計算J． 航空學(xué)報,2017,38(8):421145.LIM,XIELY,DINGLJ.ReliabilityanalysisandcalculationforplanetarymechanismJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(8):421145.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.421145

V215.7； TB302.3

A

1000-6893(2017)08-421145-14