非線性黏彈性波動方程解的爆破

寇　偉

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

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非線性黏彈性波動方程解的爆破

寇偉

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

研究了帶有非線性阻尼和源項的黏彈性波動方程解的存在性及爆破性問題。特別地，該方程主部系數(shù)μ(t)是關(guān)于時間t的一個函數(shù)。在假設(shè)條件下，獲得了該問題局部解的存在性。在局部解存在前提下，利用勢井理論和能量方法證明了當(dāng)初始能量有上界時，解在有限時間內(nèi)爆破，并給出了關(guān)于解的爆破時間估計。

解的爆破；非線性黏彈性波動方程；變系數(shù)主部；勢井理論

0　引言

考慮下面的初邊值問題：

(1)

其中：當(dāng)n≥1時,Ω是Rn上帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域；m>2,p>2,g是一個C1類函數(shù)；Δ為關(guān)于空間變量的拉普拉斯算子。

近年來，許多學(xué)者已經(jīng)研究過帶有阻尼項的非線性波動方程的爆破問題[1-5]。文獻(xiàn)[6]考慮了非線性黏彈性波動方程：

證明了當(dāng)m≥p時,帶有任意初始能量的解是全局存在的；當(dāng)m

本文研究的是帶有非線性阻尼和源項的非線性黏彈性波動方程的初邊值問題。特別地，與文獻(xiàn)[6]相比，該方程的主部系數(shù)由常數(shù)1變?yōu)殛P(guān)于t的函數(shù)μ(t)，并將條件由負(fù)初始能量推廣到帶有正上界的初始能量。在此基礎(chǔ)上，參考文獻(xiàn)[8-9]，用勢井理論和能量方法證明了解的爆破，并給出了解的爆破時刻的一個估計。

1　準(zhǔn)備工作

(H1)假設(shè)正實數(shù)m,p滿足

(2)

(H2)假設(shè)μ∈W2,∞(0,∞)∩W2,1(0,∞)幾乎處處在[0,∞)滿足

μ(t)≥μ0>0,μ′(t)<0,

(3)

其中：μ0是一個正數(shù)。

(H3)假設(shè)g滿足下列條件：

(4)

g(s)≥0,g′(s)≤0。

(5)

首先,給出系統(tǒng)的能量:

(6)

其中：

下面引進(jìn)一些勢井理論里的記號：

下面給出解的局部存在性定理。

下面給出證明中用到的4個引理，其證明過程與文獻(xiàn)[8]類似。

注3：在本文中，定義H(t)=E1-E(t)。

引理4如果引理3中的假設(shè)都成立，則對所有的t∈[0,T),2≤s≤p,存在一個正常數(shù)C使得

(7)

其中：C3、L和α將在本文的后面給出。

2　定理2的證明

定理2可分兩種情形證明。

情形1如果0

H′(t):=-E′(t)≥0；

(8)

H(t)≥H0:=E1-E(0)>0。

(9)

根據(jù)引理3、注1、式(3)和式(4)有：

(10)

首先，定義

I(t):=∫Ωutudx+NE1t,t∈[0,T)。

對I(t)求導(dǎo)得：

(11)

對式(11)的第2項運用楊氏(Young’s)不等式和柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式來估計，得：

因此，式(11)變?yōu)椋?/p>

(12)

運用Lp(Ω)→Lm(Ω),有：

(13)

(14)

其次，定義：

(15)

對式(15)關(guān)于t求導(dǎo)，由式(12)和式(14)得：

(16)

很明顯有：

(17)

ε(a2-a3)(g°u)(t)+ε[N-(p-2a3)]E1。

(18)

對式(18)第4項的部分系數(shù)做處理，由式(4)得：

選擇ε,ε1充分小和N足夠大，就有：

(19)

其中：C2是一個正常數(shù)。

由式(19)可知：L(t)是一個增函數(shù)，因此對所有t∈[0,T)，有L′(t)>L0>0。

于是，對所有的t∈[0,T)，有：

L′(t)≥C3Lα(t)，

(20)

(21)

于是有：

(22)

運用引理4，得：

(23)

將式(23)代入式(22)可得：

(24)

(25)

式(25)表明L(t)在有限時間內(nèi)爆破,且爆破時刻的估計式為式(7)。

[1]MESSAOUDI S A.A note on blow up of solutions of a quasilinear heat equation with vanishing inital enery[J].Journal of mathematical analysis & applications,2002,273(1):243-247.

[2]LIU W,WANG M.Blow-up of the solutions for ap-Laplacian equtions with positive inital-enery[J].Acta applicandae mathematicae,2008,103(2):141-146.

[3]TODOROVA G,BITILLARO E.Blow-up for nonlinear dissipative wave equation in RN[J].Journal of mathematical analysis & applications,2005,303(1):242-257.

[4]趙麗英,任俊艷,王周峰.一類非線性波動方程的初邊值問題[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2009,30(3):84-87.

[5]趙麗英,和凌云.一類非線性波動方程解的爆破[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,32(1):75-78.

[6]MESSAOUDI S A.Blow up and global existence in a nonlinear viscoelastic wave equations[J].Mathematische nachrichten,2003,260(1):58-66.

[7]MESSOUDI S A.Blow up of positive-initial-energy solutions of a nonlinear viscoelastic hyperbolic equation[J].Journal of mathematical analysis & applications,2006,320(2):902-915.

[8]LI F,GAO Q.Blow-up of the solutions for a nonlinear Petrovsky type equation with memory[J].Applied mathematics & computation,2016,274(1):383-392.

[9]HA T G.Blow-up for semilinear wave equation with boundary damping and source terms[J].Journal of mathematical analysis & applications,2012,390(1):328-334.

[10]HA T G.Blow-up for wave equation with weak boundary damping and source terms[J].Applied mathematics letters,2015,49:166-172.

國家自然科學(xué)基金項目(11171195)

寇偉(1989-),女,山西太原人,碩士生,主要研究方向為偏微分方程.

2016-06-07

1672-6871(2017)01-0088-05

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.01.018

O175.2

A