矩陣方程組的雙對稱最小二乘解

彭卓華

(湖南科技大學數(shù)學與計算科學學院，湖南 湘潭 411201)

矩陣方程組的雙對稱最小二乘解

彭卓華

(湖南科技大學數(shù)學與計算科學學院，湖南 湘潭 411201)

算法；矩陣方程組；雙對稱解；最小二乘解

1 引言

設R、Rm×n、SRn×n和ARn×n分別表示實數(shù)、m×n實矩陣、n×n實對稱矩陣和n×n實反對稱矩陣集合.In表示n階單位矩陣.Sn(Sn=en,en-1,…,e1)表示n×n反序單位矩陣(ei表示n×n單位矩陣的第i列).AT和tr(A)分別矩陣A的轉(zhuǎn)置和跡. 定義矩陣A和B的內(nèi)積為〈A,B〉=tr(BTA),那么，由這種內(nèi)積生成的范數(shù)，顯然就是Frobenius范數(shù)，即‖A‖2=〈A,A〉.

定義1.1 矩陣A=(aij)∈Rn×n被稱為雙對稱矩陣，如果A=AT=SnASn,即aij=aji=an+1-j,n+1-i.用BRn×n表示n階實雙對稱矩陣集合.

定義1.2 矩陣A=(aij)∈Rn×n被稱為雙反對稱矩陣，如果A=AT=-SnASn,即aij=aji=-an+1-j,n+1-i.用SCRn×n表示n階實雙反對稱矩陣集合.

求解線性矩陣方程組已經(jīng)成為數(shù)值計算領(lǐng)域的熱門課題. 例如，Yuan和Wang[1]利用四元素矩陣的復表示和Moore-Penrose廣義逆給出了矩陣方程AXB + CYD=E帶有最小范數(shù)的最小二乘η-Hermitian和η-anti-Hermitian解的表達式.Wang[2]在正則環(huán)上研究了矩陣方程組A1XB1=C1，A2XB2=C2，得到了這個方程組一般解存在的充分必要條件和表達式. Wang和Li[3]求出了矩陣方程組A1X1=C1，A2X2=C2，A3X1B1+A4X2B2=C3最大最小秩解和最小范數(shù)解，等等.

迭代法經(jīng)常用于解矩陣方程組.例如，Lin和Wang[4]用迭代法求出了矩陣方程組A1X1B1+A2X2B2=E，C1X1D1+C2X2D2=F的解. Ding等[5]用兩種方法研究了矩陣方程組A1XB1=F1，A2XB2=F2. Ding和Chen[6]利用基于梯度搜索原理的迭代法求解了矩陣方程組

(1)

值得注意的是，矩陣方程組(1)包含了很多的矩陣方程組. 然而有關(guān)它的最小二乘雙對稱解還沒有相關(guān)的結(jié)論，而且，用上面文獻中提到的算法，不能求得它的最小二乘雙對稱解. 因此，本文主要研究這個問題，具體描述如下：

2 預備知識

引理2.1[7]若矩陣X∈SRn×n，那么X+SnXSn∈BRn×n，X-SnXSn∈SCRn×n.

引理2.2[7]Rn×n=SRn×n⊕ARn×n=BRn×n⊕SCRn×n⊕ARn×n.

那么?W∈BRmj×mj，則

=〈Υj(Z),W〉.

(2)

引理2.3[8]設Ω表示有限維內(nèi)積空間，Φ是Ω的一個子空間，Φ⊥是Φ的正交補空間. ?x∈Ω，總存在y0∈Φ，使得‖x-y0‖‖x-y‖(?y∈Φ).而且，y0為Φ中唯一最小向量的充分必要條件是(x-y0)⊥Φ，即(x-y0)∈Φ⊥.

3 用迭代法解問題A

(3)

由式(2)知，

算法3.1 任給初始矩陣組(X0，1,…,X0，l)∈BRm1×m1×…×BRml×ml，

Q0,j=P0,j,(j=1,…,l)；

k:=0；

Xk+1,j=Xk,j+αkQk,j(j=1,…,l)；

Qk+1,j=Pk+1,j+βkQk,j(j=1,…,l)；

(4)k:=k+1,轉(zhuǎn)(2).

證明.用數(shù)學歸納法. 第一步證明，當k=1 時，(1)-(3)成立.

因此，當k=1 時，(1)-(3)成立.

第二步證明，假定當k=s，i

當k=s+1，i

(4)

由算法3.1知，矩陣Qiv(is,v=1,…,l)可表示為Qiv=Piv+βi-1Qi-1,v=Piv+βi-1Pi-1,v+βi-1βi-2Pi-2,v+…+βi-1…β0P0,v，

于是可得

(5)

當k=s+1，i

因此，由第一步和第二步知，引理3.2成立.

引理3.2表明，算法3.1生成的矩陣列{diag(Pi1,…,Pil)}在R(m1+…+ml)×(m1+…+ml)上相互正交. 設rj表示子空間BRmj×mj的維數(shù)，那么存在正整數(shù)kr1+…+rl，使得‖Pkj‖2=0，即，在沒有舍入誤差的情況下，算法3.1至多經(jīng)過r1+…+rl次迭代停止. 因此，由以上討論和引理3.2，可得以下定理.

定理3.1 任給初始矩陣組(X01,…,X0l)∈BRm1×m1×…×BRml×ml，通過算法3.1，至多經(jīng)過r1+…+rl次迭代可得問題A的一個解.

j=1,…,l}，其中Hi∈Rpi×hi，i=1,…,t. 顯然，Ψ是BRm1×m1×…×BRml×ml的一個線性子空間.

(6)

(7)

4 數(shù)值實驗

(8)

其中

殘差范數(shù)為

算法3.1的收斂曲線如下：

[1]Yuan S F, Wang Q W. Two special kinds of least squares solutions for the quaternion matrix equation AXB + CXD = E[J]. Electronic Journal of Linear Algebra,2012,(1):257-274.

[2]Wang Q W. A system of matrix equations and a linear matrix equation over arbitrary regular rings with identity[J]. Linear Algebra & Its Applications,2004,(6):43-54.

[3]Wang Q W, Li C K. Ranks and the least-norm of the general solution to a system of quaternion matrix equations[J]. Linear Algebra & Its Applications,2009,(5-6):1626-1640.

[4]Lin Y, Wang Q W. Iterative solution to a system of matrix equations[J]. Abstract and Applied Analysis, 2013, Article ID 124979.

[5]Ding J, Liu Y J, Ding F. Iterative solutions to matrix equations of form AiXBi = Fi[J]. Computers and Mathematics with Applications,2010,(11):3500-3507.

[6]Ding F, Chen T. On iterative solutions of general coupled matrix equations[J]. SIAM Journal on Control and Optimization,2006,(6): 2269-2284.

[7]彭卓華. 幾類相容與不相容約束矩陣方程的迭代法的研究[D].長沙:湖南大學博士學位論文,2007.

[8]Wang R S. Functional Analysis and Optimization Theory[M]. Beijing: Beijing University of Aeronautics and Astronautics Press,2003.

Least-SquareBisymmetricSolutionsofMatrixEquations

PENG Zhuohua

(School of Mathematics and Computing Science, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan Hunan 411201, China)

algorithm; matrix equations; bisymmetric solution; least squares solution.

O241.6

A

1008-4681(2017)05-0001-07

2017-09-06

湖南省教育廳重點項目(批準號：15A062).

彭卓華(1967— )，男，湖南邵東人，湖南科技大學數(shù)學與計算科學學院副教授，博士. 研究方向：數(shù)值代數(shù).

(責任編校：晴川)