數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)思考

謝聰奎

摘 要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法在進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和解決問題中的作用，引導(dǎo)學(xué)生從解題的思想和方法上考慮問題，達(dá)到巧妙解題的目的?！鼻擅钸\用數(shù)形結(jié)合思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，能開闊思維視野，起到事半功倍的效果。鑒于此，針對高中總復(fù)習(xí)教學(xué)中如何更好地運用數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué)實踐進(jìn)行研究。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；合理設(shè)計；高中數(shù)學(xué)教學(xué)

所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義又提示了其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙機(jī)智地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問題得到解決。為了讓數(shù)與形更好地結(jié)合，教學(xué)中該如何進(jìn)行設(shè)計？

一、常見數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)設(shè)計

常見數(shù)形結(jié)合的教學(xué)設(shè)計為如下六部分：

1.數(shù)形結(jié)合求解集合問題。例題1：若集合A=x|x2-x<0，B=x|0

2.數(shù)形結(jié)合求解方程問題。例題2：已知函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=x2，那么方程f（x）-lgx=0的實根個數(shù)為 個。

3.數(shù)形結(jié)合求解不等式問題。例題3：已知函數(shù)f（x）=x2+1，x≥01，x<0，則不等式f（1-x2）>f（2x）的解集為 。

4.數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)問題。例題4：已知函數(shù)f（x）=lgx，010，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是 。

A.（1，10） B.（5，6） C.（10，12） D.（20，24）

5.數(shù)形結(jié)合求解向量問題。例題5：已知■與■均為單位向量，其夾角為？茲，下列四個命題為真命題的是 。

p1：■+■>1？圳？茲∈[0，■）；p2：■+■>1？圳？茲∈（■，？仔]；

p3：■-■>1？圳？茲∈[0，■）；p4：■-■>1？圳？茲∈（■，？仔].

6.數(shù)形結(jié)合求解解析幾何問題。例題6：若直線y=x+b與曲線y=■有公共點，則b的取值范圍是 。

以上設(shè)計可以讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合思想方法運用的廣泛性，但從整體上來看，只是羅列出不同模塊數(shù)形結(jié)合思想的運用，彼此之間沒有太多的聯(lián)系，缺乏層次感和升華，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合印象不會太深刻。

二、筆者的“數(shù)形結(jié)合思想”教學(xué)設(shè)計

例題1.用mina，b表示a、b兩個數(shù)中的最小值，設(shè)f（x）=minx2-2x+2，x+2（x≥0），則f（x）的最小值為 。

先求出函數(shù)解析式f（x）=x2-2x+2，0≤x≤3x+2，x>3，再求出最小值，這種解法稱為“代數(shù)法”。

在同一個平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x2-2x+2與y=x+2在y軸上及y軸右側(cè)的圖象，取兩個圖象的較低部分，從而得到f（x）的圖象，由圖象得出函數(shù)f（x）的最小值。這種解法稱為“數(shù)形結(jié)合法”。

設(shè)計中的例題1有兩種解法，通過“代數(shù)法”與“數(shù)形結(jié)合法”的對比，讓學(xué)生深刻感受數(shù)形結(jié)合的簡潔高效，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”，這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越性，學(xué)生更能深刻體會運用數(shù)學(xué)思想方法所取得成功而帶來的震撼與驚喜，堅定運用思想方法研究數(shù)學(xué)的信心和決心。

例題2.已知函數(shù)，f（x）的圖象如下圖所示，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，下列數(shù)值排序正確的是（ ）

A.0

B.0<■

C.0

D.0

f′（2）可以表示曲線y=f（x）在點A（2，f（2））處的切線l1的斜率k1，f′（4）可以表示曲線y=f（x）在點B（4，f（4））處的切線l2的斜率k2?！?■表示點A（2，f（2））與點B（4，f（4））所在直線l3的斜率k3。

數(shù)形結(jié)合雖好用，但并非隨時都能用，設(shè)計例題2讓學(xué)生知道在研究某些具有幾何意義的代數(shù)式時，可以通過數(shù)形結(jié)合來解決問題。在解決與幾何圖形有關(guān)的問題時，將圖形信息轉(zhuǎn)換成代數(shù)的信息，利用數(shù)量特征，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；在解決與數(shù)量有關(guān)的問題時，根據(jù)數(shù)量的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，如某些代數(shù)問題、三角問題往往都有幾何背景，而借助其背景圖形的性質(zhì)，可使那些抽象的概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀，以便于探求解題思路或找到問題的結(jié)論，即化為幾何問題。

例題3.關(guān)于方程3x+x2+2x-1=0，下列說法正確的是（ ）

A.方程有兩個不相等的負(fù)實根

B.方程有兩個不相等的正實根

C.方程有一個正實根，一個零根

D.方程有一個負(fù)實根，一個零根

設(shè)計兩種不同方案讓學(xué)生意識到在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，選擇合理的方法是解題的關(guān)鍵。

方程3x+x2+2x-1=0可以化為3x-1=-x2-2x，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=3x-1與y=-x2-2x的圖象交點的橫坐標(biāo)的情況；方程3x+x2+2x-1=0可以化為3x=-x2-2x+1，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=3x與y=-x2-2x+1的圖象交點的橫坐標(biāo)的情況。以上兩種方案，我們選擇第二種方案應(yīng)該會更合理，因為作出函數(shù)y=3x的圖象比函數(shù)y=3x-1的圖象更容易。

設(shè)計例題3讓學(xué)生知道在研究方程實根的個數(shù)、實根范圍等問題時也可以采用數(shù)形結(jié)合的方法，其中在方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)過程中，要注意選擇簡單熟悉的函數(shù)，以便更好地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。

例題4.若方程x·lg（x+2）=1的實根在區(qū)間（k，k+1）（k∈Z）內(nèi)，則k= 。

選擇函數(shù)y=x·lg（x+2）和常數(shù)函數(shù)y=1，但作出函數(shù)y=x·lg（x+2）的圖象是有困難的。易知0不是原方程的根，故x≠0，則原方程可化為lg（x+2）=■，我們選擇函數(shù)f（x）=lg（x+2）與g（x）=■，通過研究它們圖象交點橫坐標(biāo)的范圍就能解決問題。由f（x）=lg（x+2）與g（x）=■的圖象可知，x1∈（-2，-1）。f（1）=lg3，g（1）=1，f（1）lg■=■，g（2）=■，f（2）>g（2），故x2∈（1，2）

選擇熟悉、易作圖的兩個函數(shù)能讓數(shù)形結(jié)合的作用更明顯。在例題4作圖的過程中，交點（x2，y2）容易出錯，因此，作函數(shù)圖象時盡可能地多描幾個點，力求準(zhǔn)確，避免因圖象不夠精確而致錯。

設(shè)計例題4再次強(qiáng)調(diào)優(yōu)化選擇函數(shù)的重要性，讓學(xué)生知道解決數(shù)學(xué)問題有時候要善于適當(dāng)調(diào)整思考方向和解題方法，數(shù)形結(jié)合時作圖有時候只需一個簡單的草圖，有時候要作出較精確的圖象或圖形才能解決問題。

整個教學(xué)設(shè)計主要從利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問題、解決方程根的問題兩個方面入手，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的必要性、優(yōu)越性；設(shè)計特點是由易到難，環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

數(shù)形結(jié)合思想縱有千般好，但自覺運用數(shù)形結(jié)合思想方法非一日之功，是習(xí)慣所使然，是歷史積淀，是時間積累，因此，要堅持把數(shù)學(xué)思想方法滲透到平時的教學(xué)過程中。

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡上鶴，嚴(yán)文科.魔法數(shù)學(xué)專題突波[M].北京：長征出版社，2005.

[2]王俊杰.高中數(shù)學(xué)思想方法[M].北京：人民日報出版社，2006.

編輯 張珍珍