考慮法向載荷變化的Iwan模型及其特性分析

李東武，徐 超

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072)

考慮法向載荷變化的Iwan模型及其特性分析

李東武，徐 超

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072)

為了完整、準(zhǔn)確地復(fù)現(xiàn)摩擦接觸界面間的力學(xué)行為和描述其能量耗散特性，提出了一種考慮法向載荷變化的Iwan模型.在連接界面的法向上，該模型采用一個非線性彈簧來描述界面法向載荷變化和間歇性分離的行為，在其切向上則采用原始Iwan模型來描述界面間的微滑和宏滑行為；推導(dǎo)了切法向耦合作用下模型的恢復(fù)力和位移關(guān)系的表達式，給出了模型運動狀態(tài)轉(zhuǎn)換點的判據(jù)；并以簡化的摩擦阻尼器模型為對象，求解了振動系統(tǒng)在簡諧激勵作用下的動力學(xué)響應(yīng)，討論了不同激勵參數(shù)對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響.分析表明，當(dāng)法向載荷為常值時，該模型退化為Iwan模型，從而驗證了模型的準(zhǔn)確性；該模型考慮了切向微滑行為和法向載荷變化的動態(tài)耦合，相比于不考慮法向載荷變化的模型能夠更加完善、準(zhǔn)確地模擬接觸界面間的力學(xué)行為及其對系統(tǒng)振動響應(yīng)預(yù)測的影響；連接界面的法向分離不僅會減弱系統(tǒng)的阻尼性能，使得系統(tǒng)動響應(yīng)很高，而且會增強系統(tǒng)響應(yīng)的非線性程度，在實際工程應(yīng)用中應(yīng)盡量避免.

干摩擦；法向載荷變化；接觸；微滑；非線性

航空、航天和機械等工程系統(tǒng)中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)大多是子部件通過螺栓法蘭、過盈配合等連接形式裝配而成.振動環(huán)境下，連接界面受到周期性外載荷作用，在法向可能出現(xiàn)預(yù)緊力振蕩、界面分離和碰撞，在切向可能發(fā)生黏著、摩擦和滑動等行為.這些行為往往具有非線性、跨尺度、不確定性等特點[1-2].研究表明，連接結(jié)構(gòu)接觸界面間的復(fù)雜力學(xué)行為不僅會造成結(jié)構(gòu)的能量耗散，產(chǎn)生結(jié)構(gòu)阻尼，而且會導(dǎo)致剛度非線性現(xiàn)象，從而影響整個結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性[3].

針對上述諸多非線性現(xiàn)象，學(xué)者們建立了許多接觸模型來復(fù)現(xiàn)連接界面間的復(fù)雜力學(xué)行為.早期，一般采用庫倫摩擦模型來建模連接界面的摩擦行為，但由于沒有考慮界面微觀黏滑行為的影響，計算的連接剛度和界面阻尼特性誤差較大[4-5].隨著接觸力學(xué)和摩擦學(xué)等學(xué)科的發(fā)展，許多有物理意義的連接模型被提出來，比如Valanis模型[6]、LuGre刷毛模型[7]和Iwan模型[8].其中，由于Iwan模型更為系統(tǒng)和完善地描述了界面的微觀黏滑過程，且模型的參數(shù)識別過程簡單，因而被廣泛關(guān)注[9].

最早，Iwan模型采用無限多個Jenkins單元串-并聯(lián)的方式用以描述土木工程結(jié)構(gòu)的彈塑性遲滯行為.Jenkins單元是一個理想彈塑性模型，它是由一個線性彈簧和一個阻尼滑塊串聯(lián)而成.文獻[10]首次將Iwan模型應(yīng)用于連接界面接觸力學(xué)行為的研究，并對模型中彈簧滑塊單元的臨界滑移力的分布函數(shù)和能量耗散的關(guān)系進行了分析.文獻[11]詳細推導(dǎo)了滑塊臨界滑移力均勻隨機分布條件下，Iwan模型的恢復(fù)力和能量耗散的表達式.Song等[12]在原始Iwan模型的基礎(chǔ)上，補充了宏觀滑移時的殘余剛度，進一步完善了該模型.Segalman[13]改變了原始模型中臨界滑移力的分布形式，提出了基于截斷冪級數(shù)分布的四參數(shù)非均勻密度函數(shù)，建立了基于該密度函數(shù)的四參數(shù)Iwan模型.最近，文獻[14]在此基礎(chǔ)上，提出了基于截斷冪律分布和雙脈沖函數(shù)的六參數(shù)非均勻密度函數(shù)，并推導(dǎo)了模型恢復(fù)力和能量耗散的解析表達式.

上述模型在建模過程中通常假設(shè)法向接觸載荷為常數(shù)，不隨時間變化.在振動環(huán)境下，連接界面的法向載荷一般是隨時間變化的，而臨界滑移力的大小與法向載荷的大小直接相關(guān).如果在動力學(xué)分析中，不考慮法向載荷的變化及其與切向載荷的動態(tài)耦合，將不能完整地模擬界面接觸摩擦行為，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)預(yù)測結(jié)果誤差較大.

本文采用線性彈簧模擬法向載荷的變化，將其與Iwan模型結(jié)合起來，建立了界面法向和切向恢復(fù)力變化的動態(tài)耦合關(guān)系，提出了一種新的考慮法向載荷變化的Iwan模型，采用數(shù)值方法研究了簡化的摩擦阻尼器系統(tǒng)的振動行為.針對不同激勵環(huán)境，從能量耗散和頻響特性的角度對含接觸摩擦模型的振動系統(tǒng)進行動力學(xué)分析，得到了一些有意義的結(jié)論.

1 Iwan模型及其恢復(fù)力

圖2為Iwan模型在周期性激勵作用下得到的兩種典型的遲滯回線.第1種是a-b-c-d-a所圍的面積較小的滯環(huán)，此時作用于模型上外激勵較小，只使部分阻尼滑塊發(fā)生滑動，模型在卸載段a-b-c和加載段c-d-a都處于黏滑狀態(tài)；第2種是a′-b′-c′-d′-a′所圍的面積較大的滯環(huán)，這種情形下，隨著外激勵的增大，模型中全部的阻尼滑塊都發(fā)生滑動，從而出現(xiàn)宏觀滑移現(xiàn)象，其中在卸載的前段a′-b′，模型處于黏滑狀態(tài)，而在卸載的后段b′-c′，模型處于宏滑狀態(tài).

圖1 Iwan模型

圖2 遲滯曲線

骨干曲線oa指首次加載所得的恢復(fù)力位移曲線，其表達式為

式中φ(f*)為阻尼滑塊臨界滑移力的分布函數(shù).式(1)中第1項表示模型在滑移狀態(tài)時阻尼滑塊的受力，此時彈簧受力大于阻尼滑塊的臨界滑移力，阻尼滑塊處于滑動狀態(tài)；第2項表示模型在黏滯狀態(tài)時彈簧的受力，此時彈簧受力小于阻尼滑塊的臨界滑移力，阻尼滑塊處于靜摩擦狀態(tài).

通過Masing準(zhǔn)則來映射骨干函數(shù)，從而獲取整個周期內(nèi)的恢復(fù)力表達式.Masing準(zhǔn)則表述為

(2)

式中，x0為速度轉(zhuǎn)向時的位移，將骨干函數(shù)代入式(2)得到模型加載和卸載段的恢復(fù)力-位移關(guān)系表達式：

2 考慮法向載荷變化的Iwan模型

Iwan模型中阻尼滑塊的臨界滑移力與法向正壓力滿足庫倫摩擦定律，其建立了接觸面法向與切向的聯(lián)系.本文的建模思想主要突出切法向的動態(tài)耦合，不重點考慮法向的建模方法，因此法向模型采用簡單的線性彈簧來模擬法向正壓力的變化.

2.1 恢復(fù)力-位移關(guān)系推導(dǎo)

假定接觸面法向的預(yù)加常值載荷為Nref，以比例參數(shù)的形式給出法向載荷的變化關(guān)系為

Iwan模型中阻尼滑塊的臨界滑移力滿足均勻分布規(guī)律φ(f*/α)=1/2fy，且其與法向載荷滿足庫倫摩擦定律fy=μNref，因此分布函數(shù)的變化與法向載荷的變化關(guān)系相反.

考慮法向模型參數(shù)α對切向Iwan模型參數(shù)的影響，進而得到模型恢復(fù)力-位移關(guān)系的骨干函數(shù)為

(3)

將Jenkins單元中阻尼滑塊的臨界滑移力分布函數(shù)代入式(3)可得

以下各式中下標(biāo)()0為速度轉(zhuǎn)向時的參數(shù).當(dāng)法向載荷變化時，之前使用的Masing準(zhǔn)則中的倍數(shù)關(guān)系將不再適用，需對其進行調(diào)整.令xr表示Jenkins單元從阻尼滑塊臨界滑移狀態(tài)卸載至彈簧自由狀態(tài)過程中的彈簧伸長量，xt表示Jenkins單元從彈簧自由狀態(tài)反向加載至阻尼滑塊臨界滑移狀態(tài)過程中的彈簧壓縮量，則存在：

x-x0=xr+xt.

將骨干函數(shù)代入調(diào)整后的Masing準(zhǔn)則可得到模型加載和卸載的恢復(fù)力-位移關(guān)系表達式：

歸一化后加載段和卸載段的恢復(fù)力-位移關(guān)系表達式為：

2.2 模型運動狀態(tài)的判據(jù)

周期性激勵作用下，模型的運動狀態(tài)是不斷變化的，而各運動狀態(tài)間相互轉(zhuǎn)變的判據(jù)對于正確地描述模型的特性起關(guān)鍵作用.表1給出了模型各種運動狀態(tài)間相互轉(zhuǎn)變時的判據(jù).

表1 模型運動狀態(tài)轉(zhuǎn)變的判據(jù)

此外，模型從黏滑狀態(tài)轉(zhuǎn)為宏滑狀態(tài)的過程中，宏滑狀態(tài)的判斷也是關(guān)鍵步驟.當(dāng)模型處于黏滑狀態(tài)時，其恢復(fù)力小于阻尼滑塊的臨界滑移力，而當(dāng)模型處于宏滑狀態(tài)時，其恢復(fù)力等于阻尼滑塊的臨界滑移力.因此，在恢復(fù)力計算過程中，需要判斷恢復(fù)力的大小，并將其限制為小于等于臨界滑移力，如果不進行此操作，那么將得不到正確的恢復(fù)力-位移關(guān)系.

當(dāng)法向載荷小于零時，連接界面發(fā)生分離，恢復(fù)力歸零.需要注意的是，分離狀態(tài)時，計算程序中狀態(tài)轉(zhuǎn)換點的判據(jù)發(fā)生變化，由速度為零的點變?yōu)榉蛛x狀態(tài)的末端點.這與連接界面相接觸時有所不同.

2.3 準(zhǔn)靜態(tài)過程

本文給出準(zhǔn)靜態(tài)情況下考慮法向載荷變化的Iwan模型預(yù)測的滯回曲線，并將不同法向振蕩載荷幅值下對應(yīng)的結(jié)果進行對比.計算參數(shù)為：切向彈簧總剛度kt=100 kN/m ，法向彈簧剛度kn=100 kN/m，接觸面滑動摩擦系數(shù)μ=0.1，給定切向位移x=0.5sin(2πt)， mm,法向載荷由預(yù)加常值載荷N0和振蕩載荷N1sin(2πt+δ)兩部分疊加而成，其中N0=100 N.圖3、4分別給出了切法向激勵在同相(δ=0°)和異相(δ=90°)情況下，不同法向振蕩載荷幅值下對應(yīng)的模型遲滯曲線變化的示意圖，圖例中參數(shù)η表示法向振蕩載荷幅值與預(yù)加常值載荷的比值.

當(dāng)η=0，此時模型退化為原始Iwan模型.原始的Iwan模型不考慮法向載荷的變化，模型參數(shù)在加載和卸載過程保持不變，因此其遲滯曲線是對稱的；而考慮法向載荷變化的改進Iwan模型則不同，法向載荷的時變性引起了模型的臨界滑移力的變化，從而導(dǎo)致宏觀滑動的轉(zhuǎn)折點和宏觀滑動行為出現(xiàn)較大差異，其遲滯曲線變?yōu)榉菍ΨQ的.因此，是否考慮法向載荷的變化對切向摩擦行為的預(yù)測有重要影響.

當(dāng)η<1，不論法向載荷如何變化，連接界面間總是相互接觸的.模型遲滯回線的形狀隨著法向振蕩載荷的變化而變化，其變化規(guī)律與切法向的激勵形式有關(guān).法向載荷的變化導(dǎo)致模型的宏觀滑移力隨時間發(fā)生變化，從而造成模型各種運動狀態(tài)的區(qū)域發(fā)生變化，比如同相激勵下，隨著η的逐漸增大，遲滯曲線中卸載段表示模型微滑運動狀態(tài)的區(qū)域逐漸增大，表示模型宏滑運動狀態(tài)的區(qū)域逐漸減小；加載段模型微滑運動狀態(tài)的區(qū)域逐漸減小，宏滑運動狀態(tài)的區(qū)域逐漸增大.而異相激勵下的變化規(guī)律則與之相反.

當(dāng)η≥1，此時法向載荷會出現(xiàn)小于零的情況，意味著連接界面間會發(fā)生間歇性的接觸和分離.圖3、4中S所指的區(qū)域即為η=1.2時模型發(fā)生分離的情形，η越大，滯回曲線中分離狀態(tài)的區(qū)域也越大；且分離狀態(tài)出現(xiàn)的時刻與切法向激勵的相位有關(guān).

圖3 同相時的遲滯曲線

圖4 異相時的遲滯曲線

3 系統(tǒng)振動分析

摩擦阻尼器常被用來降低復(fù)雜連接結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，廣泛應(yīng)用于航空發(fā)動機領(lǐng)域.本文建立如圖5所示的簡化的航空發(fā)動機葉片根部摩擦阻尼器模型，利用本文所提出的摩擦接觸模型模擬接觸面間的力學(xué)行為，通過數(shù)值仿真的方法研究系統(tǒng)的振動行為.

圖5 含接觸模型的單自由度振動系統(tǒng)

系統(tǒng)參數(shù)設(shè)為：質(zhì)量塊m=10 kg，剛度k=3.9×105N/m，切向剛度kt=3×105N/m，法向剛度kn=3×105N/m，接觸面滑動摩擦系數(shù)μ=0.5.系統(tǒng)振動微分方程為

方程兩邊同時乘以kt/(mfy)，得到歸一化的方程為

假定法向載荷和切向載荷的形式為：

N(t)=N0+N1sin(ωdt+δ),

F(t)=F1sin(ωdt).

式中：F1為切向載荷的幅值，ωd為切法向載荷角頻率.

3個重要的參數(shù)：激勵頻率、切向激勵幅值和法向力都會不同程度地影響摩擦阻尼器耗散振動能量的性能[15].因此本文在一定范圍內(nèi)選取上述3種參數(shù)的一些特征離散值來研究振動系統(tǒng)的動力學(xué)特性.取N0=100 N，相位δ=0°，η取4種典型的情形，分別為N1相對很小的情形η=0.01；適中且連接界面未分離的情形η=0.50；N1適中且連接界面分離的情形η=1.50；和N1相對很大的情形η=10.00，而F1的取值范圍則需以激起兩個近似線性頻率為準(zhǔn).采用數(shù)值方法求解摩擦阻尼器系統(tǒng)的動力學(xué)方程，對振動系統(tǒng)進行頻響分析，結(jié)果如圖6所示.圖6中縱坐標(biāo)表示正則化后的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).

首先，研究切向激勵對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響.同一法向振蕩載荷作用下，振動系統(tǒng)的頻響曲線都表現(xiàn)出典型的非線性特征：隨著切向激勵幅值的增大，振動系統(tǒng)的剛度出現(xiàn)明顯的軟化現(xiàn)象，其固有頻率從高頻向低頻漸變，響應(yīng)峰值先降低后增大.

當(dāng)β=0.1時，切向激勵相對較大，此時模型運動以宏觀滑動運動形式為主，系統(tǒng)為近似線性系統(tǒng)，其頻率比約為1，系統(tǒng)的動響應(yīng)很大.

當(dāng)β=1 000時，切向激勵相對較小，模型中大多數(shù)滑塊處于黏滯狀態(tài)，系統(tǒng)為近似線性系統(tǒng)，其頻率比因連接界面分離而不同，當(dāng)連接界面未發(fā)生分離時，此近似線性頻率比為1.33，如圖6(a)、(b)所示；而當(dāng)連接界面分離時，該值將會減小，且法向振蕩載荷越小，頻率比則越小,如圖6(c)、(d)所示.此時，由于大多數(shù)滑塊都未滑動，導(dǎo)致系統(tǒng)的阻尼性能較差，動響應(yīng)幅值很高.這兩種情況下，接觸界面間要么滑移狀態(tài)占主導(dǎo)，要么黏滯狀態(tài)占主導(dǎo)，其滯回曲線為一扁平狀的環(huán)線，近似直線段，因此導(dǎo)致系統(tǒng)耗散的振動能量很小，動響應(yīng)幅值則很高.

當(dāng)法向相對正壓力適中時，振動系統(tǒng)的遲滯回線比較規(guī)則、“飽滿”，不存在某一運動狀態(tài)占絕對主導(dǎo)的情形.相對“飽滿”的遲滯曲線所圍成的面積也就相對越大，說明其耗散的振動能量越多.

圖6 不同激勵條件下的頻響曲線

再研究法向載荷對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響.圖6(a)、(b)分別是連接界面相接觸時的結(jié)果，兩者較為接近，主要的差異出現(xiàn)在切向激勵幅值適中的情形下，同一激勵對應(yīng)的固有頻率和響應(yīng)都會有微小的差異.

當(dāng)η=1.50時，連接界面發(fā)生分離，系統(tǒng)的非線性程度明顯增強，頻響曲線越加扭曲.當(dāng)法向振蕩載荷適中時，頻響曲線出現(xiàn)了“跳躍”，動響應(yīng)幅值隨激勵頻率的增加出現(xiàn)突然的增大，此時頻響曲線可能出現(xiàn)共振峰向低頻段偏轉(zhuǎn)的情形，這種現(xiàn)象在實驗或者解析解中能夠觀測到，但是數(shù)值計算過程不能復(fù)現(xiàn)該現(xiàn)象[16]，這就意味著圖中的共振峰對應(yīng)的頻率可能略大于其實際峰值頻率；此外，當(dāng)切向激勵較小時，頻響曲線出現(xiàn)了兩個共振峰，且峰值頻率比連接界面相接觸時小，造成這種現(xiàn)象的原因是界面分離導(dǎo)致的模型運動狀態(tài)的突變，如圖7所示.將切向小載荷下的滯回曲線近似為直線段，其中S表示界面分離狀態(tài)，箭頭表示滯回曲線繪制的路徑.圖7(a)中模型正向加載至A后，模型的運動狀態(tài)發(fā)生突變，恢復(fù)力變?yōu)榱悖B接界面發(fā)生分離；而圖7(b)則是模型分離但未發(fā)生運動狀態(tài)突變時的示意圖.由于模型運動狀態(tài)的突變，使得模型的非線性程度增強，從而導(dǎo)致振動系統(tǒng)的頻響特性復(fù)雜化.當(dāng)η=10.00時，模型的法向振蕩進一步增強.隨著η的增加，頻響共振峰值頻率逐漸減小.

在實際的工程結(jié)構(gòu)設(shè)計過程中，設(shè)計工作者們更加關(guān)心的是處于兩個近似線性頻率之間的頻段，在這一頻段內(nèi)，接觸界面間的滑動摩擦特性會耗散更多的振動能量，從而為復(fù)雜連接結(jié)構(gòu)提供阻尼，降低其動響應(yīng)幅值.

圖7 切向小載荷下連接界面法向分離時的滯回曲線示意

連接界面的法向分離增強了連接結(jié)構(gòu)的非線性程度，造成系統(tǒng)的阻尼性能降低，使得其穩(wěn)態(tài)動響應(yīng)幅值增大，瞬態(tài)過程延長，且瞬態(tài)動響應(yīng)幅值也增大；在某些情形下，可能會發(fā)生非常復(fù)雜的非線性現(xiàn)象.因此，實際工程中應(yīng)盡量避免出現(xiàn)法向分離狀態(tài)或法向振蕩載荷過大的情況.

4 相位的影響

給定切向激勵幅值和激勵頻率，改變法向激勵的相位來分別求解連接界面在接觸和分離狀態(tài)時振動系統(tǒng)的滯回曲線.圖8(a)給出了連接界面接觸時的滯回曲線，結(jié)果顯示，隨著法向激勵相位的增加，模型滯環(huán)中表示卸載段黏滑狀態(tài)和加載段宏滑狀態(tài)的曲線都逐漸變長，而表示卸載段宏滑狀態(tài)和加載段黏滑狀態(tài)的曲線則逐漸變短.圖8(b)給出了連接界面分離時的滯回曲線，圖中S表示模型分離狀態(tài)的區(qū)域.分離狀態(tài)的區(qū)域隨著法向激勵相位的變化而發(fā)生變化，有的發(fā)生在加載段，有的發(fā)生在卸載段，有的則跨越了兩個階段，而且不同激勵相位對應(yīng)的滯回曲線中的分離狀態(tài)區(qū)域的大小也不相同.

圖8 不同相位的滯回曲線

當(dāng)δ=90°時，滯環(huán)所圍的面積達到最大，其中表示模型運動狀態(tài)的曲線長度較為均勻；而當(dāng)δ=0°和δ=180°時，滯環(huán)的面積則最小.法向激勵相位通過改變法向力的時域分布來改變模型中阻尼滑塊臨界滑移力的分布，從而造成滯環(huán)中表示運動狀態(tài)的曲線長度和滯環(huán)面積發(fā)生變化，隨即導(dǎo)致振動系統(tǒng)的阻尼性能變化.

5 結(jié) 論

1)本文的模型相比于原始Iwan模型能夠更加完善、準(zhǔn)確地模擬接觸界面間的切法向耦合的力學(xué)行為.

2)考慮法向載荷變化與否對連接界面接觸力學(xué)行為的特性有重要影響.考慮法向載荷變化時，切向恢復(fù)力與位移的遲滯回線表現(xiàn)出非對稱的特征.

3)通過對簡化摩擦阻尼器系統(tǒng)的動力學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)法向載荷幅值變化比對系統(tǒng)的能量耗散特性有重要影響.連接界面的法向分離增強了系統(tǒng)的非線性程度，造成系統(tǒng)的阻尼性能降低，使得其穩(wěn)態(tài)動響應(yīng)幅值增大，甚至可能會發(fā)生非常復(fù)雜的非線性現(xiàn)象.

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Iwanmodelconsideringvariablenormalloadanditscharacteristicanalysis

LI Dongwu，XU Chao

(School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

To more comprehensively and precisely reproduce mechanical behaviors of frictional and describe properties of energy dissipation, a kind of Iwan model considering variable normal load is developed. In the normal direction, a nonlinear spring is used to describe normal load variation and intermittent separation. In the tangential direction, the original Iwan model is used to describe micro-slip and macro-slip behavior. The relationship between tangential restoring force and relative displacement is derived and the transition criteria among motion states of the model is given. A simplified friction oscillator under harmonic excitation is analyzed to study the effect of different parameters of excitation on the system responses. The proposed model degrades into the original Iwan model when the normal load keeps constant, which validates the model well. This model considering coupling of micro-slip tangential force and variable normal force more comprehensively, exactly reproduces contact interface and effect on the system response. The separation of interface not only reduces damping capability of friction system and makes the responses high, but also strengthens nonlinearity of the system, so it should be avoided in the practical engineering.

dry friction; variable normal load; contact; micro-slip; nonlinear

10.11918/j.issn.0367-6234.201603061

V231.92

A

0367-6234(2017)10-0138-07

2016-03-11

國家自然科學(xué)基金委和中國工程物理研究院聯(lián)合基金資助(U1530139)

李東武(1991—)，男，博士研究生；

徐 超(1979—)，男，教授

徐 超，chao_xu@nwpu.edu.cn

(編輯張 紅)