基于改進(jìn)LMI的魯棒H∞動(dòng)態(tài)輸出反饋控制綜合*

郝 峰,葉思雋,車曉濤

(1 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院,西安 710072; 2 中國(guó)兵器工業(yè)第203研究所,西安 710065)

基于改進(jìn)LMI的魯棒H∞動(dòng)態(tài)輸出反饋控制綜合*

郝 峰1,2,葉思雋2,車曉濤2

(1 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院,西安 710072; 2 中國(guó)兵器工業(yè)第203研究所,西安 710065)

研究動(dòng)態(tài)輸出反饋(DOF)下連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的魯棒H∞控制綜合問(wèn)題。借助于線性矩陣不等式(LMI)技術(shù),給出了閉環(huán)系統(tǒng)魯棒H∞D(zhuǎn)OF控制器存在的充要條件。該條件依賴于引入的松弛變量,消除了Lyapunov變量與系統(tǒng)矩陣之間的耦合,能夠減小控制器設(shè)計(jì)的保守性。利用變量替換方法,將上述條件中的非線性矩陣不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于替換變量的LMI,并給出了相應(yīng)的DOF控制器求解方法。數(shù)值算例結(jié)果驗(yàn)證了新方法的有效性。

控制理論;魯棒控制;動(dòng)態(tài)輸出反饋;線性矩陣不等式;H∞控制

0 引言

20世紀(jì)90年代以來(lái),隨著內(nèi)點(diǎn)法的應(yīng)用和MATLAB LMI工具箱的推出,LMI方法被廣泛應(yīng)用于控制領(lǐng)域[1-2],成為控制分析與綜合最有效的工具之一。H∞控制是魯棒控制理論中最為重要的設(shè)計(jì)框架之一。傳統(tǒng)的H∞范數(shù)計(jì)算問(wèn)題都可以通過(guò)有界實(shí)引理轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的LMI表達(dá)式。但是,在多目標(biāo)或多通道控制分析與綜合時(shí),矩陣表達(dá)式中的系統(tǒng)矩陣和Lyapunov變量之間的耦合導(dǎo)致問(wèn)題非凸,難以求解。常見(jiàn)的解決辦法是針對(duì)所有的約束條件使用相同的Lyapunov函數(shù)[2],這使得控制器的保守性大大增加。近年來(lái),通過(guò)在矩陣表達(dá)式中引入松弛變量,能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)矩陣和Lyapunov變量之間的解耦,減小設(shè)計(jì)保守性。M.C.Oliveira和J.Geromel在這方面做出了開(kāi)創(chuàng)性的研究工作[3],獲得了基于參數(shù)依賴Lyapunov函數(shù)的不確定離散時(shí)間系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定條件。其后,眾多的控制學(xué)者[4-8]繼續(xù)對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了深入研究,并進(jìn)一步將相關(guān)結(jié)果擴(kuò)展至魯棒H2、H∞控制問(wèn)題以及D-穩(wěn)定問(wèn)題。但是,上述文獻(xiàn)主要考慮了離散時(shí)間系統(tǒng)的參數(shù)依賴Lyapunov穩(wěn)定性,而連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)由于其穩(wěn)定性條件所對(duì)應(yīng)的LMI表達(dá)式自身的特點(diǎn),難以實(shí)現(xiàn)Lyapunov變量與系統(tǒng)參數(shù)的解耦。如何將連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)穩(wěn)定性條件表述為依賴于松弛變量的LMI表達(dá)式,依然是魯棒控制領(lǐng)域的難題。P.Apkarian[9]利用投影引理(projection lemma)和雙邊投影引理(reciprocal projection lemma)將文獻(xiàn)[3]的結(jié)果推廣到連續(xù)時(shí)間系統(tǒng),并應(yīng)用于特征結(jié)構(gòu)配置和H2控制。P.J.de Oliveira[10]得到了適用于連續(xù)和離散時(shí)間系統(tǒng)的H∞魯棒穩(wěn)定條件。值得注意的是,以上這些方法的發(fā)展是與LMI松弛(LMI relaxations)技術(shù)的發(fā)展息息相關(guān)的,其應(yīng)用于控制綜合問(wèn)題中的重要前提是能夠消除Lyapunov變量與系統(tǒng)矩陣、控制增益的耦合。

同時(shí),實(shí)際系統(tǒng)中的狀態(tài)量往往不能全部獲得,而測(cè)量輸出獲得部分信息是可行的。因此,輸出反饋的研究更具有實(shí)際意義,已經(jīng)成為控制領(lǐng)域一個(gè)重要的開(kāi)放問(wèn)題。輸出反饋一般分為靜態(tài)輸出反饋(SOF)和動(dòng)態(tài)輸出反饋(DOF)。與SOF忽略控制器狀態(tài)不同,DOF建立了完整的控制器狀態(tài)空間描述,獲得的控制效果更為出色。文獻(xiàn)[2,11]總結(jié)了DOF控制綜合中的兩種方法:消元法和變量替換法。隨后,文獻(xiàn)[12-15]將借助不同LMI松弛方法得到的穩(wěn)定性條件應(yīng)用于DOF控制綜合中。

文中針對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng),采用LMI松弛的方法,在穩(wěn)定性條件對(duì)應(yīng)的矩陣表達(dá)式中引入松弛變量,實(shí)現(xiàn)狀態(tài)矩陣和Lyapunov變量的解耦,獲得了保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的新的充要條件。該充要條件可以使用不同的Lyapunov變量處理多目標(biāo)或多狀態(tài)控制綜合問(wèn)題,能夠降低設(shè)計(jì)保守性。同時(shí),利用變量替換的方法,給出了滿足上述穩(wěn)定性條件的H∞魯棒DOF控制器設(shè)計(jì)方法。該方法可以與參數(shù)依賴Lyapunov函數(shù)結(jié)合,應(yīng)用于多目標(biāo)/多通道控制綜合問(wèn)題中。

1 魯棒H∞穩(wěn)定的改進(jìn)LMI條件

考慮以下的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng):

(1)

式中:x(t)∈Rn是狀態(tài)變量;w(t)∈Rh是外部輸入變量;z(t)∈Rp是可調(diào)輸出變量;Tzw(s)=C(sI-A)-1B+D表示z(t)到w(t)的傳遞函數(shù);A、B、C、D為給定的適當(dāng)維數(shù)常值矩陣。

定義1[2](H∞控制問(wèn)題)針對(duì)系統(tǒng)(1),給定H∞范數(shù)上界γ,尋找一個(gè)控制器K能夠保證系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的同時(shí)滿足以下的優(yōu)化問(wèn)題:

(2)

其中的H∞范數(shù)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)頻率響應(yīng)的最大奇異值的峰值,則稱該控制器為系統(tǒng)(1)的魯棒H∞控制器。

通過(guò)著名的有界實(shí)引理就可以將定義1中的H∞控制問(wèn)題表示為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的LMI表達(dá)式。

引理1[2](有界實(shí)引理) 對(duì)系統(tǒng)(1),設(shè)γ>0是一個(gè)給定的常數(shù),則以下條件是等價(jià)的:

1)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定,且‖Tzw‖∞<γ;

2)存在一個(gè)對(duì)稱矩陣P,使得:

(3)

可以看到式(3)中系統(tǒng)矩陣A和B與Lyapunov變量P之間存在乘積項(xiàng)。這導(dǎo)致在控制系統(tǒng)綜合時(shí)只能使用同一個(gè)Lyapunov變量。下面將借助于LMI松弛的方法,通過(guò)在矩陣表達(dá)式中引入松弛變量實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)矩陣與Lyapunov變量的解耦。在給出結(jié)論之前,首先介紹一個(gè)LMI松弛方法中的重要引理。

引理2[4](Finsler引理) 假設(shè)x∈Rn,Q∈Rm,A∈Rm×n,且A的秩滿足rank(A)

1)xTQx<0,?Ax=0,x≠0;

2)(A⊥)TQA⊥<0;

3)?μ∈R:Q-μATA<0;

4)?P∈Rn×m:Q+PA+ATPT<0。

Finsler引理已經(jīng)成為L(zhǎng)MI松弛過(guò)程中最重要的方法之一。接下來(lái)文中將利用引理2中的第二個(gè)和第四個(gè)表達(dá)式的等價(jià)關(guān)系,獲得一個(gè)新的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定條件。

定理1考慮連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(1),對(duì)于給定的H∞范數(shù)上界γ,如果存在對(duì)稱正定矩陣P和矩陣V滿足:

(4)

則系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)。

證明:

充分性證明:令V=P,并將其代入式(4)中,得:

(5)

根據(jù)Schur補(bǔ)引理[2],上式等價(jià)于:

(6)

因?yàn)镻>0,顯而易見(jiàn)PAP-1ATP>0成立。將式(6)改寫(xiě)為:

(7)

注意到式(7)左邊的第一項(xiàng)與式(3)相同,因此式(7)成立則式(3)一定成立。根據(jù)引理2,可知滿足式(4)則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且‖Tzw‖∞<γ。

必要性證明:已知系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo),則根據(jù)引理2,系統(tǒng)滿足式(3)。式(3)可以改寫(xiě)為以下形式:

(8)

式中:

(9)

根據(jù)引理2,式(8)等價(jià)于:

(10)

顯而易見(jiàn),式(10)等價(jià)于式(4),定理1得證。

可以看到,在定理1中由于松弛變量T的引入,為H∞性能指標(biāo)約束下的控制分析與綜合問(wèn)題提供了額外的自由度。并且,定理1可以方便的擴(kuò)展到H2控制和D-穩(wěn)定問(wèn)題。但是,也應(yīng)該注意到松弛變量T選擇為一個(gè)較為特殊的形式:[V0000]T,可能會(huì)帶來(lái)一定的設(shè)計(jì)保守性,在今后需要進(jìn)一步研究。

2 動(dòng)態(tài)輸出反饋控制綜合

2.1 問(wèn)題描述

考慮以下的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng):

z(t)=Czx(t)+Dzu(t)

y(t)=Cx(t)

(11)

式中:x(t)∈Rn是狀態(tài)變量;u(t)∈Rm是控制輸入;w(t)∈Rh是干擾輸入;z(t)∈Rp是可調(diào)輸出;y(t)∈Rp是輸出變量;A、B、G、C、Cz、Dz為給定的適當(dāng)維數(shù)常值矩陣。

本節(jié)的目的就是利用第二節(jié)中的改進(jìn)LMI穩(wěn)定條件,為系統(tǒng)(11)設(shè)計(jì)一個(gè)DOF控制器,使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定并滿足H∞魯棒性能指標(biāo)。

對(duì)于系統(tǒng)(11),設(shè)其DOF控制器為:

u(t)=CKxK(t)+DKy(t)

(12)

式中:xK(t)∈Rk是控制器狀態(tài)變量;AK、BK、CK、DK為需要求解的未知控制器增益矩陣。由式(11)和式(12)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)為:

z(t)=Cclxcl(t)

(13)

(14)

2.2 控制綜合

引理3考慮閉環(huán)系統(tǒng)(13),對(duì)于給定的H∞范數(shù)上界γ,如果存在對(duì)稱正定矩陣Pcl和矩陣Vcl滿足:

(15)

則系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)。

引理3的證明過(guò)程與定理1類似,不再敘述。可以看到,將閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量Acl、Bcl、Ccl代入式(4)后,式(15)中的Lyapunov變量Pcl與控制器增益矩陣AK、BK、CK、DK以非線性的形式出現(xiàn),難以直接求解。因此,下面借助文獻(xiàn)[2,11]中的變量替換法,以新的變量代替原來(lái)的非線性項(xiàng),將非線性矩陣不等式轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI處理。

定理2考慮閉環(huán)系統(tǒng)(13),對(duì)于給定的H∞范數(shù)上界γ,如果存在對(duì)稱正定矩陣P1、P3,矩陣X、X2、Y、Y2、U、P2滿足:

(16)

(17)

式中:

(18)

則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)。

證明:

令:

(19)

易知:

(20)

令:

(21)

則式(20)可以簡(jiǎn)寫(xiě)成:

VclF1=F2

(22)

根據(jù)式(14),式(19)～式(22)的表述,可知

(23)

(24)

充分性證明:根據(jù)式(24)的表述,可將式(16)整理為:

(25)

AK=

(26)

定理2實(shí)現(xiàn)了Lyapunov變量Pcl與系統(tǒng)矩陣和控制器增益矩陣之間的解耦。針對(duì)多目標(biāo)或多狀態(tài)優(yōu)化問(wèn)題,只需要對(duì)附加的松弛變量Vcl進(jìn)行約束,就可以采用不同的Lyapunov變量Pcl處理不同的優(yōu)化目標(biāo)或系統(tǒng)狀態(tài),有效減小保守性。

3 數(shù)值算例

考慮連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(11),令:

設(shè)DOF控制器為嚴(yán)格真,即DK=0。取H∞范數(shù)上界γ=10,根據(jù)定理2,利用MATLAB YALMIP工具箱[16]求得DOF控制器為:

為驗(yàn)證上述方法的有效性,利用文獻(xiàn)[7]中的方法獲得了類似定理1的狀態(tài)反饋控制器:

并將兩種方法進(jìn)行比較。

分別采用上述兩種控制器得到閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布和H∞指標(biāo),如表1所示。從表1中可以看出,無(wú)論在DOF或狀態(tài)反饋的情況下,閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)均位于復(fù)平面的左半平面,即閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。并且,在系統(tǒng)信息不完全的情況下,文中方法得到的DOF控制器依然能夠保證系統(tǒng)的H∞性能與狀態(tài)反饋基本一致,說(shuō)明了文中方法能夠有效減小控制器設(shè)計(jì)的保守性。

表1 閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布和H∞性能

4 結(jié)論

文中研究了連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)魯棒H∞動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。基于有界實(shí)引理和Finsler引理給出了滿足H∞性能指標(biāo)約束的魯棒穩(wěn)定的充要條件。通過(guò)在該條件中引入松弛變量,實(shí)現(xiàn)了對(duì)Lyapunov變量和系統(tǒng)矩陣的解耦。應(yīng)用變量替換的方法,將輸出反饋魯棒控制器的可解條件化為標(biāo)準(zhǔn)的LMI,并給出了求解方法。數(shù)值算例的結(jié)果進(jìn)一步說(shuō)明了文中方法的可行性和有效性。

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ImprovedLMI-basedRobustH∞D(zhuǎn)ynamicOutput-feedbackControlSynthesis

HAO Feng1,2,YE Sijun2,CHE Xiaotao2

(1 School of Astronautics,Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072,China; 2 No.203 Research Institute of China Ordnance Industries,Xi’an 710065,China)

The problem of robust H∞control synthesis based on dynamic output-feedback (DOF) for continuous-time systems is investigated.By using of Linear Matrix Inequality (LMI) technique,new sufficient and necessary condition for the existence of robust H∞D(zhuǎn)OF controller is derived.The condition eliminates the coupling of Lyapunov variable and system matrices by introducing slack variable to reduce the conservatism of controller design.The nonlinear matrix inequality in the proposed condition is converted into LMI about new variables based on variable substitution method.A numerical simulation example is given to demonstrate the effectiveness of the approach.

control theory; robust control; dynamic output-feedback; linear matrix inequality; H∞control

10.15892/j.cnki.djzdxb.2017.02.002

2016-01-11

總裝預(yù)先研究項(xiàng)目(1020702)資助

郝峰(1975-),男,陜西西鄉(xiāng)人,高級(jí)工程師,博士研究生,研究方向:飛行器總體設(shè)計(jì)、飛行動(dòng)力學(xué)與控制。

TP13

A