一些帶min和max的等式和不等式的應(yīng)用

● (杭州市基礎(chǔ)教育研究室,浙江 杭州 310003)

●朱成萬 (杭州市第十四中學(xué),浙江 杭州 310006)

2017-07-02

王紅權(quán)(1970-)，男，浙江杭州人，中學(xué)高級教師.研究方向數(shù)學(xué)教育．

一些帶min和max的等式和不等式的應(yīng)用

●王紅權(quán)
(杭州市基礎(chǔ)教育研究室,浙江 杭州 310003)

●朱成萬
(杭州市第十四中學(xué),浙江 杭州 310006)

近幾年高考試題中常出現(xiàn)一些帶有符號(hào)min和max的試題.題目結(jié)構(gòu)千變?nèi)f化，解題方法技巧性強(qiáng)，學(xué)生對符號(hào)“min”和“max”非?？謶?文章梳理出與這類題目相關(guān)的6個(gè)等式和不等式，揭示這類試題的特點(diǎn)，透視解題方法，從而讓考生深刻理解這類試題的本質(zhì)，少走彎路．

絕對值不等式；絕對值恒等式；解題策略

隨著課程改革的推進(jìn)，高考試題也常考常新，近幾年出現(xiàn)一些帶有符號(hào)min和max的試題，題目結(jié)構(gòu)千變?nèi)f化，給人感覺耳目一新的同時(shí)，也讓人眼花繚亂，解題方法有較強(qiáng)的技巧性，難以把握．學(xué)生往往通過分類討論而陷入泥潭，從而對符號(hào)“min”和“max”產(chǎn)生一種恐懼心理．因此梳理這類題目的特點(diǎn)和解題方法很有必要，能更好地理解符號(hào)min{x，y}和max{x，y}的含義，為破解含這些符號(hào)的試題提供新的視角和技術(shù)保障．與這些問題有關(guān)的一些常見的等式和不等式，具體有如下6個(gè)：

⑤ |x|+|y|=max{|x-y|，|x+y|}；

⑥ ||x|-|y||=min{|x-y|，|x+y|}．

本文約定“min”表示兩者中的較小者，“max”表示兩者中的較大者，即

1 不等式串min{x，y}≤(或)≤max{x，y}的應(yīng)用

該不等式串的意義十分明顯：兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)不大于它們的平均數(shù)，即

且兩個(gè)數(shù)中較大的數(shù)不小于它們的平均數(shù)，即

道理淺顯易懂，但運(yùn)用它解決具體問題卻非易事，需要費(fèi)一番功夫．

max{x，y}．

(1)

作為拓展不等式串的一個(gè)運(yùn)用，請看例2．

例2若函數(shù)f(x)=x2+px+q的圖像經(jīng)過點(diǎn)(α，0)，(β，0)，且存在整數(shù)n，使得n<α<β

( )

(2014年浙江省杭州市高三第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測試題第8題)

解設(shè)f(x)=(x-α)(x-β)，則

f(n)·f(n+1)=

(n-α)(n-β)(n+1-α)(n+1-β)=

其中等號(hào)不能同時(shí)取到,從而

故選B.

(2013年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題第16題)

( )

A．min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|，|b|}

B．min{|a+b|，|a-b|}≥min{|a|，|b|}

C．max{|a+b|2，|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D．max{|a+b|2，|a-b|2}≥|a|2+|b|2

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

解因?yàn)閨a+b|2=|a|2+|b|2+2ab，

|a-b|2=|a|2+|b|2-2ab，

兩式相加，得

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)，

從而 max{|a+b|2，|a-b|2}≥

故選D．

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).

這種解法簡潔靈巧，但需要解題者有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)洞察力，是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的好題．

2 平凡恒等式的應(yīng)用

接下來我們看式③和④，我們稱其為平凡恒等式或者平均數(shù)等式．

這是一組對偶的式子，意義十分明顯，式③表示兩個(gè)數(shù)中較小數(shù)等于它們的平均數(shù)減去它們絕對值之差的一半，即

式④表示兩個(gè)數(shù)中較大數(shù)等于它們的平均數(shù)加上它們絕對值之差的一半，即

圖1

這一點(diǎn)可以在數(shù)軸上直觀表示出來．如圖1，設(shè)點(diǎn)A對應(yīng)實(shí)數(shù)x，點(diǎn)C對應(yīng)實(shí)數(shù)y，點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，則

例5若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組

設(shè)z=min{2x-y+4，x+y+6}，則z的取值范圍是

( )

A．[9，11] B．[9，12]

C．[9，13] D．[9，14]

(2017年4月浙江省稽陽聯(lián)誼學(xué)校高三聯(lián)考試題第7題)

解根據(jù)式③，得

z= min{2x-y+4，x+y+6}=

當(dāng)x=4，y=3時(shí)，zmin=9；當(dāng)x=6，y=3時(shí)，zmax=13.故選C．

例6已知f(x)，g(x)都是偶函數(shù)，且在[0，+∞)上單調(diào)遞增，設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|．若a>0，則

( )

A．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)

B．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)

C．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)

D．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考模擬試卷第10題)

解設(shè)

則

F(a)=2min{f(a),g(1-a)},

F(-a)=2min{f(a),g(1+a)}.

由題意知

g(1+a)>g(1-a),

從而F(a)= 2min{f(a),g(1-a)}≤

2min{f(a),g(1+a)}=F(-a),

F(1+a)=2min{f(1+a),g(a)},

F(1-a)=2min{f(1-a),g(a)},

于是F(1+a)= 2min{f(1+a),g(a)}≥

2min{f(1-a),g(a)}=

F(1-a)．

評注例5和例6都是有一定難度的題目，當(dāng)時(shí)學(xué)生的得分都不高，究其原因主要是解題工具選擇不恰當(dāng)．如例5，大部分學(xué)生是根據(jù)線性規(guī)劃來討論的，運(yùn)算相當(dāng)復(fù)雜；例6學(xué)生更是無從下手．筆者運(yùn)用式③，解法簡單明了，使問題的難度降低了一個(gè)檔次．

例7已知a>0，b∈R,函數(shù)f(x)=4ax2-2bx-a+b．證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值為|2a-b|+a．

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題改編)

解f(x)max=max{f(0),f(1)}=

max{-a+b,3a-b}=

|2a-b|+a.

(2017年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題第10題)

2max{f(x)，g(x)}，

方程可轉(zhuǎn)化為

max{f(x)，g(x)}=ax+2.

設(shè)F(x)=max{f(x)，g(x)}，F(xiàn)(x)的圖像如圖2所示，則

由-2x=ax+2，解得

圖2

得

由x3-x2=2(x2-x1)，得

2x1=3x2，

即

得

評注例7和例8是兩道難題，本文運(yùn)用式④，問題得以輕松解決．可見解題工具的選擇是一件很重要的事，選擇不得當(dāng)，簡單問題會(huì)復(fù)雜化；選擇得當(dāng)，復(fù)雜問題就會(huì)簡單化．要做到這一點(diǎn)，關(guān)鍵還是對數(shù)學(xué)的理解．

3 絕對值恒等式的應(yīng)用

對于三角形不等式：

||x|-|y||≤{|x-y|或|x+y|}≤|x|+|y|．

當(dāng)x，y同號(hào)時(shí)，有

||x|-|y||=|x-y|≤|x+y|=|x|+|y|；

當(dāng)x，y異號(hào)時(shí)，有

||x|-|y||=|x+y|≤|x-y|=|x|+|y|．

因此有

⑤|x|+|y|=max{|x-y|，|x+y|}；

⑥||x|-|y||=min{|x-y|，|x+y|}．

我們稱式⑤和式⑥為絕對值恒等式，它在解決有關(guān)絕對值的題目中有著廣泛的應(yīng)用，下面舉例說明．

根據(jù)式⑥有

因?yàn)閍∈[-1，1]，所以

圖3

例10設(shè)函數(shù)

若|f(x)+f(x+l)-2|+|f(x)-f(x+l)|≥2(其中l(wèi)>0)對任意實(shí)數(shù)x都成立，則l的最小值為______．

(2017年浙江省杭州市高三數(shù)學(xué)第二次模擬試題第14題)

解|f(x)+f(x+l)-2|+|f(x)-f(x+l)|=

|(f(x)-1)+(f(x+l)-1)|+|(f(x)-1)-f(x+l)-1|=

2max{|f(x)-1|,|f(x+l)-1|}≥2,

即max{|f(x)-1|,|f(x+l)-1|}≥1恒成立．

評注本題運(yùn)用公式⑤，將絕對值里面兩個(gè)函數(shù)和轉(zhuǎn)化為絕對值里只有一個(gè)函數(shù)，使問題大大簡化．這種做法的最大優(yōu)點(diǎn)在于避免了繁雜的討論．

例11已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a，b∈R)，記M(a，b)是|f(x)|在區(qū)間[-1，1]上的最大值．

1)證明:當(dāng)|a|≥2時(shí)，M(a，b)≥2；

2)當(dāng)a，b滿足M(a，b)≤2時(shí)，求|a|+|b|的最大值．

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題)

1)證明當(dāng)|a|≥2時(shí)，

M(a，b)= max{|f(1)|，|f(-1)|}≥

2)解根據(jù)絕對值恒等式(式⑤)有

|a|+|b|= max{|a+b|，|a-b|}=

max{|f(1)-1|，|f(-1)-1|}≤

max{|f(1)|+1，|f(-1)|+1}≤

M(a，b)+1≤3．

評注本題呈現(xiàn)方式簡潔明了，解決方法獨(dú)特，解題過程簡約．兩個(gè)設(shè)問，分別用到了本文介紹的兩組公式，第1)小題用到了大數(shù)不小于平均數(shù)這一簡單的結(jié)論；第2)小題主要是用到絕對值恒等式，并用函數(shù)值來代替參數(shù)式(如a+b=f(1)-1)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的有界性來控制參變量．

2 后記：大道至簡，卸繁馭簡

本文研究的6個(gè)重要等式與不等式，其意義顯而易見，所謂大道至簡.在解高考題中能直入問題的本質(zhì)，把復(fù)雜問題簡單化，所謂卸繁馭簡．大道至簡，卸繁馭簡，揭示問題的本質(zhì)，正是我們的教學(xué)追求．

[1] 王紅權(quán)．含絕對值的不等式問題復(fù)習(xí)研究[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(12)：31-36．

[2] 朱成萬．中學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的教學(xué)解構(gòu)與建構(gòu)[M].北京：中國經(jīng)濟(jì)出版社，2015．

O122.3

A

1003-6407(2017)10-23-04