分擔(dān)連續(xù)函數(shù)的全純函數(shù)正規(guī)族

劉芝秀，李運通，黃小杰

(1.南昌工程學(xué)院 理學(xué)院，南昌 330099；2.陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 教務(wù)處，渭南 714000)

分擔(dān)連續(xù)函數(shù)的全純函數(shù)正規(guī)族

劉芝秀1，李運通2，黃小杰1

(1.南昌工程學(xué)院 理學(xué)院，南昌 330099；2.陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 教務(wù)處，渭南 714000)

研究了分擔(dān)連續(xù)函數(shù)的全純函數(shù)族的正規(guī)性問題，推廣了一些已有的結(jié)論.設(shè)F為定義在區(qū)域D上的全純函數(shù)族，h1,h2為兩個連續(xù)函數(shù)滿足對?z∈D有h1(z)≠h2(z)，并設(shè)k≥2為正整數(shù).若?f∈F，有f(z)=hi(z)?|f(k)(z)|≤|hi(z)|，i=1,2，則F為D上的正規(guī)族；并舉例說明了k=1時，結(jié)論不成立.此外，還將分擔(dān)值條件用拓撲度條件代替得到了一個涉及拓撲度條件的全純函數(shù)族正規(guī)定則.

正規(guī)族；全純函數(shù)；值分布；拓撲度

1 引言和主要結(jié)果

本文繼文獻[1]后用拓撲度理論研究了分擔(dān)連續(xù)函數(shù)的全純函數(shù)族的正規(guī)性問題，有關(guān)值分布和正規(guī)族等方面的概念結(jié)論詳見文獻[2-4]，下面僅扼要介紹正規(guī)族、分擔(dān)值和拓撲度的概念及記號.

設(shè)D為平面區(qū)域，F(xiàn)為D上的亞純函數(shù)族，若對任意的函數(shù)列{fn}?F存在子列在D上局部一致收斂于一亞純函數(shù)或局部一致趨于∞，則稱F是D上的正規(guī)族.

設(shè)f(z),g(z),a(z)均為D上的函數(shù)，若f(z)-a(z)=0，必有g(shù)(z)-a(z)=0，則記為f(z)=a(z)?g(z)=a(z).所以，若f(z)-a(z)和g(z)-a(z)有相同的零點，則可記為f(z)=a(z)?g(z)=a(z)，稱f(z)與g(z)IM分擔(dān)a(z).

有關(guān)拓撲度的概念詳見文獻[5]，設(shè)M為形式(f;U;y)的集合，這里U為中的有界開區(qū)域，f:U→為一連續(xù)函數(shù)，yf(?U)，則存在一確定的整值函數(shù)d:M→滿足一定的條件，此函數(shù)d:M→稱為拓撲度.特別地，若f為一非常數(shù)全純函數(shù)，則d(f;U;0)為f(?U)圍繞0的回轉(zhuǎn)數(shù).

Schwick[6]首先把分擔(dān)值與正規(guī)族聯(lián)系起來并證明了定理A.

定理A[6]設(shè)F為區(qū)域D上的亞純函數(shù)族，a1，a2，a3為3 個相互判別的有窮復(fù)數(shù).若?f∈F，f(z)=ai?f′(z)=ai，i=1,2,3，則F為D上的正規(guī)族.

近年來，不少學(xué)者研究此類問題產(chǎn)生了許多新方法與技巧，并導(dǎo)出了很多結(jié)果與新問題.例如，關(guān)于分擔(dān)函數(shù)的正規(guī)族問題，Pang等[7]，Lü等[1]證明了下列結(jié)論.

定理B[7]設(shè)F為定義在區(qū)域D上的全純函數(shù)族，h(z)為不恒為0的全純函數(shù).若?f∈F，f(z)=0?f′(z)=0且f′(z)≠h(z)，則F為D上的正規(guī)族.

定理C[1]設(shè)F為定義在區(qū)域D上的全純函數(shù)族，設(shè)h1,h2為兩個連續(xù)函數(shù)滿足h1(z)≠h2(z)對任意z∈D.若?f∈F，有f(z)=h1(z)?f′(z)=h1(z)和f(z)≠h2(z)，則F在D上正規(guī).

定理D[1]設(shè)F為定義在區(qū)域D上的全純函數(shù)族，設(shè)h1,h2,h3為3個連續(xù)函數(shù)滿足對?z∈D,hi(z)≠hj(z),i≠j.若?f∈F，有f(z)=hi(z)?f′(z)=hi(z),i=1,2,3,則F為D上的正規(guī)族.

本文推廣了上述定理，證明了下面的結(jié)論.

定理1設(shè)F為定義在區(qū)域D上的全純函數(shù)族，h1,h2為兩個連續(xù)函數(shù)滿足對?z∈D，h1(z)≠h2(z)，并設(shè)k≥2為正整數(shù).若?f∈F，有f(z)=hi(z)?|f(k)(z)|≤|hi(z)|,i=1,2，則F為D上的正規(guī)族.

注1定理1中條件k≥2是不能去掉的，因為當k=1時定理1的結(jié)論是不成立的，下面的例子說明了這個事實.

例1設(shè)D為單位圓，令h1(z)=ez,h2(z)=-ez，且fn(z)=ezsin(nz),n=1,2,….則

但是{fn}在z=0不正規(guī).

注2類似定理1的證明，定理C中的條件f(z)=h1(z)?f′(z)=h1(z)可以減弱為f(z)=h1(z)?|f′(z)|≤|h1(z)|.

由于全純函數(shù)的拓撲度d(f;U;0)為f(?U)圍繞0的回轉(zhuǎn)數(shù)，再注意到輔角原理則可以考慮把分擔(dān)值條件用拓撲度條件來代替.

定理2設(shè)F為定義在區(qū)域D上的全純函數(shù)族，設(shè)h1,h2為兩個連續(xù)函數(shù)滿足h1(z)≠h2(z)對任意z∈D，k≥1為正整數(shù)，假設(shè)下述條件成立.

(i) 對任意區(qū)域Δ，常數(shù)ρ,b和任意f∈F，若ρz+b∈D對任意z∈Δ，有

d(f(ρz+b)-h1(ρz+b);Δ;0)=d(f(k)(ρz+b)-h1(ρz+b);Δ;0),

這里d(f;Δ;0)為拓撲度；

(ii)

f(z)=h2(z)?|f(k)(z)|≤|h2(z)|.

則F為D上的正規(guī)族.

注3由定理2的證明方法可以看出，定理2中的條件(ii)同樣可以用拓撲度條件d(f(ρz+b)-h2(ρz+b);Δ;0)=d(f(k)(ρz+b)-h2(ρz+b);Δ;0)一同代替掉，F(xiàn)仍然為正規(guī)族.

2 幾個引理

為了證明定理，首先給出下述引理.

引理1[8]設(shè)F為定義在區(qū)域D上的亞純函數(shù)族，若F在z0∈D不正規(guī)，則存在

(a) 點列zn∈D,zn→z0;

(b) 函數(shù)列fn∈F;

(c) 正數(shù)點列ρn→0.

滿足fn(zn+ρnξ)=gn(ξ)→g(ξ)局部一致收斂，其中g(shù)為一非常數(shù)亞純函數(shù).

引理2[5]拓撲度函數(shù)滿足下列性質(zhì)：

Hurwitz定理在亞純函數(shù)正規(guī)族證明中往往能起重要的作用，但是，對于連續(xù)函數(shù)，此定理不成立，不過有類似Hurwitz定理作用的下述引理.

引理3設(shè)fn(n=1,2,…)為一連續(xù)函數(shù)列，在D局部一致收斂于一個連續(xù)函數(shù)f，若d(f,Uz0,w)≠0，{Uz0}是z0的鄰域基，則存在一數(shù)列{nk}?+和一點列znk滿足znk→z0且fnk(znk)=w.

證 設(shè)Ur={z||z-z0|

d(fn;Ur;w)=d(f;Ur;w)≠0.

注4[1]特別地，若f是一個非常數(shù)全純函數(shù)且f(z0)=0，則可得d(f;Ur;0)為f(?Ur)圍繞0的回轉(zhuǎn)，由輻角定理可得d(f;Ur;0)為f在Ωr取0值的次數(shù).故d(f;Ur;0)≠0，那么存在一個數(shù)列{nk}?+和一點列znk滿足znk→z0且fnk(znk)=0.

注5下列例子說明了引理3(注4)中條件d(f,Uz0,w)≠0(f為全純函數(shù))是必須的.

3 定理1的證明

假設(shè)F在z0不正規(guī)，則根據(jù)引理1，可選擇函數(shù)列(fn)?F，數(shù)列(zn)和正數(shù)列(ρn)滿足zn→z0,ρn→0和

gn(ζ)=fn(zn+ρnζ)→g(ζ)

(1)

(2)

和

Hn(ζ)=fn(zn+ρnζ)-h1(zn+ρnζ)→g(ζ)-h1(z0)=H(ζ)

(3)

接下來，將證明g(ζ)-h1(z0)僅有至少k+1重零點.

假設(shè)H(ζ0)=g(ζ0)-h1(z0)=0.注意到Hn→H在局部一致收斂和引理3的注4，則存在子列{ζn}滿足ζn→ζ0和(對足夠大的n)

Hn(ζn)=fn(zn+ρnζn)-h1(zn+ρnζn)=0.

它表明g(ζ)-h1(z0)僅有至少k+1重零點.類似地，可得g(ζ)-h2(z0)僅有至少k+1重零點.

綜合hi(z0)≠hj(z0)(i≠j)和第二基本定理，有

矛盾.故定理1得證.

4 定理2的證明

假設(shè)F在z0不正規(guī)，則根據(jù)引理1，可選擇函數(shù)列(fn)?F，數(shù)列(zn)和正數(shù)列(ρn)滿足zn→z0,ρn→0和

gn(ζ)=fn(zn+ρnζ)→g(ζ)

(4)

Hn(ζ)=fn(zn+ρnζ)-h1(zn+ρnζ)→g(ζ)-h1(z0)=H(ζ)

(5)

和

(6)

因H為整函數(shù)，所以由輻角定理可得d(H;Δr;0)等于H在Δr上的零點個數(shù)，即d(H;Δr;0)=p.注意到fn(zn+ρnζ)-h1(zn+ρnζ)→H(ζ)在局部一致收斂，可得(當n足夠大)

d(fn(zn+ρnζ)-h1(zn+ρnζ);Δr;0)=d(H;Δr;0)=p.

通過假設(shè)(i)得

顯然

另外，應(yīng)用定理1的方法，可證g(ζ)-h2(z0)僅有k+1重零點.

進而，應(yīng)用第二基本定理可得

矛盾.故定理2得證.

[1] Lü F,ZHOU F.A new study on normal families concerning continuous functions [J].ActaMathematicaScientia，2014,34A(6):1348-1352.

[2] GU Y X,PANG X C,FANG M L.Normal families and its application [M].Beijing: Science Press,2007.

[3] YI H,YANG C.Uniqueness theory of meromorphic functions [M].Beijing:Science Press，1995.

[4] YANG L.Value distribution theory [M].Berlin:Springer-Verlag,1993.

[5] DEIMLING K.Nonlinear functional analysis [M].New York: Spring-Verlag,1985.

[6] SCHWICK W.Sharing values and normality [J].ArchMath,1992,59(2):50-54.

[7] PANG X C,FANG M L,ZALCMAN L.Normal families of holomorphic functions with multiple zeros [J].ConformalGeometry&DynamicsoftheAmericanMathematicalSociety,2007,11(8):101-106.

[8] ZALCMAN L.Normal families：New perspectives [J].BullAmerMath,1998，35(3)：215-230.

NormalFamiliesofHolomorphicFunctionsSharingContinuousFunction

LIUZhixiu1,LIYongtong2,HUANGXiaojie1

(1.CollegeofScience,NanchangInstituteofTechnology,Nanchang330099,China； 2.Dean’sOffice,ShaanxiRailwayInstitute,Weinan714000,China)

It studies the normality of family of holomorphic functions sharing continuous function and extends some existing conclusions.LetFbe a family of holomorphic functions defined on domainD,h1,h2be two different continuous functions satisfied ?z∈D,h1(z)≠h2(z),andk≥2 be a positive integer.If ?f∈F,such thatf(z)=hi(z)?|f(k)(z)|≤|hj(z)|,i=1,2,thenFis a normal family; An example is given to explain that the conclusion does not hold whenk=1.In addition,a normal criterion concerning topological degree is also got by replacing shared value condition with topological degree condition.

normal family；holomorphic function；value distribution；topological degree

0427-7104(2017)05-0533-04

2016-01-30

南昌工程學(xué)院青年基金 (2014KJ025)；陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院基金(2013-12)

劉芝秀(1982—)，女，碩士研究生；黃小杰(1983—)，男，博士，講師，通信聯(lián)系人，E-mail：359536229@qq.com.

O174.52

A