基于張量理論的數(shù)控機(jī)床誤差補(bǔ)償模型

褚 寧 張為民,2

(1.同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804； 2.同濟(jì)大學(xué)中德學(xué)院，上海 201804)

基于張量理論的數(shù)控機(jī)床誤差補(bǔ)償模型

褚 寧1張為民1,2

(1.同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804； 2.同濟(jì)大學(xué)中德學(xué)院，上海 201804)

為了進(jìn)一步提高數(shù)控機(jī)床多體運(yùn)動學(xué)誤差模型的精度，提出了基于張量理論的機(jī)床誤差補(bǔ)償模型。首先面向數(shù)控系統(tǒng)列表插值補(bǔ)償方式，提出了應(yīng)用張量理論設(shè)定基礎(chǔ)階、擴(kuò)展階和誤差階來建立機(jī)床誤差張量模型。然后，提出了采用設(shè)定機(jī)床信息、建立張量模型及設(shè)定檢測參數(shù)3個流程實(shí)施誤差補(bǔ)償，并通過多元回歸分析提出了采用4階多項(xiàng)式擬合機(jī)床空間誤差。最后，以某重型車銑復(fù)合機(jī)床實(shí)驗(yàn)為例，提出了分軸步進(jìn)對角線法下的張量誤差模型，采用球桿儀進(jìn)行了圓度誤差檢測實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明該方法能夠有效地提高機(jī)床精度，比多體運(yùn)動學(xué)誤差模型的補(bǔ)償效果更優(yōu)。

誤差補(bǔ)償； 張量理論； 分軸步進(jìn)對角線法； 車銑復(fù)合機(jī)床

引言

數(shù)控機(jī)床的精度模型和誤差補(bǔ)償模型是數(shù)控機(jī)床研究的熱點(diǎn)之一，國內(nèi)外學(xué)者對誤差建模方法進(jìn)行了廣泛而深入的研究。DONMEZ等[1]于1986年提出建立包含幾何誤差和熱誤差的機(jī)床綜合誤差模型。CHANA等[2]采用多體運(yùn)動學(xué)理論建立包含受力變形誤差的三軸機(jī)床誤差模型，LIN等[3]以及TUTUNEA-FATAN等[4]將多體運(yùn)動學(xué)擴(kuò)展到五軸數(shù)控機(jī)床的應(yīng)用。SCHWENKE等[5]在CIRP上系統(tǒng)地回顧了誤差數(shù)值補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)以及測量幾何誤差的可用方法。劉又午等[6]將多體理論運(yùn)用到數(shù)控機(jī)床的全誤差建模。文獻(xiàn)[7-8]通過熱誤差分析結(jié)合幾何誤差建立綜合誤差模型及實(shí)施誤差補(bǔ)償，并擴(kuò)展到五軸機(jī)床的應(yīng)用[9]。粟時(shí)平等[10]提出12線法的誤差辨識方法。李小力[11]`對數(shù)控機(jī)床綜合誤差的建模及補(bǔ)償研究進(jìn)行了系統(tǒng)論述。郭然等[12]采用切比雪夫多項(xiàng)式分解幾何誤差。此外，還有許多學(xué)者分別采用粒子群算法[13]、線性插值算法[14]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[15]、流變理論[16]、微分構(gòu)造[17]和最優(yōu)權(quán)系數(shù)[18]等建模方法來對機(jī)床誤差進(jìn)行建模。多體運(yùn)動學(xué)誤差模型[19-20]由于良好的通用性和有效性，仍是最為常用的機(jī)床誤差建模方式，隨著現(xiàn)代數(shù)控機(jī)床各部件的制造精度越來越高，螺距誤差已不是最大的誤差項(xiàng)，如運(yùn)動部件的直線度誤差及變形誤差都成為重要的誤差來源，以重型龍門機(jī)床為例，懸垂誤差可達(dá)400 μm/2 000 mm[21]，基于多體運(yùn)動學(xué)建模多種誤差來源在公式表達(dá)和計(jì)算上形式過于復(fù)雜，已逐漸不適應(yīng)誤差補(bǔ)償?shù)男枰?/p>

本文在多體運(yùn)動學(xué)機(jī)床模型的基礎(chǔ)上，參考數(shù)控系統(tǒng)列表插值補(bǔ)償方式，提出應(yīng)用張量理論設(shè)定基礎(chǔ)階、擴(kuò)展階和誤差階來建立機(jī)床誤差張量模型。然后基于激光干涉儀制定機(jī)床誤差張量模型檢測與辨識方法。最后以重型車銑復(fù)合數(shù)控機(jī)床為實(shí)例，驗(yàn)證數(shù)控機(jī)床應(yīng)用張量理論建模與補(bǔ)償?shù)目尚行浴?/p>

1 基于張量理論的數(shù)控機(jī)床誤差模型

1.1 數(shù)控系統(tǒng)的誤差補(bǔ)償模型

數(shù)控機(jī)床誤差補(bǔ)償功能按照參數(shù)可以劃分為機(jī)床定義、機(jī)床軸設(shè)定和插值補(bǔ)償表3部分。其中插值補(bǔ)償表采用插值列表形式來實(shí)現(xiàn)具體的誤差補(bǔ)償，是數(shù)控系統(tǒng)誤差補(bǔ)償功能底層實(shí)施的核心?，F(xiàn)有機(jī)床誤差模型多面向擬合精度或運(yùn)動匹配，很少關(guān)注數(shù)控系統(tǒng)插值補(bǔ)償表，以多體運(yùn)動學(xué)誤差模型為例，主要和機(jī)床結(jié)構(gòu)定義相關(guān)，在機(jī)床軸設(shè)定和插值補(bǔ)償表上都只有部分相關(guān)，如圖1所示。

圖1 多體運(yùn)動學(xué)誤差模型對比數(shù)控系統(tǒng)誤差補(bǔ)償功能Fig.1 Multi-body kinematics model of machine-tool and CNC system error compensation function

由圖1可知，多體運(yùn)動學(xué)誤差模型能較好地匹配數(shù)控機(jī)床誤差補(bǔ)償功能的機(jī)床定義，但在機(jī)床軸設(shè)定和插值補(bǔ)償表功能方面有所欠缺，無法全面地指導(dǎo)誤差補(bǔ)償實(shí)施。

1.2 面向數(shù)控系統(tǒng)的誤差張量建模

張量理論是數(shù)學(xué)的一個分支學(xué)科，是力學(xué)和物理學(xué)一個有力的數(shù)學(xué)工具，一般理解上，張量實(shí)為標(biāo)量、向量、線性算子的母概念，1 階張量即為向量，2 階張量即為矩陣，3 階張量就是三維數(shù)組[22]。

圖2 數(shù)控機(jī)床誤差張量模型建模流程圖Fig.2 NC machine-tool error tensor model diagram

以多體運(yùn)動學(xué)誤差模型為基礎(chǔ)，綜合機(jī)床信息和機(jī)床插值點(diǎn)誤差兩部分，建立數(shù)控機(jī)床空間誤差的誤差張量模型。數(shù)控機(jī)床誤差張量模型的建模流程包括設(shè)定機(jī)床信息、建立張量模型及設(shè)定檢測參數(shù)3部分，具體建模流程如圖2所示。

由圖2可知，建立張量模型主要包括設(shè)定張量階數(shù)和設(shè)定張量維數(shù)，因此數(shù)控機(jī)床誤差張量模型最重要的參數(shù)為張量的階數(shù)、維數(shù)以及檢測參數(shù)，可將張量誤差模型定義為基礎(chǔ)階、擴(kuò)展階和誤差階3部分?；A(chǔ)階為定義誤差來源項(xiàng)，前3階為X、Y、Z軸，維數(shù)即為直線軸的插值點(diǎn)數(shù)，如果是五軸機(jī)床則包含2個擴(kuò)展張量階；擴(kuò)展階為定義變形誤差，主要包括負(fù)載變形、切削力變形、熱變形等，維數(shù)為變形的狀態(tài)數(shù)；誤差階為機(jī)床TCP點(diǎn)的誤差，誤差階維數(shù)為誤差項(xiàng)數(shù)量，如X、Y和Z軸向定位誤差、階數(shù)及維數(shù)設(shè)定如表1所示。

表1 數(shù)控機(jī)床誤差張量模型維數(shù)及階數(shù)定義Tab.1 Dimension and order definition of error tensor model

實(shí)際應(yīng)用中數(shù)控機(jī)床的誤差張量模型不限于表1所列的11階，一般根據(jù)機(jī)床結(jié)構(gòu)和誤差檢測設(shè)備條件進(jìn)行簡化，以AC五軸機(jī)床誤差張量模型為例，全誤差張量模型為十階，即M∈RIiIjIkIoIpIqIuIvIw，其中i、j、k為基礎(chǔ)階的維數(shù)，表征X、Y、Z三軸的插補(bǔ)點(diǎn)數(shù)，o、p為五軸旋轉(zhuǎn)階的維數(shù)，表征A、C軸插補(bǔ)點(diǎn)數(shù)，q、u、v為變形誤差階的維數(shù)，表征負(fù)載變形、切削力變形和熱變形的變化狀態(tài)，w為誤差階的維數(shù)，表征機(jī)床的定位誤差、正反向誤差等。令各軸插補(bǔ)點(diǎn)數(shù)為n，在不考慮變形誤差，僅計(jì)算三軸向空間誤差情況下，可建立簡化的誤差張量模型M0∈RInInInInInI3，如僅計(jì)算直線軸則可以建立簡化直線軸誤差張量模型ML∈RInInInI3。

2 面向誤差張量模型的檢測流程及檢測關(guān)鍵參數(shù)

2.1 機(jī)床誤差張量模型的檢測流程

數(shù)控機(jī)床的誤差檢測是誤差建模與補(bǔ)償?shù)闹匾h(huán)節(jié)，對機(jī)床的幾何誤差檢測已有國家標(biāo)準(zhǔn)[23]、國際標(biāo)準(zhǔn)[24]等，但幾何誤差檢測標(biāo)準(zhǔn)的目的在于機(jī)床定標(biāo)，不適于指導(dǎo)精確的誤差補(bǔ)償，無法直接用于誤差補(bǔ)償。激光干涉儀是檢測機(jī)床誤差精度最高的設(shè)備之一，本文基于ISO 230檢測標(biāo)準(zhǔn)，采用激光干涉儀來建立面向數(shù)控系統(tǒng)誤差補(bǔ)償功能的機(jī)床誤差張量模型，步驟及待測參數(shù)如下：

(1)設(shè)定誤差張量模型階數(shù)：按照圖2的建模方法初步建立機(jī)床誤差綜合張量模型，關(guān)鍵參數(shù)為運(yùn)動鏈和誤差張量模型階數(shù)等。

(2)設(shè)定誤差張量模型維數(shù)及插值點(diǎn)間距：根據(jù)直線軸誤差分布規(guī)律和機(jī)床運(yùn)動行程，設(shè)定各直線軸的插值點(diǎn)間距和測量點(diǎn)數(shù)，關(guān)鍵參數(shù)為誤差張量模型維數(shù)和插值點(diǎn)間距等。

(3)設(shè)定采樣路徑：根據(jù)誤差張量模型維數(shù)和直線軸誤差分布規(guī)律設(shè)定激光干涉儀檢測的定位路徑，關(guān)鍵參數(shù)為采樣路徑和采樣次數(shù)。

(4)檢測定位誤差：參考ISO 230-2的標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)循環(huán)，根據(jù)采樣路徑、測量點(diǎn)數(shù)、插值點(diǎn)間距和采樣次數(shù)，實(shí)施定位誤差檢測。

(5)檢測直線度誤差：同定位誤差檢測方法流程相似，但需采用不同的反射鏡組來分別檢測直線度和垂直度誤差。

(6)數(shù)據(jù)處理：基于ISO 230標(biāo)準(zhǔn)，通過計(jì)算正向定位誤差，反向定位誤差，正向直線度誤差，反向直線度誤差，正向垂直度誤差和反向垂直度誤差等關(guān)鍵參數(shù)，建立機(jī)床誤差綜合張量模型。

2.2 檢測關(guān)鍵參數(shù)的實(shí)驗(yàn)

理論上誤差采樣數(shù)據(jù)量越多張量模型精度越高，但過多采樣數(shù)據(jù)量會使得檢測過程過于繁復(fù)以致無法進(jìn)行，因此需要通過分析機(jī)床插值點(diǎn)誤差的分布特點(diǎn)對插值點(diǎn)間距和采樣次數(shù)進(jìn)行合理優(yōu)化。

插值點(diǎn)的主要測量誤差項(xiàng)為插值點(diǎn)的正向平均位置偏差，反向平均位置偏差，插值點(diǎn)的平均位置偏差，插值點(diǎn)的反向誤差，單向定位標(biāo)準(zhǔn)不確定度和單向重復(fù)定位精度等，本文以某型車銑復(fù)合機(jī)床為實(shí)驗(yàn)對象，如圖3所示，為簡化模型，僅計(jì)算直線軸的綜合誤差，直線軸的全工作空間為：x∈[-540,-80] mm，y∈[-500,-40] mm，z∈[-420,-20] mm。

圖3 車銑復(fù)合機(jī)床結(jié)構(gòu)簡圖Fig.3 Topological structure of mill-turn machine

實(shí)驗(yàn)采用ML10型激光干涉儀，按照ISO 230-2的檢測標(biāo)準(zhǔn)，每隔20 mm采樣一個點(diǎn)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)檢測循環(huán)實(shí)行檢測，重復(fù)實(shí)驗(yàn)5次，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示，篇幅所限，僅列出部分X軸定位誤差的測量記錄。

插值點(diǎn)間距的設(shè)定和相鄰插值點(diǎn)的X、Y、Z三向定位誤差有關(guān)。一般認(rèn)為機(jī)床誤差為連續(xù)函數(shù)，需要將誤差檢測值通過函數(shù)擬合來定義定位誤差函數(shù)。在數(shù)控系統(tǒng)內(nèi)通常采用多項(xiàng)式擬合來計(jì)算誤差值，本文也采用多項(xiàng)式擬合來定義誤差函數(shù)，取10次測量的均值為誤差補(bǔ)償值，以X軸定位誤差為例，為了計(jì)算方便，統(tǒng)一以正向檢測誤差為準(zhǔn)。

表2 X軸定位誤差測量值Tab.2 X axis positioning error measurement results μm

圖4 X軸定位誤差測量均值的多項(xiàng)式擬合分析Fig.4 Polynomial fitting analysis of measuring mean of X-axis positioning error

圖5 多項(xiàng)式擬合的殘差分析Fig.5 Residual analysis of polynomial fitting

由圖4、圖5可知常用的1階擬合和殘差為-4.20～5.28 μm，超過±4.0 μm的出廠標(biāo)準(zhǔn)；采用2～5階多項(xiàng)式擬合的殘差絕對值的最大值分別為4.93、4.64、3.37、2.64 μm，采用4階多項(xiàng)式擬合即可達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)；采用2～5階多項(xiàng)式擬合的殘差絕對值的均值分別為1.98、1.96、1.60、1.47 μm，采用5階多項(xiàng)式擬合計(jì)算時(shí)間增加近50%，但精度提高不足10%，綜合分析采用4階多項(xiàng)式擬合已經(jīng)可以較好地對誤差進(jìn)行擬合。

插值點(diǎn)間距的設(shè)定由誤差函數(shù)和誤差補(bǔ)償精度和數(shù)控系統(tǒng)功能決定，一般數(shù)控機(jī)床插值點(diǎn)之間的誤差為線性插值。以X軸為例，先通過三階多項(xiàng)式擬合實(shí)際檢測誤差建立X軸的X、Y、Z三向誤差函數(shù)Px(x)、Py(x)和Pz(x)，即

(1)

式中amn(x)——X軸n向誤差擬合函數(shù)m階項(xiàng)

由式(1)及插值點(diǎn)間距l(xiāng)x和插補(bǔ)段數(shù)i可得數(shù)控系統(tǒng)直線插補(bǔ)所需的插補(bǔ)函數(shù)

(2)

式中iNm(x)——X軸第i段m向誤差插值函數(shù)

計(jì)算所得的X軸誤差可以換算為X軸的三向幾何誤差Ex(x)、Ey(x)和Ez(x)，即

(3)

插值點(diǎn)間距越小，誤差補(bǔ)償效果越好，但檢測時(shí)間變長且數(shù)控系統(tǒng)負(fù)擔(dān)更重。取最大的插值點(diǎn)間距的條件為

(4)

式中Lx——X軸插值全長

Nxmax——X軸最大插值點(diǎn)數(shù)

Em(x,Pn(x))——X軸第n點(diǎn)的m向定位誤差

Rm(x,Pn(x))——X軸第n點(diǎn)的m向重復(fù)定位誤差

Epx——機(jī)床X軸定位精度要求

Rpx——機(jī)床X軸重復(fù)定位精度要求

3 車銑復(fù)合機(jī)床實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 誤差檢測

實(shí)驗(yàn)采用沈陽機(jī)床的某型五軸車銑復(fù)合加工中心[25]，其主要特點(diǎn)在于X、Y、Z構(gòu)成三維空間，C軸為帶分度的車主軸，B軸為繞Y軸旋轉(zhuǎn)的軸，形成刀具與主軸回轉(zhuǎn)中心的夾角，可以換裝銑刀和車刀，總體結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 五軸車銑中心結(jié)構(gòu)示意圖Fig.6 Structure diagram of five-axis mill-turn machine

實(shí)驗(yàn)以直線軸為例，誤差檢測實(shí)驗(yàn)選用光動公司的MCV-5005套件，檢測過程采用分軸步進(jìn)對角線檢測技術(shù)[26]，特點(diǎn)是所測得的位移誤差是平行于運(yùn)動軸線方向的誤差和垂直于運(yùn)動軸線方向的誤差的矢量和。實(shí)驗(yàn)裝置及光路設(shè)定如圖7所示。

圖7 分軸步進(jìn)對角線法(PNP/NPN路徑)Fig.7 Step-diagonal measurement method (PNP/NPN)

設(shè)定分軸步進(jìn)對角線檢測的采樣路徑為PPP和NNN，然后PNP和NPN，然后NNP和PPN，最后NPP和PNN，重復(fù)檢測3次，測量區(qū)間分別為x=[-400,-10] mm，y=[-500,-20] mm，z=[100,1 000] mm，插值點(diǎn)每個軸為31，每條對角線檢測3遍取平均值，如圖8所示。

圖8 分軸步進(jìn)對角線檢測結(jié)果Fig.8 Test results of step-diagonal measurement method

3.2 基于分軸步進(jìn)對角線法的張量誤差模型

數(shù)控機(jī)床誤差綜合張量模型包括正向定位誤差，反向定位誤差，正向直線度誤差，反向直線度誤差，正向垂直度誤差和反向垂直度誤差。通過檢測8條對角線后統(tǒng)一計(jì)算可得，令PPP路徑上對角線矢量的X、Y、Z分量為a、b、c，任意測量點(diǎn)i上的正向定位誤差計(jì)算公式為

(5)

(6)

(7)

式中Em(ni)——n軸第i點(diǎn)的m向正向誤差

εl(ni)k——n軸第i點(diǎn)的k路徑上的激光長度

普通機(jī)床以正向誤差加反向間隙補(bǔ)償即可，如數(shù)控系統(tǒng)包含獨(dú)立的正反向誤差補(bǔ)償程序(SINUMERIK 840D)，則任意測量點(diǎn)i上的反向定位誤差計(jì)算公式為

(8)

(9)

(10)

式中E′m(ni)——n軸第i點(diǎn)的m向反向誤差

將測量數(shù)據(jù)代入式(5)～(10)可得直線軸的誤差簡化張量模型，即建立EL∈RI31×I31×I31×I6。以X軸為例，X軸的誤差簡化張量模型為E(x)=E:11:，參照插值補(bǔ)償如表3所示。

表3 X軸誤差簡化張量模型Tab.3 Error tensor model of X axis mm

840D型數(shù)控系統(tǒng)的誤差補(bǔ)償函數(shù)為高階多項(xiàng)式，理論上選用較高的多項(xiàng)式擬合精度較高，但會造成數(shù)控系統(tǒng)負(fù)載過重，魯棒性較差，需要對多項(xiàng)式的階數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。以EL所得的誤差簡化張量模型為測試數(shù)據(jù)，分析多項(xiàng)式擬合的擬合效果，以殘差平方和Esse為對比標(biāo)準(zhǔn)，Esse定義為

(11)

考慮到數(shù)控系統(tǒng)的應(yīng)用實(shí)際，對比采用1～6階多項(xiàng)式擬合的擬合效果，分為螺距誤差和直線度誤差，結(jié)果如圖9所示。

圖9 多項(xiàng)式擬合效果Fig.9 Polynomial fitting effect

圖9顯示了多項(xiàng)式擬合機(jī)床誤差的擬合效果，螺距誤差的多項(xiàng)式擬合效果較好，3階以上的殘差平方和均小于0.000 03，而直線度的誤差非線性的特征更為明顯，如X軸Z向直線度需要5階以上的擬合才達(dá)到0.000 3，說明誤差補(bǔ)償應(yīng)當(dāng)從只關(guān)注螺距誤差和垂直度誤差轉(zhuǎn)換為更關(guān)注于直線度誤差。

以線性插補(bǔ)的補(bǔ)償效果為基準(zhǔn)，高階多項(xiàng)式的擬合效果如圖10所示。

圖10顯示了多項(xiàng)式擬合階數(shù)對機(jī)床誤差擬合效果的影響，螺距誤差的多項(xiàng)式擬合效果較好，采用3階即可提高擬合精度59.4%～92.5%，5階可提高64.0%～93.2%；各軸直線度的誤差各不相同，X軸3階提高26.4%～54.3%，而Y軸可提高75.5%～95.5%，Z軸為37.4%～57.3%。普通數(shù)控系統(tǒng)可選用3階多項(xiàng)式擬合即可達(dá)到滿意的補(bǔ)償效果，高檔數(shù)控機(jī)床則可選擇更高階的補(bǔ)償函數(shù)，進(jìn)一步提高誤差補(bǔ)償?shù)男Ч?/p>

3.3 基于機(jī)床誤差張量模型的誤差補(bǔ)償

令插值點(diǎn)間距l(xiāng)x=20 mm，以3階多項(xiàng)式擬合正向誤差為例，建立X、Y和Z軸的三向誤差函數(shù)

圖10 多項(xiàng)式階數(shù)擬合效果對比Fig.10 Comparisons of polynomial fitting effect by polynomial order

(12)

(13)

(14)

該型號車銑復(fù)合機(jī)床采用SINUMERIK 840D型數(shù)控系統(tǒng)，通過擴(kuò)展840D型數(shù)控系統(tǒng)SAG懸垂誤差補(bǔ)償功能[27]來實(shí)現(xiàn)數(shù)控機(jī)床誤差張量補(bǔ)償。在840D型系統(tǒng)內(nèi)SAG懸垂誤差補(bǔ)償屬插值補(bǔ)償，提供基準(zhǔn)軸和補(bǔ)償軸選擇，如定義基準(zhǔn)軸$AN_CEC_INPUT_AXIS[6]=(X)，定義補(bǔ)償軸$AN_CEC_OUTPUT_AXIS[6]=(Y)，則代表第6項(xiàng)SAG誤差補(bǔ)償為相對于X軸Y方向上的誤差，將懸垂誤差以直線度誤差代替，則可實(shí)現(xiàn)X軸Y向直線度誤差的補(bǔ)償，其他各軸以此類推。

以球桿儀的圓度誤差檢測實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證機(jī)床張量誤差模型，即將誤差張量模型轉(zhuǎn)換為表3所列誤差表，通過西門子840D的SAG補(bǔ)償功能實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償，以XY軸插補(bǔ)運(yùn)動做圓度誤差檢測為例，結(jié)果如圖11所示。

分別檢測XY平面、XZ平面和YZ平面的圓度誤差，為避免動態(tài)誤差影響，優(yōu)化動態(tài)參數(shù)，并將進(jìn)給率設(shè)定為1 000 mm/min，檢測3次取均值，檢測結(jié)果如表4所示。

XY、XZ和YZ平面的原始圓度誤差在7.4～10.3之間，表明機(jī)床原始精度較高，在單獨(dú)補(bǔ)償各軸螺距誤差后，3個平面的圓度誤差增加12.2%～27.7%，表明空間誤差的補(bǔ)償是三軸誤差的綜合，單獨(dú)的螺距誤差無法優(yōu)化多軸的聯(lián)動精度。通過采用多項(xiàng)式擬合的機(jī)床誤差張量模型實(shí)施補(bǔ)償后，XY平面圓度誤差降低22.3%，XZ平面圓度誤差降低18.9%，XZ平面圓度誤差增加7.2%，由于XY為主要加工面，檢測數(shù)據(jù)較多，考慮到誤差張量模型的補(bǔ)償為綜合優(yōu)化，對XY平面的優(yōu)化效果較好。另一方面，實(shí)際誤差的誤差函數(shù)的擬合階數(shù)越高，誤差補(bǔ)償效果越好。圓度誤差的檢測表明，在較高的機(jī)床原始精度下單純補(bǔ)償激光干涉儀測量的定位誤差已被證明不僅對圓度誤差沒有改善反而會增加圓度誤差，但采用張量模型實(shí)施誤差補(bǔ)償確實(shí)提高了機(jī)床的插補(bǔ)精度。

4 結(jié)論

(1)提出了數(shù)控機(jī)床的誤差張量模型建模方法。通過設(shè)定機(jī)床信息、建立張量模型及設(shè)定檢測參數(shù)3個流程建立數(shù)控機(jī)床誤差張量模型。張量誤差模型可以定義為基礎(chǔ)階、擴(kuò)展階和誤差階3部分。

(2)建立了機(jī)床誤差張量模型的誤差檢測流程和主要檢測參數(shù)。通過設(shè)定誤差張量模型階數(shù)、設(shè)定誤差張量模型維數(shù)及插值點(diǎn)間距、設(shè)定采樣路徑、檢測定位誤差、檢測直線度誤差和數(shù)據(jù)處理6個步驟建立機(jī)床空間誤差張量模型。由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析可得，定位誤差采用低階多項(xiàng)式擬合的精度不足，采用5階多項(xiàng)式擬合計(jì)算時(shí)間增加近50%，但精度提高不足10%，采用4階多項(xiàng)式擬合可以較好地對誤差進(jìn)行擬合。

圖11 誤差補(bǔ)償效果(圓度誤差檢測)Fig.11 Compensation effects by roundness error test

(3)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證誤差張量模型實(shí)施誤差補(bǔ)償?shù)挠行?。建立基于分軸步進(jìn)對角線法的機(jī)床誤差張量模型。螺距誤差的多項(xiàng)式擬合效果較好，3階以上的殘差平方和小于0.000 03，而直線度的誤差需要5階以上的擬合。采用球桿儀進(jìn)行圓度誤差檢測實(shí)驗(yàn)，在機(jī)床原始精度較高(圓度誤差10 μm)條件下，通過誤差張量模型仍能進(jìn)一步提高20%左右，而通用的螺距誤差補(bǔ)償則會降低多軸聯(lián)動的精度12.2%～27.7%。

表4 球桿儀圓度誤差Tab.4 Roundness error by ballbar test

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ErrorCompensationModelofCNCMachine-toolBasedonTensorTheory

CHU Ning1ZHANG Weimin1,2

(1.SchoolofMechanicalEngineering,TongjiUniversity,Shanghai201804,China2.ChineseGermanSchoolforPostgraduateStudies,TongjiUniversity,Shanghai201804,China)

In order to improve the geometric accuracy of high-end CNC machine tools, a machine tool error compensation model based on tensor theory was proposed.Firstly, the error tensor model was established by setting the basic order, the extended order and the error order, which was applicable for error compensation table.Secondly, the error compensation was carried out in three processes, which were setting machine tool information, establishing tensor model and setting detection parameter.Referring to the ISO 230-2 standard, the modeling flow and detection parameters of the error tensor model were presented.Using multiple regression analysis, the linear fitting and residual errors were 2.5 μm, while the four polynomial fit residuals were 1 μm.Finally, taking CNC turn-milling machine experiment as an example, the error tensor model by step-diagonal measurement was proposed.The analysis of experimental data showed that the pitch error by three order fitting can improve the fitting precision by 59.4%～92.5%, the sum of squared residuals was less than 0.000 03; the straightness error needed five order fitting for nonlinear characteristics.The ballbar experiment of roundness error showed that roundness error was increased by 12.2%～27.7%, while only compensated the pitch error.For example, the compensation using error tensor model can be reduced by 22.3% of roundness error atXYplane by three order fitting, which was optimized by 26.4%～95.5% compared with that of the linear interpolation.The experiment showed that the error compensation should be paid more attention to the straightness error.The method of error tensor model can effectively improve the accuracy of machine tools for both pitch error and straightness error.

error compensation; tensor theory; step-diagonal measurement method; CNC turn-milling machine

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.10.052

TH161+.2； TH161+.5

A

1000-1298(2017)10-0408-09

2017-06-08

2017-07-28

國家科技重大專項(xiàng)(2012ZX04005-031)

褚寧(1984—)，男，博士生，主要從事機(jī)床誤差建模、誤差檢測與誤差優(yōu)化研究，E-mail：chuning0126@163.com

張為民(1965—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事金屬切削機(jī)床與加工工藝和制造系統(tǒng)等研究，E-mail：iamt@#edu.cn