CAPM及線性規(guī)劃模型在尾礦生產(chǎn)中的應用

,

(江西理工大學 理學院, 江西 贛州 341000)

文章編號：2096-2983(2017)05-0286-06DOI：10.13258/j.cnki.nmme.2017.05.007

CAPM及線性規(guī)劃模型在尾礦生產(chǎn)中的應用

張 翔,匡奕群

(江西理工大學 理學院, 江西 贛州341000)

以銅陵有色控股有限集團公司下屬某礦山尾砂壩為例,針對尾砂壩的尾礦生產(chǎn)建立規(guī)劃模型進行分析討論.通過建立含有貼現(xiàn)率Rt的目標規(guī)劃模型對貼現(xiàn)率Rt進行分析,并基于此構造加權平均法(CAPM)模型,對貼現(xiàn)率中體現(xiàn)項目風險和特點的γ值進行分析.其次,在明確了采砂工程流程之后確定模型的約束條件,建立采砂工程的組合線性規(guī)劃模型,并對模型進行分析.最終通過對模型結果的分析,得出能合理規(guī)劃尾砂生產(chǎn)、開采,并使其收益最大的方案.

CAPM模型; 貼現(xiàn)率; 線性規(guī)劃; 尾礦生產(chǎn)

尾礦是礦業(yè)及冶煉廠在選礦、冶煉之后排放的廢棄物,但由于選礦及冶煉技術水平的限制,其中仍含有大量有色及非金屬等礦物成分,是寶貴的二次資源.在經(jīng)濟、技術條件允許的情況下,應再次進行有效開發(fā).銅陵有色控股有限集團公司旗下的礦山有著多年的歷史,其部分礦山由于多年的生產(chǎn)經(jīng)營,產(chǎn)生了大量的堆集尾砂礦,集中在天馬山尾砂壩、烏目山尾砂壩、林沖尾砂壩等地區(qū)(部分礦山處于破產(chǎn)經(jīng)營狀態(tài),缺少對尾砂壩的治理資金).

基于此,本文針對閉庫工程中的采砂(即尾礦生產(chǎn)工程),結合CAPM模型進行生產(chǎn)計劃的規(guī)劃建模,分析尾礦壩的最優(yōu)生產(chǎn)方式.同時使用線性規(guī)劃模型,對尾礦壩尾砂開采時所需要的人力資源進行了詳細的分析規(guī)劃.為如何處理積留下來的尾礦資源提供了思路.

1 基礎CAPM模型

在尾砂壩的尾礦生產(chǎn)計劃中,可結合指數(shù)模型和加權平均成本法(以下簡稱CAPM)構建目標模型,對尾砂壩的尾礦生產(chǎn)計劃進行合理的規(guī)劃控制.其基本理論如下.

該指數(shù)模型[1]是針對收益率進行分析的線性模型,其結構為:

r=E(r)+b

(1)

式中:r為收益率;E(r)為期望收益率;b為擾動項.

對于任何一種商品的收益率,都可將其看作該商品的期望收益率E(r)與擾動項b的分割.那么在這種假設下,將b進行分割之后,擾動項b里面一定存在特有的經(jīng)濟因素的影響,也就是:

r=E(r)+m+e

(2)

式中:m為系統(tǒng)風險因素;e為該商品的特有風險因素.

根據(jù)馬科維茨的研究結果可知,系統(tǒng)風險因素m與商品的特有風險因素e相互獨立.即m值和e值的方差可相加[2]:

(3)

就不同的商品i和j而言,由于其各自與系統(tǒng)性風險相互獨立,商品i和j方差的相協(xié)方差為:

cov(ri,rj)=cov(m+ei,m+ej)

(4)

由于商品與市場并不是相互獨立的.在給定一個用來衡量特定商品對市場波動敏感度的正參數(shù)β后,確定對商品i的基本關系式:

ri=E(ri)+βim+ei

(5)

假設該模型符合正態(tài)分布,得到如下結果:

cov(i,j)=cov(βim+e,βjm+e),

(6)

最終可求商品的收益率期望值如下:

E(ri)=α+βiE(rm)

(7)

式中:擾動項e已經(jīng)被取出;參數(shù)α為常數(shù),代表了該商品超過市場平均收益的超額收益,其余均可視為商品受市場收益率的波動現(xiàn)象[3].

CAPM模型又稱資產(chǎn)定價模型,根據(jù)指數(shù)模型可以假設商品i和市場組合的協(xié)方差為:

cov(ri,rm)= cov(ri,∑wiri)=

∑wicov(ri,rj)

(8)

如此,在市場中商品i對風險溢價(E(rm)-rf)的貢獻為(E(ri)-rf)·wi.從而可以得出商品i在整個市場組合中的風險貢獻為wi·cov(ri,rm).

當市場處于相對均衡的狀態(tài),且商品i的收益-協(xié)方差的比值和市場不對等時,投資者會傾向于選擇放棄或大量持有該商品,從而迫使商品的價格發(fā)生變化,這種行為會進一步地導致收益和方差比值發(fā)生變化直至二者相等.在這種情況下可以總結出如下公式[4]:

(9)

變換之后可得:

(10)

將上述β的定義代入式(10)后可得:

Ri=rf+βi(Rm-rf)

(11)

式中:(Rm-rf)為市場系統(tǒng)性風險的超額收益;Rm為市場組合風險的收益;βi為商品i對市場超額收益率的敏感度.

以上數(shù)值加上無風險收益,最終構成了商品的收益率.

2 CAPM模型在尾礦生產(chǎn)中的應用探討

2.1CAPM尾礦生產(chǎn)模型描述

在實際生產(chǎn)中影響尾砂壩尾砂生產(chǎn)的約束條件如下.

(1) 質(zhì)量與產(chǎn)量約束:每年采出尾礦量與尾礦品位在一定范圍內(nèi)波動.

(2) 資源約束:從(i,j,k)區(qū)域中累計采出的尾礦量小于或等于該區(qū)域擁有的尾砂量.

(3) 挖掘能力約束:采出的礦石量必須符合挖掘能力的約束.

(4) 非負約束:決策變量不小于零是線性規(guī)劃的基本要求.

(5) 其他約束條件:挖掘場挖掘能力約束、選礦能力約束、冶煉能力約束、維修工作能力約束、勞力約束等.

綜合上述條件,為使得尾砂壩達到產(chǎn)量最大或者成本最低,可建立目標函數(shù)如下:

(12)

式中:n為尾砂壩計劃編制時限;i,j,k為尾砂的幾何位置;xt(i,j,k)為尾砂壩(i,j,k)位置于t時間采出的尾礦量;C(i,j,k)為(i,j,k)位置單位尾砂盈利;Rt為t時間的貼現(xiàn)率.

為確定模型中的C(i,j,k),取該礦山化驗室2016年某時段對尾砂壩的取樣報告進行分析和預估報告,如表1所示.

表1 尾砂壩尾砂采樣分析報告中三氧化二鐵和硫的質(zhì)量分數(shù)Tab.1 Sampling analysis report in tailings dam %

當單位尾砂三氧化二鐵含量處于不同比例時,其盈利浮動如表2所示.

表2 單位尾砂盈利浮動表Tab.2 Relocation table of unit profit tailing

上述目標函數(shù)的目的是使尾砂壩生產(chǎn)成本最低或尾砂礦產(chǎn)量最大,但其數(shù)學表達式應隨約束條件的不同而改變,其中約束條件也應視尾砂壩的生產(chǎn)技術條件而定.通過建立的數(shù)學模型求解目標函數(shù),根據(jù)目標函數(shù)的解可制定最優(yōu)的開采計劃,并隨時調(diào)整開采進度.一般該模型只要有滿足收益最大的解,便視為可行解.

2.2模型分析

通過對式(11)中該目標函數(shù)模型的分析可以看出,單位尾砂的盈利C(i,j,k)和尾砂壩在t時間采出的尾礦量xt(i,j,k)在常規(guī)情況下均為較穩(wěn)定的系數(shù).模型中的貼現(xiàn)率Rt為影響模型決策的決定因素,應根據(jù)Rt值的變化對尾砂壩生產(chǎn)計劃進行規(guī)劃及調(diào)整.

現(xiàn)階段貼現(xiàn)率Rt值的確定普遍采用如下方法:

加權平均成本法(以下簡稱CAPM),CAPM作為基于風險資產(chǎn)期望收益均衡基礎上的預測模型之一,把資產(chǎn)的預期收益與預期風險之間的理論關系,用一個簡單的線性關系表達出來,即認為一個資產(chǎn)的預期收益率與衡量該資產(chǎn)風險的一個尺度值之間存在正相關關系.

如此,構建CAPM法的基礎模型:

(13)

在該模型中,為使得尾砂壩的生產(chǎn)收益達到最大,尾砂壩生產(chǎn)方必須承擔尾礦市場的系統(tǒng)風險才可得到風險溢價.故需要對風險利率進行建模分析,其模型如下:

E(ri)=rf+[E(rm)-rf]γ

(14)

式(14)中,γ反映的是具體項目的風險和特點,也是在該模型中需要特別討論的一個決定因素.

γ系數(shù)在該模型中是用以度量尾砂壩生產(chǎn)資產(chǎn)系統(tǒng)風險的指針,是用來衡量尾礦資源相對總體礦產(chǎn)市場的波動性的一種風險評估工具.也就是說,如果一種尾礦的價格和市場的價格波動性是一致的,那么這個尾礦資源的γ值就是1.如果一種尾礦資源的γ是1.5,就意味著當尾礦的市場上升10%時,該尾礦資源價格會上升15%;當尾礦市場下降10%時,該尾礦資源的價格亦會下降15%.理想狀況下兩者的關系如圖1所示.

圖1 γ值與收益率關系示意圖Fig.1 Relationship diagram of γ and profit rate

圖1表述了在理想狀況下γ值與收益率的變化關系.但是在現(xiàn)實情況下,γ值需通過統(tǒng)計分析同一時期市場每天的收益情況,以及單個礦產(chǎn)資源每天的價格收益來計算,其值變化浮動不定且不易統(tǒng)計.在此為了便于理解,假設當前γ=0.25,市場收益率=12.8%,無風險利率=6.0%.那么在該種情況下,該礦產(chǎn)資源的貼現(xiàn)率計算如下:

Rt=6.0%+(12.8%-6.0%)×0.25=7.7%

首先假設在某一時段中Rt值的浮動區(qū)間為0～14%,尾砂壩的計劃生產(chǎn)力度則用百分比表示(0～120%,其生產(chǎn)能力極限為120%).Rt值的變化對尾砂壩生產(chǎn)計劃的影響如圖2所示.

圖2 Rt值與尾砂壩生產(chǎn)計劃關系Fig.2 Relationship diagram of Rt and production plan

由圖2可以清晰地看出,當Rt值穩(wěn)定在0～4%時.由于收益較低,尾砂壩應減緩其生產(chǎn)力度使之緩慢上升，保持在20%～40%.當Rt值上升至5%～8%時,應增加其生產(chǎn)力度使之上升，并保持在60%～120%(取決于尾砂壩的現(xiàn)實生產(chǎn)狀況),在此時可以達到尾砂壩生產(chǎn)的最大收益效果.當Rt值大于10%時，由于尾砂壩本身的生產(chǎn)能力限制以及風險的存在,將尾砂壩的計劃生產(chǎn)力度保持在120%是此時的最優(yōu)選項.

以上討論了在Rt值處于持續(xù)上升狀態(tài)時尾砂壩的計劃生產(chǎn)力度的變化情況.當Rt值處于持續(xù)上下浮動狀態(tài)時,對尾砂壩的計劃生產(chǎn)力度進行同樣的調(diào)整,如圖3所示.

圖3 Rt值上下浮動時尾砂壩計劃生產(chǎn)力度關系變化Fig.3 Dynamic relationship change while Rt float up or down

綜合以上分析,建立尾砂壩生產(chǎn)計劃的最終計算模型:

(15)

為便于上述模型的結果進行分析,假設單位尾砂的盈利C(i,j,k)和尾砂壩在t時間采出的尾礦量xt(i,j,k)均為定值,且C(i,j,k)·xt(i,j,k)=α,則可得:

(16)

對以上的模型和范例分析后可知,在尾砂生產(chǎn)收益的影響因素[rf+[E(rm)-rf]∑wicov(ri,rj)]中,當E(rm)-rf>0,且∑wicov(ri,rj)的值處于上升狀態(tài)時,尾砂的生產(chǎn)收益處于最大狀態(tài).最終對上述模型進行計算,從而得出尾砂壩生產(chǎn)中的貼現(xiàn)率,并對Rt值的變化分析得出當前尾礦生產(chǎn)的成本是否與其回報相吻合,從而對尾礦壩的生產(chǎn)計劃進行準確和實時的調(diào)整,達到尾砂壩生產(chǎn)收益最大的目標.

3 尾礦開采工藝及建模分析

3.1采礦流程

尾砂壩采砂流程如圖4所示.

圖4 尾砂壩采砂流程圖Fig.4 Sand excavation flow chart of tailing dam

3.2尾礦開采作業(yè)模型描述

在尾砂壩的實際開采作業(yè)中,采用組合線性規(guī)劃模型進行建模分析,其約束條件如下:

(1) 一臺挖掘機只負責一個采區(qū)的挖掘工作.

(2) 由于配礦系統(tǒng)的實際情況,每一工班輸出的尾砂品位變動較大,因此控制目標為在較長的時間內(nèi)滿足所需要的尾砂平均品位.

(3) 尾礦采區(qū)很大,無需在下1 h內(nèi)考慮其采砂區(qū)域Bij的大小.

(4) 控制的目標是充分利用所有有效的人員和設備,并且力求尾砂產(chǎn)量穩(wěn)定在目標G*.

建立目標函數(shù)模型:

min|G-G*|

(17)

式中:G為現(xiàn)實產(chǎn)量;G*為目標產(chǎn)量;目標函數(shù)的約束條件如下:

(18)

式中:xij為挖掘機i在1 h內(nèi)從采區(qū)j中挖掘出的尾砂量;di為挖掘機到最近貨場的距離;Si為挖掘機i的極限挖掘能力;h為工班數(shù);m為某臺挖掘機的適宜采區(qū)數(shù);T為所有汽車行駛1 km的運輸能力.

根據(jù)上述計算模型及約束條件,建立現(xiàn)實產(chǎn)量G(A)的計算公式:

(19)

式中:Gij為挖掘機i在采區(qū)j所采出尾礦的品味;η為調(diào)整系數(shù),η是指由運輸控制系統(tǒng)按相應的數(shù)字配車,而不是用挖掘機模型所計算出來的精確噸數(shù).

3.3建模效果分析

綜上所述,尾礦開采作業(yè)的整體模型的目標函數(shù)如下:

min|G-G*|=

(20)

圖5 模型線性規(guī)劃示意圖(圖中xij代表Fig.5 Model linear programming schematic

通過對圖5以及上述模型的分析可以看出,在本節(jié)的針對尾礦開采作業(yè)的規(guī)劃模型中最優(yōu)解的存在范圍.同時該模型的目標為充分利用所有有效的人員和生產(chǎn)設備,優(yōu)化生產(chǎn)能力的同時保證尾砂產(chǎn)量的穩(wěn)定.目標規(guī)劃模型一般用于解決滿足眾多約束條件之后求解最優(yōu)解,但在實際生產(chǎn)中約束條件的變化較大.根據(jù)尾砂壩實際生產(chǎn)的人員和設備條件,在本節(jié)針對尾礦開采作業(yè)的規(guī)劃模型中,一般只要有滿足約束方程的解,便視為可行解.

4 結 論

本文針對尾砂壩的生產(chǎn)，建立使尾砂壩達到收益最大效果的規(guī)劃模型,并進行分析討論.其中需要針對模型中的貼現(xiàn)率Rt進行重點分析,基于此構造加權平均法(CAPM)模型,對貼現(xiàn)率中體現(xiàn)項目風險和特點的γ值進行分析,確定了γ值與收益率之間的關系.最終得出的結論可以使得決策者更加容易地根據(jù)γ值的變化進行決策,選擇最優(yōu)的尾砂生產(chǎn)方案.在明確了采砂工程的流程之后,建立了采砂工程的組合線性規(guī)劃模型,并確定了該模型的約束條件.根據(jù)模型建立了線性規(guī)劃圖,對模型的效果進行了分析.根據(jù)分析結果確定了尾砂壩采砂工程的實際方案.利用數(shù)學建模方法,對尾砂壩的尾砂生產(chǎn)收益進行了計算,并得出了合理的結果.

[1] 陳青,李子白.我國流動性調(diào)整下的CAPM研究[J].數(shù)量經(jīng)濟技術經(jīng)濟研究,2008,25(6):66-78.

[2] 衛(wèi)東.行為資產(chǎn)定價模型與實證檢驗[J].生產(chǎn)力研究,2003(5):82-85.

[3] 王彩萍,陳玉罡.資產(chǎn)流動成本和CAPM的修正[J].中山大學研究生學刊(社會科學版),2001,22(4):129-133.

[4] 郭靜,李經(jīng)路.CAPM的緣起、現(xiàn)狀與展望[J].中國物價,2015(6):51-54.

CAPMandLinearProgrammingMathematicalModelApplicationinTailingsProduction

ZHANG Xiang,KUANGYiqun

(College of Science, Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou 341000, China)

Taking the tailings dam of a mine owned by Tongling Nonferrous Metals Group Holdings Corporation as an example,a planning model for tailings production of tailings dam is analyzed and discussed.By establishing a goal programming model that contains discount rateRt,this paper builds the CAPM model.The valueγof the discount rate which reflects the risk and characteristics of the project is analyzed as well.Moreover,after defining the flow of sand mining project,the constraints of the model are determined,and the combined linear programming model of sand mining project is established and analyzed.Furthermore,through the analysis of the model results,it is concluded that the tailings production and mining can be reasonably planned and the benefits can be maximized.

CAPM mathematical model; discount rate; linear programming; tailings production

2017-03-22

張 翔(1990—),男,碩士研究生. 研究方向: 數(shù)學建模與軟件應用. E-mail: majesty_zhang@163.com

TM911.4

A