基于灰色算子的分形法及應(yīng)用

周偉杰，黨耀國(guó)，顧榮寶

(1.常州大學(xué)商學(xué)院，江蘇 常州 213164； 2.南京航天航空大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 211106;3.南京財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，江蘇 南京 210046)

基于灰色算子的分形法及應(yīng)用

周偉杰1，黨耀國(guó)2，顧榮寶3

(1.常州大學(xué)商學(xué)院，江蘇 常州 213164； 2.南京航天航空大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 211106;3.南京財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，江蘇 南京 210046)

在灰色緩沖算子和灰色調(diào)整系數(shù)的框架下，構(gòu)造灰色算子，提出了權(quán)重可調(diào)的加權(quán)移動(dòng)平均去趨勢(shì)法，進(jìn)一步將其拓廣為多重分形加權(quán)移動(dòng)平均去趨勢(shì)法。算法表明原有的移動(dòng)平均去趨勢(shì)法及其多重分形形式分別是加權(quán)移動(dòng)平均去趨勢(shì)法及其多重分形的特例。用帶波動(dòng)和線性趨勢(shì)的分形高斯噪聲與二項(xiàng)式多重分形進(jìn)行數(shù)值模擬，表明權(quán)重為6的中心加權(quán)移動(dòng)平均去趨勢(shì)法及其多重分形能有效地去除序列趨勢(shì)，計(jì)算出的Hurst值和多重分形譜f()比原有算法更接近真值。將權(quán)重為6的中心加權(quán)移動(dòng)平均去趨勢(shì)法及其多重分形分析南京市氣溫序列的長(zhǎng)記憶性與多重分形性，結(jié)果表明從1951-2008年，七月份氣溫增速要明顯小于一月份的增速，一月份和七月份氣溫都存在長(zhǎng)記憶性，但七月份氣溫序列的長(zhǎng)記憶性要高于一月份，表明一月份和七月份氣溫序列均可預(yù)測(cè)，七月份的可預(yù)測(cè)性更高些，這為通過預(yù)測(cè)對(duì)氣溫災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)防范提供了可行性；此外，一月份、七月份的氣溫序列均有多重分形性，說明可從多標(biāo)度角度對(duì)其建模分析。

灰色算子；加權(quán)移動(dòng)平均去趨勢(shì)法；多重分形加權(quán)移動(dòng)平均去趨勢(shì)法；長(zhǎng)記憶性

1 引言

分形特征和長(zhǎng)記憶性普遍存在于自然界和社會(huì)科學(xué)中[1-2]。計(jì)算單分形和多重分形的方法有很多，比如結(jié)構(gòu)函數(shù)法、去趨勢(shì)波動(dòng)法(Detrended Fluctuation Analysis,簡(jiǎn)記為DFA)、配分函數(shù)法、小波領(lǐng)袖多重分形法等[3-4]。英國(guó)水文學(xué)家Hurst提出的重標(biāo)極差R/S分析法是研究時(shí)間序列分形特征最基本的方法[5]，然而經(jīng)典的R/S分析難以區(qū)分短期和長(zhǎng)期記憶性[6]。Peng 等在研究DNA分子鏈內(nèi)部相關(guān)性時(shí)提出的去趨勢(shì)波動(dòng)法(DFA)[7]，與R/S分析法相比，它更具有穩(wěn)健性[8]。DFA及其多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)法(Multifractal Detrended Fluctuation Analysis，簡(jiǎn)記為MFDFA)已被用于生物、醫(yī)學(xué)、自然、地質(zhì)、水文、氣候、金融等序列的結(jié)構(gòu)分析中[9]。最近，Alessio等[11]將Vandewalle 和Ausloos[10]提出的移動(dòng)平均技術(shù)進(jìn)行了推廣，提出了移動(dòng)平均去趨勢(shì)法(Detrended Moving Average，簡(jiǎn)稱DMA法)，由于DMA可以在無任何假定條件下處理非平穩(wěn)信號(hào)的長(zhǎng)記憶性(相關(guān)性)，已在實(shí)際序列中得到廣泛應(yīng)用[12-14]。進(jìn)一步的數(shù)值模擬表明DMA算法在某些方面要優(yōu)于DFA算法[15-16]。在DMA的基礎(chǔ)上，Gu 和Zhou提出多重分形移動(dòng)平均去趨勢(shì)法(Multifractal Detrended Moving Average, 簡(jiǎn)記為MFDMA)，數(shù)值模擬結(jié)果表明，MFDMA在多重分形分析方面要優(yōu)于多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)法[17]。

DMA算法在計(jì)算時(shí)間序列{x(t)}某點(diǎn)x(t0)的趨勢(shì)時(shí)采用均值化算子，即取x(t0)周圍s個(gè)點(diǎn)平均值作為x(t0)的趨勢(shì)。然而，在實(shí)際生活中時(shí)間序列各點(diǎn)之間是相互聯(lián)系的，與x(t0)相近點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性一般要大于遠(yuǎn)離x(t0)的點(diǎn)。根據(jù)這一原則，在計(jì)算某點(diǎn)的趨勢(shì)時(shí)應(yīng)該給予鄰近點(diǎn)更大的權(quán)重，為此可以構(gòu)造加權(quán)去趨勢(shì)算子。由劉思峰[18]提出的灰色緩沖算子從把握真實(shí)行為序列的變化規(guī)律出發(fā)，弱化沖擊擾動(dòng)因素，光滑原始序列，使時(shí)間序列的預(yù)測(cè)精確性得到進(jìn)一步提高。如劉以安等[19]利用灰色緩沖算子提高了雷達(dá)系統(tǒng)的跟蹤精度。吳正朋等[20]構(gòu)造一類新弱化灰色算子，使模型精度得到提高。此外，灰色系統(tǒng)理論中灰類調(diào)整系數(shù)具有鄰近某個(gè)灰類其權(quán)重較大的特點(diǎn)[21]。因此，本文借鑒緩沖算子能析出序列變化趨勢(shì)及灰類調(diào)整系數(shù)能區(qū)分因素重要性的特點(diǎn)，先將灰色緩沖算子與灰色調(diào)整系數(shù)結(jié)合構(gòu)造出灰色算子，進(jìn)而提出權(quán)重可調(diào)的加權(quán)移動(dòng)平均去趨勢(shì)法(Detrended Weighted Moving Average，簡(jiǎn)記為DWMA)，用于計(jì)算時(shí)間序列的長(zhǎng)記憶性，即Hurst指數(shù)，簡(jiǎn)記為H。進(jìn)一步將DWMA拓展為多重分形形式(Multifractal Weighted Detrended Moving Average，簡(jiǎn)記為MFDWMA)。類似Peng等[7]的做法，通過數(shù)值模擬，來檢驗(yàn)加權(quán)移動(dòng)平均去趨勢(shì)法的效果。

在實(shí)證部分，將上述模型用于分析南京市氣溫序列的長(zhǎng)記憶性。氣溫與人們社會(huì)生產(chǎn)生活息息相關(guān)，特別是高溫、低溫氣候會(huì)影響到工業(yè)生產(chǎn)以及農(nóng)作物生長(zhǎng)等，因此對(duì)氣溫變化規(guī)律的把握可以減少災(zāi)害，防范風(fēng)險(xiǎn)。由于影響氣溫的因素有很多，促成氣溫是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，利用一般的線性模型(例如Auto Regressive Moving Average模型，簡(jiǎn)記ARMA)難以深入研究氣溫的結(jié)構(gòu)特征。而Madbollettt提出的分形技術(shù)，通過消除序列的趨勢(shì)性來研究序列內(nèi)部的相關(guān)性，可應(yīng)用于非線性學(xué)科的分析研究中。如王鵬和袁小麗[22]基于金融資產(chǎn)多重分形特征提出的多標(biāo)度分形非對(duì)稱測(cè)度，能提高VaR精度。Kalamaras等[23]利用多重分形法分析了希臘克里特島日氣溫序列，表明序列具有長(zhǎng)記憶和多重分形性。Mali[24]利用MFDFA法研究了1850-2012年全球月度氣溫序列，結(jié)果表明氣溫序列的長(zhǎng)記憶性以及分布特征是其產(chǎn)生多重分形性的主要原因，序列的多重分形可用二項(xiàng)式多重分形擬合。根據(jù)Pincus和Kalman[25]對(duì)長(zhǎng)記憶與近似熵關(guān)系的研究，序列的長(zhǎng)記憶性越強(qiáng)，其可預(yù)測(cè)性也越強(qiáng)。故整確探測(cè)出序列的長(zhǎng)記憶性是建模預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)。本文利用DWMA和MFDWMA法，以南京市一月份和七月份氣溫為研究對(duì)象，分析其長(zhǎng)記憶性和多重分形性，并與DMA和MFDMA算法比較，檢驗(yàn)新算法的有效性。

2 加權(quán)移動(dòng)平均去趨勢(shì)法(DWMA)

2.1移動(dòng)平均去趨勢(shì)法(DMA)

步驟1. 設(shè){x(t)}為一時(shí)間序列，t=1,2,…,N,

(1)

步驟2.計(jì)算移動(dòng)平均趨勢(shì)：

(2)

步驟3.計(jì)算序列殘差：

(3)

(4)

F(s)∝sH,

(5)

對(duì)式(5)兩邊取對(duì)數(shù)，通過最小二乘擬合可計(jì)算H值，顯然，F(xiàn)(s)與s之間的冪律性越好，則lnF(s)與lns的線性性也好，這樣計(jì)算出的H值也更具有可信性。一般而言，H∈[0,1],當(dāng)H=0.5時(shí)，時(shí)間序列中不存在相關(guān)性。當(dāng)H≠0.5時(shí)，序列存在長(zhǎng)記憶性，序列之前變動(dòng)趨勢(shì)會(huì)影響以后走勢(shì)；0

2.2灰色算子

DMA算法在計(jì)算x(t0)點(diǎn)的趨勢(shì)時(shí)，采用均值化算子，而在實(shí)際中，時(shí)間序列的發(fā)展具有內(nèi)在聯(lián)系性，與x(t0)鄰近點(diǎn)的變化趨勢(shì)對(duì)x(t0)的影響要比遠(yuǎn)離x(t0)點(diǎn)更加重要。為此，建立加權(quán)移動(dòng)平均去趨勢(shì)法，圖1表示DWMA構(gòu)建路線圖。

圖1 加權(quán)移動(dòng)去趨勢(shì)構(gòu)建路線圖

定義 1[21]設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為作用于X的算子，X經(jīng)過算子D作用后所得序列記為XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d),稱D為序列算子，XD為一階算子作用序列。

定義 2[21]稱滿足不動(dòng)點(diǎn)、信息充分利用、解析化和規(guī)范化三公理的序列算子為緩沖算子。

定義 3[21]設(shè)有s個(gè)不同的決策灰類，令

(6)

定義4 設(shè){x(t)}為一時(shí)間序列，t=1,2,…,N。

當(dāng)θ=0時(shí)，t=1,2,…,N-s+1,令：

(7)

(8)

(9)

性質(zhì) 1當(dāng)λ>0時(shí)，x(t0)鄰近點(diǎn)在算子中的權(quán)重大于遠(yuǎn)離x(t0)的點(diǎn)，即：

當(dāng)λ<0時(shí)，則情況相反。

性質(zhì) 3 當(dāng)λ=0時(shí)，均值化算子是灰色趨勢(shì)算子的特例。

2.3加權(quán)移動(dòng)平均去趨勢(shì)法(DWMA)

2.4數(shù)值模擬

在數(shù)值模擬部分，通過小波變換隨機(jī)產(chǎn)生長(zhǎng)度為10000，H=0.1、H=0.3、H=0.5、H=0.7和H=0.9的分形高斯噪聲(Fractional Gaussian Noise，簡(jiǎn)記為FGN)，同時(shí)加入人工波動(dòng)趨勢(shì)s=0.01sin(2πt/10000)和線性趨勢(shì)l=0.000005t(t=1:10000)，用以檢驗(yàn)DWMA的效果以及λ取值對(duì)H值的精度影響。圖2為含趨勢(shì)的分形高斯噪聲。在數(shù)值模擬中，先取λ=0,1,2,…,20對(duì)1000條分形高斯噪聲進(jìn)行了模擬，發(fā)現(xiàn)計(jì)算出H的精度呈U型，λ=6時(shí)精度最高，這與性質(zhì)2中λ取值不宜過大是一致的。為了節(jié)省空間和討論方便，沒有給出全部結(jié)果(如需要，可與作者聯(lián)系)，只取λ=6的DWMA與 DMA(即DWMA(λ=0))算法進(jìn)行比較。此外，主要考慮向后、中心、向前加權(quán)移動(dòng)去趨勢(shì)算法，即θ=1、θ=0.5、θ=0。標(biāo)度s的范圍取為10∶2000。在模擬中，λ=6、θ=0.5時(shí)的DWMA去趨勢(shì)效果較好，計(jì)算精度也較優(yōu)。為了能清楚地表示出加權(quán)移動(dòng)平均去趨勢(shì)法效果，給出了中心DWMA (θ=0.5)，權(quán)重調(diào)整系數(shù)λ=0和6時(shí)標(biāo)度s和波動(dòng)函數(shù)F(s)雙對(duì)數(shù)圖，見圖3。對(duì)于其它λ和θ值的雙對(duì)數(shù)圖在此省略。

圖2 帶趨勢(shì)分形噪聲H=0.9 (a)無趨勢(shì) (b)波動(dòng)趨勢(shì) (c)線性趨勢(shì)

圖3 趨勢(shì)下s和F(s)的雙對(duì)數(shù)圖(a) λ=0, θ=0.5 (b) λ=6, θ=0.5 (c) λ=0, θ=0.5 (d) λ=6, θ=0.5

對(duì)于DMA算法，從圖3(a)和(b)可以看出，在s=1000處出現(xiàn)交叉現(xiàn)象，這是由于在進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，時(shí)間序列中加入了波動(dòng)和線性趨勢(shì)，根據(jù)文獻(xiàn)[7]，趨勢(shì)和帶噪信號(hào)之間的競(jìng)爭(zhēng)導(dǎo)致雙標(biāo)度的產(chǎn)生；對(duì)于λ=6的DWMA，圖3(c)和(d)標(biāo)度s和波動(dòng)函數(shù)F(s)的雙對(duì)數(shù)圖幾乎成一條直線，從而說明DMA可能并沒有完全或者只是去除部分趨勢(shì)，而λ=6時(shí)的中心DWMA去趨勢(shì)效果較好，能控制標(biāo)度較大時(shí)標(biāo)度和波動(dòng)函數(shù)之間的冪律性。為了檢驗(yàn)中心DWMA計(jì)算H值的精度性，記數(shù)值模擬出的Hurst值為h，結(jié)果見表1。

表1 帶趨勢(shì)分形噪聲模擬的h值

從表1可以看出，若權(quán)重調(diào)整系數(shù)λ不變，中心DWMA (θ=0.5)所計(jì)算出的h值與真值H比較接近。當(dāng)H≤0.5時(shí)，無論在波動(dòng)趨勢(shì)或是線性趨勢(shì)下，向后(θ=1)、向前(θ=0) DWMA計(jì)算出的h值比H>0.5時(shí)更遠(yuǎn)離真實(shí)值；甚至對(duì)于H=0.1、H=0.3計(jì)算出的結(jié)果基本不可信。若位置參數(shù)θ不變，除了在波動(dòng)趨勢(shì)下H=0.3和H=0.5時(shí)，由DWMA (λ=6)計(jì)算的h值比DMA(即DWMA(λ=0))法更遠(yuǎn)離真實(shí)值，其余均優(yōu)于DMA法。因此，總的來說，取λ=6,θ=0.5時(shí)的DWMA法模擬出的h值與真值更接近，去趨勢(shì)效果也較好，可用于時(shí)間序列分析中。

3 多重分形加權(quán)移動(dòng)平均去趨勢(shì)法(MFDWMA)

將加權(quán)移動(dòng)平均去趨勢(shì)法(DWMA)中的均方根波動(dòng)函數(shù)F(s)拓展為q階波動(dòng)函數(shù)Fq(s),可得到DWMA的多重分形形式——多重分形加權(quán)移動(dòng)平均去趨勢(shì)法(MFDWMA)，算法的步驟1～4與DWMA相同，步驟5～步驟6為：

步驟 5.計(jì)算q階波動(dòng)函數(shù)：

(10)

(11)

步驟 6.對(duì)于不同標(biāo)度s,若F(s)與s之間存在冪律性，則有：

Fq(s)∝sh(q),

(12)

對(duì)式(12)兩邊取對(duì)數(shù)，通過最小二乘擬合可計(jì)算h(q)值。時(shí)間序列的多重分形性可通過分析廣義Hurst指數(shù)h(q)與q的依存關(guān)系來判斷。由式(12)構(gòu)造標(biāo)度指數(shù)τ(q)：

τ(q)=qh(q)-1,

(13)

若標(biāo)度指數(shù)τ(q)為q的非線性函數(shù)，則時(shí)間序列具有多重分形性。通過勒讓德變換，可計(jì)算多重分形兩個(gè)最重要的參數(shù)，奇異指數(shù)α和多重分形譜f(α)：

α(q)=h(q)+qh′(q),

(14)

f(α)=q[α-h(q)]+1

(15)

奇異指數(shù)α(q)和多重分形譜f(α)描述了時(shí)間序列的奇異程度。根據(jù)MFDWMA的構(gòu)造來看，原有的多重分形移動(dòng)平均去趨勢(shì)波動(dòng)(MFDMA)是其λ=0時(shí)的特例。利用二項(xiàng)式多重分形x(k)=an(k-1)(1-a)nmax-n(k-1),k=1,2,…,T,T=2nmax,nmax=10,對(duì)新算法進(jìn)行數(shù)值模擬。同時(shí)為了比較MFDMA與MFDWMA去趨勢(shì)效果，在二項(xiàng)式多重分形中加入波動(dòng)趨勢(shì)0.0001sin(2π(1:1024)/1024)和線性趨勢(shì)0.000005(1∶1024),見圖4。α(q)和f(q)的解析值見文獻(xiàn)[17]。

在分析MFDMA和MFDWMA去趨勢(shì)效果和計(jì)算多重分形參數(shù)精度時(shí)，類似于分析DWMA算法精度，也采用向后(θ=0)、中心(θ=0.5)、向前(θ=1)三種位置參數(shù)來分析。在對(duì)權(quán)重系數(shù)λ選取時(shí)，發(fā)現(xiàn)λ∈[5,10]時(shí)，MFDWMA求解的多重分形參數(shù)值較為精確，限于篇幅，暫未給出(若需要，可聯(lián)系作者)。由于有時(shí)需要同時(shí)對(duì)金融時(shí)間序列的單分形和多重分形進(jìn)行分析，DWMA在計(jì)算序列單分形時(shí)候取λ=6，因此為了計(jì)算的方便性，在利用MFDWMA計(jì)算序列多重分形時(shí)，也取λ=6。

圖4 二項(xiàng)式多重分形及其加波動(dòng)和線性趨勢(shì)后的二項(xiàng)式多重分形

圖5 MFDMA和MFDWMA的去趨勢(shì)波動(dòng)函數(shù)圖

圖5為去趨勢(shì)波動(dòng)函數(shù)Fq(s)與標(biāo)度s之間的雙對(duì)數(shù)圖，可以看出，無論對(duì)于加入波動(dòng)或是線性趨勢(shì)的二項(xiàng)式多重分形，MFDWMA(λ=6，θ=0.5)計(jì)算出的波動(dòng)函數(shù)lnFq(s)與標(biāo)度lns的線性性(相應(yīng)于Fq(s)與s之間的冪律性)要好于MFDMA(θ=0.5)，這樣計(jì)算出的H(q)也更具可信性。對(duì)于向后(θ=0)、向前(θ=1)也發(fā)現(xiàn)具有類似特征，限于篇幅，暫未給出(若需要，可聯(lián)系作者)。圖6為加入波動(dòng)趨勢(shì)和線性趨勢(shì)的二項(xiàng)式多重分形譜，α和f(α)為多重分形參數(shù)。圖6(a)和(b)中不帶符號(hào)的黑色實(shí)線為加趨勢(shì)前的二項(xiàng)式多重分形譜解析值，可看出無論是加入波動(dòng)趨勢(shì)或是線性趨勢(shì)，在MFDWMA(λ=6，θ=0.5)計(jì)算下的多重分形譜，即帶菱形符號(hào)的墨綠色實(shí)線與解析值最為接近。同時(shí)，總的來說，相應(yīng)于三種不同位置參數(shù)的MFDMA和MFDWMA(λ=6)，MFDWMA(λ=6)計(jì)算出的多重分形比MFDMA更接近解析值。因此，考慮序列內(nèi)部相互關(guān)系的MFDWMA在計(jì)算多重分形時(shí)更有優(yōu)勢(shì)，MFDWMA(λ=6，θ=0.5)和DWMA(λ=6，θ=0.5)在計(jì)算序列單分形和多重分形是較為理想的算法。

4 實(shí)證分析

在實(shí)證部分，分析南京市氣溫序列的長(zhǎng)記憶與多重分形性。南京市地處長(zhǎng)江中下游流域，江蘇省西南部，處在亞熱帶季風(fēng)區(qū)域，濕度大、夏季受歐亞大陸低氣壓影響，雨水充沛、較為炎熱，并且持續(xù)的時(shí)間較長(zhǎng)，冬季受歐亞大陸氣團(tuán)影響較大，比較寒冷、干燥，是典型的內(nèi)丘陵氣候，與武漢、 南昌、重慶并稱為中國(guó)的“四大火爐”。表2為南京市1951-2008年一月份和七月份的氣溫序列統(tǒng)計(jì)表。一月最高溫、最低溫、平均溫表示1951-2008年一月份每日最高氣溫、最低氣溫、平均氣溫組成的序列，每條序列長(zhǎng)度均為1798個(gè)。七月最高溫、最低溫、平均溫的表示含義和一月份相同。從表中可以看出，南京市一月份氣溫的最大值、最小值分別為21℃、-14℃，二者相差35℃，平均氣溫為2.31℃。七月份氣溫的最大值、最小值分別為39.7℃、16.8℃，二者相差22.9℃，平均溫度為28.06℃。偏度系數(shù)除一月份最高溫其余5條序列均為負(fù)數(shù)，說明在這些序列的分布具有左偏性，序列中氣溫處于高位的情形較少。從正態(tài)性檢驗(yàn)(JB)來看，序列的分布均不服從正態(tài)分布。單位根檢驗(yàn)(ADF和PP)表明一月份氣溫序列是平穩(wěn)的，七月份序列具有非平穩(wěn)性。圖7為南京市1951-2008年一月份和七月份氣溫的日數(shù)據(jù)和年平均數(shù)據(jù)序列，圖中虛線為線性趨勢(shì)線。圖7.a1、a2、a3、c1、c2、c3表示南京市1951-2008年一月份日最高、日最低、日平均氣溫和七月份日最高、日最低、日平均氣溫序列。從各個(gè)子圖的線性趨勢(shì)線來看，其斜率均為正數(shù)，表明南京市氣溫在一月份、七月份氣溫總體呈上升趨勢(shì)，但對(duì)于日數(shù)據(jù)來說，上升變化是很微弱的。為了更清楚地反映上升趨勢(shì)的強(qiáng)度，在圖7.b1、b2、b3、d1、d2、d3中分別做出一月份、七月份最高氣溫、最低氣溫、平均溫度的年平均序列圖(共有58個(gè)數(shù)據(jù))，及其線性趨勢(shì)線。從中可以看出，南京市1951-2008年一月份的年平均最高氣溫、最低氣溫、平均氣溫的增幅分別為0.14℃ /10a，0.3℃ /10a，0.2℃ /10a，表明在一月份，南京市最高氣溫每10年增長(zhǎng)0.14℃，平均氣溫增長(zhǎng)0.2℃，最低氣溫增長(zhǎng)最快，每10年增長(zhǎng)0.3℃。南京市1951-2008年七月份的年平均最高氣溫、最低氣溫、平均氣溫的增幅分別為0.045℃/10a，0.08℃/10a，0.103℃ /10a，表明在七月份，南京市最高氣溫每10年增長(zhǎng)0.045℃，最低氣溫增長(zhǎng)0.08℃，平均氣溫增長(zhǎng)最快，每10年增長(zhǎng)0.1℃，但對(duì)于每類氣溫，七月份增速要小于一月份的增速。

根據(jù)DWMA和MFDWMA法，做出波動(dòng)函數(shù)F(s)與時(shí)間標(biāo)度s之間的雙對(duì)數(shù)圖，以求出序列長(zhǎng)記憶性的Hurst指數(shù)，見圖8。其中帶星號(hào)，位于毎幅圖形上部分的曲線為在原有的DMA(= 0.5)下做出的雙對(duì)數(shù)圖，帶加號(hào)，位于圖下部分的曲線即為本文提出的改進(jìn)分形法(DWMA，λ= 6，= 0.5)做出的圖。圖中H表示Hurst指數(shù)，R2為線性擬合度。圖8.a1、a2、a3表示一月份最高溫、最低溫、平均溫的波動(dòng)函數(shù)與時(shí)間標(biāo)度之間的雙對(duì)數(shù)圖。從三個(gè)子圖中可以看出，兩種方法做出雙對(duì)數(shù)圖的線性擬合度非常接近，都在0.94以上，說明得出的標(biāo)度指數(shù)具有可信性。所計(jì)算出的Hurst指數(shù)均在0.5以上，表明一月份最高溫、最低溫、平均溫均存在長(zhǎng)記憶性。然而, 由本文提出的改進(jìn)分形法(DWMA)計(jì)算出一月份最高溫、最低溫、平均溫的Hurst指數(shù)均在0.69左右，而由原有的DMA計(jì)算出的Hurst指數(shù)相差較大。事實(shí)上，由于在同一天，最高溫、最低溫、平均溫所受的外部環(huán)境相差不大，三者應(yīng)該具有相類似的結(jié)構(gòu)特征。此外，一月份最高溫、最低溫、平均溫均為平穩(wěn)序列，因此，對(duì)于平穩(wěn)序列，盡管原有算法所得出冪律性(轉(zhuǎn)化為雙對(duì)數(shù)圖，即為線性擬合度)較好，但結(jié)果不如本文提出的DWMA法穩(wěn)定。為此，可選擇DWMA計(jì)算出的Hurst值作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)于七月份氣溫，圖8.b1,b2,b3刻畫了其波動(dòng)函數(shù)F(s)和時(shí)間標(biāo)度s之間的冪律性，從三個(gè)子圖中可以看出，由原有的DMA法做出的雙對(duì)數(shù)圖，其線性擬合度均在0.75左右，且曲線出現(xiàn)了明顯的震蕩現(xiàn)象，與線性性相去甚遠(yuǎn)，故所計(jì)算出的Husrt指數(shù)真實(shí)性也是值得懷疑的。由DWMA(λ= 6，= 0.5)做出波動(dòng)函數(shù)和時(shí)間標(biāo)度之間的雙對(duì)數(shù)線性擬合度在0.96以上，說明新算法優(yōu)于原算法。三條氣溫序列的Hurst指數(shù)均在0.74左右，表明七月份最高溫、最低溫、平均溫存在長(zhǎng)記憶性，且長(zhǎng)記憶性要大于一月份各氣溫序列。由于七月份序列具有非平穩(wěn)性，故從結(jié)果來看，DWMA處理非平穩(wěn)序列的效果要優(yōu)于DMA法。

圖6 MFDMA和MFDWMA的二項(xiàng)式多重分形譜

均值標(biāo)準(zhǔn)差最大值最小值峰度偏度JBADFPP一月最高溫6.974.1121-5.23.170.2216.76-3-7.15一月最低溫-1.173.7310.5-142.8-0.043.61-18.6-19.46一月平均溫2.313.2612.2-93.09-0.157.23-10.77-12.97七月最高溫32.223.3939.721.52.62-0.5396.27-0.98-0.69七月最低溫24.782.233016.82.68-0.4259.82-0.74-0.42七月平均溫28.062.7234.119.22.42-0.3460.66-0.89-0.49

圖7 氣溫序列及其趨勢(shì)線

利用MFDWMA(λ= 6，= 0.5)，做出南京市一月份、七月份最高溫、最低溫、平均溫序列的多重分形譜，見圖9?？梢钥闯?，六條序列均具有多重分形性，多重分形譜圖的左半部分，一月份、七月份的最高溫、最低溫、平均溫的多重分形幾乎重合；在右半部分，最高溫和平均溫的多重分形也是基本相同，最低溫的多重分形比前二者更窄些，暗示南京市最高溫和平均溫序列的內(nèi)部結(jié)構(gòu)比最低溫序列更復(fù)雜些。上述分析表明，盡管南京市一月份、七月份的最高溫、最低溫、平均溫序列多重分形大致相同，但仍存在一定差別，這意味著利用多重分形可以更加細(xì)致的分析序列內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

圖8 氣溫序列s和F(s)的雙對(duì)數(shù)圖

圖9 氣溫序列的多重分形譜圖

5 結(jié)語

灰類調(diào)整系數(shù)，從決策的角度，給予鄰近灰類更大的權(quán)重，灰色緩沖算子從把握序列變化趨勢(shì)的角度，提高模型精度，將二者結(jié)合構(gòu)造新的灰色算子，用于代替移動(dòng)平均去趨勢(shì)法(DMA)中的均值化算子，從而建立權(quán)重可調(diào)的加權(quán)移動(dòng)平均去趨勢(shì)法(DWMA)，進(jìn)一步將其拓展為多重分形形式(MFDWMA)。分析指出了DMA(MFDMA)是DWMA(MFDWMA)的特例。數(shù)值模擬表明權(quán)重為6的中心DWMA(MFDWMA)法能有效地去除序列趨勢(shì)，其計(jì)算出Hurst、f()的精度優(yōu)于原有算法。將新方法分析南京市一月份、七月份氣溫序列的長(zhǎng)記憶性和多重分形性，結(jié)果表明一月份和七月份的最高溫、平均溫和最低溫序列均具有長(zhǎng)記憶性和多重分形性，且一月份與七月份的最高溫和平均溫序列的內(nèi)部結(jié)構(gòu)比最低溫序列更復(fù)雜些。這說明一月份和七月份氣溫序列具有可預(yù)測(cè)性，為通過氣溫預(yù)測(cè)進(jìn)行災(zāi)害防范提供了理論支撐。本文提出的DWMA(MFDWMA)法也可用于生物、醫(yī)學(xué)、水文、地質(zhì)等領(lǐng)域中。

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TheModifiedFractalMethodsBasedontheGreyOperatorandTheirApplication

ZHOUWei-jie1,DANGYao-guo2,GURong-bao3

(1.Business College,Changzhou University,Changzhou, 213164,China;2.College of Economics and Management, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106,China;3.School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics Nanjing 210046,China)

Under the framework of grey buffer operator and grey adjustment coefficients, the grey operation is constructed, and the weighted detrended moving average with adjustable weighted coefficients and its multifractal form called as multifractal weighted detrended moving average are put forward. The original detrended moving average is a special of the modified fractal method. Numerical simulation on fractal Gauss noise and binomial multifractal withuctuation and linear trend shows that the centered detrended weighted moving algorithm whose weight is 6 can effectively remove the sequence trend, and the accuracy of Hurst and f() calculated by weighted detrended moving average and multifractal weighted detrended moving average are more close to analytics value compared with original algorithm. In empirical part, the long term memory and multifractality of daily temperature series in Nanjing from 1951 to 2008 by modified methods are investigated. The results show that the growth rate of temperature in July is significantly smaller than that of January; compared to the original methods, the conclusions from modified fractal methods are more close to reality; all temperature sequences have the long term memory feature, but the long term memory of daily temperature series in contained the highest, the lowest and the average temperature are stronger than that in January, which indicates that predictability of temperature in July is higher than that in January. The prediction of temperature series gives a way to manage the temperature disaster risk. Besides, temperature series of Nanjing in January and July possess multifractality, which suggest that the temperature series can be studied from multi scale. Through the shape of multifractal spectrum, it is found that the internal structure of the highest and average temperature sequences are more complex than the lowest temperature sequences whether for January or July.

1003-207(2017)10-0089-11

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.10.010

C931

A

2014-05-22；

2017-07-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71701024)

周偉杰(1983-)，男(漢族)，江蘇常州人，常州大學(xué)商學(xué)院，講師，研究方向：灰色系統(tǒng)、金融工程，E-mail:wjzhou@cczu.edu.cn.

Keywords： grey operator; weighted detrended moving average; multifractal weighted detrended moving average; long memory