對(duì)一道向量最值高考試題的三重研究

● (陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué),湖北 陽(yáng)新 435200)

2017-08-01

鄒生書(shū)(1962-)，男，湖北陽(yáng)新人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向數(shù)學(xué)教育.

對(duì)一道向量最值高考試題的三重研究

●鄒生書(shū)
(陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué),湖北 陽(yáng)新 435200)

2017年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅲ理科第12題，是一道以平面幾何圖形為背景、以向量線性表示的等式為呈現(xiàn)方式，求線性系數(shù)和最大值的試題.試題在能力立意方面是一道值得深入研究的佳題，文章從一題多解、結(jié)論拓展和多題一法這3個(gè)方面對(duì)這道試題進(jìn)行了三重研究.

向量;線性表示;最值;高考題;研究

2017年高考已塵埃落定，“研究高考試題，探尋高考新動(dòng)向，指導(dǎo)高中教學(xué)和復(fù)習(xí)備考”是一線教師面臨的重大課題.全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅲ理科第12題是一道以平面向量為載體求最大值的試題，題目能力立意平中見(jiàn)奇，思路入口寬，解法靈活多樣，既能很好考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、通性通法的掌握情況，同時(shí)考查綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想如化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，又能有效考查考生運(yùn)算求解、推理論證和靈活選擇解題策略的能力.下面筆者談?wù)剬?duì)這道試題從解法到問(wèn)題推廣，再到這類(lèi)問(wèn)題的求解通法的三重研究，希望對(duì)讀者有所幫助.

( )

1 解法研究，探求一題多解

圖1

建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)⊙C與BD相切于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CE，則CE⊥BD.由面積法得圓的半徑為

解法1(特殊點(diǎn)法)延長(zhǎng)DC交⊙C于點(diǎn)F，則

由題意，得

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P為點(diǎn)F時(shí),

于是

此不等式可用分析法證明.選項(xiàng)B,C,D均不正確，故選A.

解法2(用三角函數(shù)求最值)設(shè)P(x,y)，則

于是

故選A.

解法3(利用直線與圓的位置關(guān)系)由解法2得

x+2y-2z=0，

亦即

|z-2|≤1，

解得1≤z≤3.故選A.

解法4(利用線性規(guī)劃的思想方法)由解法2得

此方程表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線，其中z就是直線在y軸上的截距.由圖1知:當(dāng)直線與⊙C相切時(shí),z分別取到最大值和最小值，此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，即

亦即

|z-2|=1，

解得z=1或z=3.其中z=3為最大值.故選A.

點(diǎn)評(píng)上述4種解法的共同特點(diǎn)是坐標(biāo)法，即通過(guò)建立直角坐標(biāo)系將向量問(wèn)題通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)處理，即用向量的代數(shù)特征求解.下面用向量的幾何特征再給出一種向量解法.

圖2

又點(diǎn)P,D′,B′共線，從而

則

z=λ+μ.

2 縱向研究，探索本質(zhì)屬性

試題中的矩形較為特殊，λ+μ的最大值和最小值是否與矩形的形狀或大小有關(guān)？通過(guò)縱向研究發(fā)現(xiàn):λ+μ的最大值和最小值均為定值，與矩形的形狀和大小無(wú)關(guān)，性質(zhì)與證明如下:

解法1(從圓的參數(shù)方程切入，用三角函數(shù)求最值)建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)⊙C與BD相切于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CE，則CE⊥BD.由面積法得圓的半徑為

設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則

則

所以

故λ+μ的取值范圍是[1,3].

bx+ay-abz=0，

亦即

|z-2|≤1，

解得

1≤z≤3,

故λ+μ的取值范圍是[1,3].

解法3(利用線性規(guī)劃的思想方法)由例1的解法2可得

此方程表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線，其中bz就是直線在y軸上的截距.由圖1知:當(dāng)直線與圓相切時(shí),bz分別取到最大值和最小值，從而z分別取到最大值和最小值.此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，即

化簡(jiǎn)得

|z-2|=1，

解得z=1或z=3.故λ+μ的取值范圍是[1,3].

解法4(向量方法)與例1的解法5類(lèi)似，這里從略.

3 橫向研究，探尋通性通法

將這道高考題的幾何背景一般化，可得如下一般性問(wèn)題：

圖3

當(dāng)直線l與AB在點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí)，

證明因?yàn)锳B∥A1B1，所以

又因?yàn)辄c(diǎn)P,A1,B1共線，所以

則

λ+μ=z.

當(dāng)直線l與AB在點(diǎn)O的同側(cè)時(shí)，z>0，則

當(dāng)直線l與AB在點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí)，z<0，則

下面舉例說(shuō)明直接運(yùn)用等高線定理可簡(jiǎn)單快捷地解答這類(lèi)問(wèn)題.

例3在ABCD中，E,F分別為CD,BC的中點(diǎn)，若其中λ,μ∈R，則λ+μ=______.

圖4 圖5

(2011年江西省南昌市數(shù)學(xué)聯(lián)考試題)

過(guò)點(diǎn)P作CD的平行線l，由定理1知:當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),

又因?yàn)镻是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，所以n-2m的取值范圍是(-2,1).

點(diǎn)評(píng)本解法需要根據(jù)所求最值式n-2m構(gòu)造新基底，靈活運(yùn)用定理1,從而使問(wèn)題獲解.

圖6 圖7

(2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽湖北省預(yù)賽高一試題第7題)

解如圖7，聯(lián)結(jié)OA,OB，因?yàn)镺是△ABC的內(nèi)心，所以O(shè)A,OB分別平分∠BAD和∠ABC.延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)D，因?yàn)锳B=BC=2，所以點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn).作OE∥BC交AC于點(diǎn)E，因?yàn)锳O是△ABD的內(nèi)角平分線，由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理得

由OE∥BC，得

又點(diǎn)B,O,D共線，所以

由式(1)和式(2)，得

故

( )

(2013年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

從而

圖8

S= 4S△OAB=

故選D.

評(píng)注上述向量解法本質(zhì)上與二元線性規(guī)劃問(wèn)題中求線性目標(biāo)函數(shù)的最值或取值范圍的圖解法完全類(lèi)似,用的都是平行線法，如果最值存在，其值都在可行域的邊界上取得.用平行等高線法求這類(lèi)問(wèn)題的值域，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)確實(shí)理論要求較高，但起點(diǎn)高落點(diǎn)低，解法形象直觀，一旦掌握則答案唾手可得.

筆者對(duì)例1進(jìn)行了3個(gè)維度的研究：1)試題解法研究，即一題多解，多角度、多方位用多種數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決試題，在高三復(fù)習(xí)備考時(shí)可達(dá)到以點(diǎn)帶面、做一題復(fù)習(xí)一大片的效果；2)對(duì)試題縱向研究，即將題目的部分條件一般化研究一般性問(wèn)題的一般性結(jié)論，有利于看清問(wèn)題的本質(zhì)屬性，對(duì)問(wèn)題有比較深刻的理解；3)橫向研究，即將問(wèn)題放到一個(gè)更加普遍的一類(lèi)問(wèn)題上進(jìn)行研究，主要研究這類(lèi)問(wèn)題的通性通法，達(dá)到多題一法、一法解一類(lèi)題之目的.

[1] 鄒生書(shū).構(gòu)建仿射坐標(biāo)系解題[J].河北理科教學(xué)研究，2012(2)：36-39.

[2] 康井榮，蘇良國(guó).向量等式轉(zhuǎn)化的幾種策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017(5)：44-46.

[3] 鄒生書(shū).2013年高考平面向量精彩試題賞析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí),2013(10)：2-3.

O123.1

A

1003-6407(2017)10-33-05