二次函數(shù)

二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的重要內(nèi)容之一.作為一種最基本的初等函數(shù)，通過(guò)它可以研究函數(shù)的許多性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性和最值等.二次函數(shù)可以與一元二次方程、一元二次不等式綜合，并涉及函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等重要的數(shù)學(xué)思想. 因此，二次函數(shù)一直備受高考命題者的“青睞”，成為高考考查的熱點(diǎn).

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：①二次函數(shù)的解析式（一般式、頂點(diǎn)式、零點(diǎn)式）的靈活應(yīng)用；②二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用，如求最值和研究單調(diào)性等；③二次函數(shù)與一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系.

難點(diǎn)：①含參數(shù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題；②含參數(shù)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布（即含參數(shù)一元二次方程根的分布）問(wèn)題；③三個(gè)“二次”的綜合問(wèn)題.

方法突破

1. 二次函數(shù)解題的基本方法

（1）認(rèn)真審題，明確題目考查的方向；利用題目條件，合理選用二次函數(shù)的解析式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；頂點(diǎn)式：y=a（x+k）2+h（a≠0），其中（-k，h）為頂點(diǎn)；零點(diǎn)式：y= a（x-x1）（x-x2）（a≠0））；結(jié)合二次函數(shù)的圖象，運(yùn)用分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想解決最值、取值范圍等問(wèn)題.

（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，其與各系數(shù)間的關(guān)系如下：①a與拋物線的開(kāi)口方向有關(guān)；②c與拋物線在y軸上的截距有關(guān)；③-與拋物線的對(duì)稱軸有關(guān)；④b2-4ac與拋物線和x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有關(guān).

2. 二次函數(shù)解題的基本策略

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式中都有三個(gè)獨(dú)立的參數(shù)，要通過(guò)三個(gè)獨(dú)立條件確定，靈活選用解析式可以優(yōu)化解題步驟，提高解題效率. 在求解二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，一般式用得最多；若涉及二次函數(shù)的最值或?qū)ΨQ性時(shí)緊扣頂點(diǎn)式；若涉及二次函數(shù)的零點(diǎn)（或一元二次方程的根）問(wèn)題時(shí)，首選零點(diǎn)式.

（2）研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對(duì)稱性時(shí)，常常用到如下性質(zhì)：若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），則點(diǎn)A（x1， f（x1））與點(diǎn)B（x2， f（x2））關(guān)于直線x=-對(duì)稱，即x1+x2=-.

（3）二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問(wèn)題?？既N類(lèi)型：軸定區(qū)間定、軸變區(qū)間定、軸定區(qū)間變. 無(wú)論是哪種類(lèi)型，解決的關(guān)鍵是確定對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系. 當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)行分類(lèi)討論. 二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值只可能在區(qū)間的端點(diǎn)或頂點(diǎn)取得. 若二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)a，則必須分a>0，a=0，a<0進(jìn)行第一層的討論，以對(duì)稱軸的不同位置進(jìn)行第二層次的分類(lèi)討論.

（4）一元二次方程區(qū)間根的分布問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問(wèn)題去處理. 解決此類(lèi)問(wèn)題需要考慮四個(gè)要素：開(kāi)口方向、判別式、對(duì)稱軸的位置以及端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào).

（5）三個(gè)“二次”問(wèn)題以二次函數(shù)為中心，運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)把一元二次方程、一元二次不等式聯(lián)系起來(lái)，要重視代數(shù)推理；三個(gè)“二次”問(wèn)題也是研究包含二次曲線等內(nèi)容的基礎(chǔ)工具.

典例精講

1. 二次函數(shù)的解析式

例1 加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”. 在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t（單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c（a，b，c是常數(shù)），如圖1記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù). 根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為（ ）

圖1

A. 3.50分鐘 B. 3.75分鐘

C. 4.00分鐘 D. 4.25分鐘

思索 已知給出的函數(shù)是含三個(gè)參數(shù)的二次函數(shù)，且經(jīng)過(guò)圖中的三個(gè)點(diǎn)，利用待定系數(shù)法，將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可解得二次函數(shù)的解析式，再利用配方法求二次函數(shù)的最值及此時(shí)t的值.

破解 由題意得0.7=9a+3b+c，0.8=16a+4b+c，0.5=25a+5b+c，解之得a=-0.2，b=1.5，c=-2. 所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2（t-3.75）2+0.8125，即當(dāng)t=3.75時(shí)，p有最大值，故選B.

2. 二次函數(shù)的圖象

例2 若a

A. （a，b）和（b，c）內(nèi)

B. （-∞，a）和（a，b）內(nèi)

C. （b，c）和（c，+∞）內(nèi)

D. （-∞，a）和（c，+∞）內(nèi)

思索 由函數(shù)f（x）的解析式具有對(duì)稱性的特征，并結(jié)合選項(xiàng)可知，求解的關(guān)鍵是判斷函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)與a，b，c之間的大小關(guān)系，于是可求出f（a）， f（b）， f（c）的值，并比較它們與0的大小關(guān)系，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可得到答案.

破解 由于a0， f（b）=（b-c）（b-a）<0， f（c）=（c-a）（c-b）>0.

因此f（a）·f（b）<0， f（b）·f（c）<0. 又f（x）是關(guān)于x的二次函數(shù)，數(shù)形結(jié)合（圖略）可知，函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的曲線，因此函數(shù)f（x）的兩零點(diǎn)分別位于區(qū)間（a，b）和（b，c）內(nèi)，故選A.

3. 二次函數(shù)的性質(zhì)

例3 已知函數(shù)f（x）=x-a，g（x）=ax，（a∈R）.

（1）若函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，求出實(shí)數(shù)a的值；

（2）若方程f（x）=g（x）有兩解，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若a>0，記F（x）=g（x）·f（x），試求函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值.

思索 （1）含絕對(duì)值的函數(shù)一般都要去掉絕對(duì)值符號(hào)，化成分段函數(shù)處理.也可以直接作出函數(shù)圖象再結(jié)合題意解決.

（2）含參的一元二次不等式的求解首先考慮分解因式法，其次才是結(jié)合二次函數(shù)根的分布進(jìn)行處理.

破解 （1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x-a為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），即-x-a=x-a，所以4ax=0恒成立，故a=0.

（2）當(dāng)a>0時(shí)，x-a-ax=0有兩解，等價(jià)于方程（x-a）2-a2x2=0在（0，+∞）上有兩解，即（a2-1）x2+2ax-a2=0在（0，+∞）上有兩解.

令h（x）=（a2-1）x2+2ax-a2，因?yàn)閔（0）=-a2<0，所以a2-1<0，Δ=4a2+4a2（a2-1）>0，故0

綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，0）∪（0，1）.

（3）令F（x）=f（x）·g（x）.

①當(dāng)0

②當(dāng)1