素養(yǎng)本天成 向量妙顯之
——基于2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第15題

● (平湖中學(xué),浙江 平湖 314200)

2017-07-22

李學(xué)軍(1976-)，男，吉林德惠人，中學(xué)高級教師.研究方向數(shù)學(xué)教育.

素養(yǎng)本天成向量妙顯之
——基于2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第15題

●李學(xué)軍曲文瑞
(平湖中學(xué),浙江 平湖 314200)

數(shù)學(xué)教師要研究學(xué)生的解題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題，用數(shù)學(xué)的思維進行思考和解決問題，去體會、體驗在解題過程中的糾結(jié)和成功之后的快樂，實現(xiàn)真正意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).文章結(jié)合2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試卷中的一道填空題，深入挖掘考點，深刻探尋題源，進而享受2017年浙江省數(shù)學(xué)高考文理合卷的經(jīng)典美.

浙江考題;解法探究;教學(xué)啟迪

2017年的高考已經(jīng)落下帷幕，2017年是浙江省高考改革數(shù)學(xué)文理合卷的第一年，根據(jù)以往文科生和理科生的思維特點，浙江省考試院完善了往屆的考試說明，出臺了《2017年浙江省普通高中高考考試說明》.2017年的高考試卷嚴格按照新的考試說明及學(xué)科指導(dǎo)意見進行命制，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及必備數(shù)學(xué)問題解決能力的考核，強調(diào)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)性、能力應(yīng)用的綜合性，真正體現(xiàn)了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提到的“使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想，使學(xué)生表達清晰、思考有條理，使學(xué)生具有實事求是的態(tài)度、鍥而不舍的精神，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認識世界.”

1 去年今日此門中——考題重現(xiàn)

題目已知向量a,b滿足|a|=1，|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是______，最大值是______.

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第15題)

本題作為填空題的第5題(填空題共7題)，在填空題中處于關(guān)鍵性的位置，起到承上啟下的作用，同時根據(jù)往屆文科考生和理科考生的特點命制這樣一道具有分水嶺的漂亮的向量考題，能夠快速考查出數(shù)學(xué)思維高、素養(yǎng)深的學(xué)生；對于數(shù)學(xué)水平一般的學(xué)生通過對問題的分析理解，從問題的概念入手，運用常規(guī)方法依然能夠達到自己理想的結(jié)論.教材《數(shù)學(xué)(必修4)》第109頁的例1就是探究平行四邊形的4條邊與兩條對角線之間的關(guān)系問題.本題緊扣教材，無論是函數(shù)值范圍的處理還是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想都源于教材.該題作為填空題的關(guān)鍵性試題語言簡潔，解題入口寬、層次多、區(qū)分度好，具有非常明顯的“浙江風(fēng)彩”.

2 人面桃花相映紅——解法探究

視角1坐標(biāo)的視角

分析設(shè)a=(cosα,sinα)，b=(2,0),則

|a+b|+|a-b|=

點評利用坐標(biāo)法解決平面向量問題，實際上就是把抽象的向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算.不同的學(xué)生建立的平面直角坐標(biāo)系可能不同，但是對于解決該題影響并不大，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為以角為自變量后的函數(shù)最值的處理.通過觀察可以發(fā)現(xiàn)兩個根號內(nèi)部的變量之間是互為相反數(shù)的，因此，平方處理是比較理想的處理方式.

視角2基底的視角

分析設(shè)=α∈[0,π]，則

|a+b|+ |a-b|=

以下解答同視角1.

點評平面向量基本定理是平面向量知識中非常重要的一個知識點.易知向量a,b是非常恰當(dāng)?shù)囊唤M基底(當(dāng)a,b不共線時)，只要確定a,b的夾角,|a+b|+|a-b|就可以用夾角進行表示，通過引入向量的夾角，問題的難點便得到很好地轉(zhuǎn)化.

視角3規(guī)劃的視角

分析設(shè)|a+b|=x,|a-b|=y,其中x,y≥1,則

x2+y2=|a+b|2+|a-b|2=10，

圖1

原問題轉(zhuǎn)化為“已知x2+y2=10(其中x≥1,y≥1)，求x+y的最大值及最小值”.

點評該方法的關(guān)鍵是換元，通過換元找出兩個變元x,y之間的等量關(guān)系，通過分析得出變元x,y的范圍，從而得出軌跡是圓的一部分.而要研究的結(jié)論恰好和直線的截距有關(guān)，利用數(shù)形結(jié)合比較容易得出結(jié)論.

視角4根的分布視角

分析由視角3可知，原問題可轉(zhuǎn)化為“已知x2+y2=10(其中x≥1,y≥1)，求x+y的最大值及最小值”.

圖2

2x2-2tx+t2-10=0.

由題意知方程2x2-2tx+t2-10=0在[1,3]內(nèi)有兩個根.

設(shè)f(x)=2x2-2tx+t2-10,如圖2所示得

解得

點評該方法的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)等式中的二次關(guān)系，還有一個一次關(guān)系.兩個方程、3個變量，通過消元得到以x為主元的一元二次方程，方程的根的范圍可以確定，利用根的分布解決問題應(yīng)是順理成章的，但是在考場上要通過兩次轉(zhuǎn)換，并且要解4個不等式，對于小題目來說，不應(yīng)該成為主流.

視角5三角換元的視角

分析由視角3可知，原問題可轉(zhuǎn)化為“已知x2+y2=10(其中x≥1,y≥1)，求x+y的最大值及最小值”.

點評該方法來源于三角函數(shù)的定義，實質(zhì)是引進新的變元，把x,y用新的變元表示，把新的變元作為主元，找出主元的取值范圍，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進行處理.也可以通過平方，轉(zhuǎn)換為齊次式，以tanα為主元進行處理，這也是一種非常漂亮的方法.

視角6構(gòu)造的視角

分析設(shè)a=(1,0)，則

-a=(-1,0),b=(2cosα,2sinα).

圖3

如圖3，設(shè)點A(1,0),A′(-1,0),B(2cosα,2sinα),則

|a+b|+ |a-b|=

|BA′|+|BA|,

點評該方法的關(guān)鍵是從兩個絕對值入手.絕對值的幾何意義就是距離問題，通過引進坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為一個動點到兩個定點的距離和的最值問題.轉(zhuǎn)化之后可以發(fā)現(xiàn)，這剛好是橢圓的定義，進而求動態(tài)橢圓的長軸長的最值問題，通過觀察即可得到想要的結(jié)果.該方法應(yīng)該是此問題最本質(zhì)的考查.

視角7幾何的視角

分析如圖4，設(shè)a=(cosα,sinα)，則

b=(2,0). -b=(-2,0),

圖4

設(shè)點B(2,0),A(-2,0),P(cosα,sinα),則點Q在圓x2+y2=1上,從而

|a+b|+ |a-b|=

|QA|+|QB|,

當(dāng)點A,Q,B共線時，|a+b|+|a-b|取得最小值4.

點評該方法同視角6類似，轉(zhuǎn)化為動點到兩個定點的距離和，當(dāng)3個點共線時，距離和最小.但是通過幾何圖形尋找最大值有一定難度.

視角8不等式的視角

分析平行四邊形的兩條對角線及4條邊有如下關(guān)系：平行四邊形的兩條對角線的平方和等于4條邊的平方和.特殊情況：當(dāng)四點共線時仍然成立.

設(shè)|a+b|=x,|a-b|=y，其中x≥1,y≥1，則

x2+y2=10(其中x≥1,y≥1)，

從而

(x+y)2≤2(x2+y2)=20，

點評這個平行四邊形的結(jié)論是教材中的例題，同時也是非常重要的結(jié)論，在例題的探究過程中還可以得出極化恒等式.已知平方和為定值，求兩個正數(shù)的和的最大值，恰好可以構(gòu)造基本不等式的變形公式或者柯西不等式，但用不等式求最小值對學(xué)生的能力又提出了新的考驗.

3 人面不知何處去——源題追溯

源頭1已知實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為______.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第16題)

( )

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

源頭3若實數(shù)x,y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是______.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

源頭4已知平面向量a，b，|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e為平面的單位向量，則|a·e|+|b·e|的最大值是______.

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第15題)

4 桃花依舊笑春風(fēng)——教學(xué)啟迪

一道精彩的高考試題在一定程度上能夠指導(dǎo)教師根據(jù)學(xué)生駕馭知識的實際情況，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容以及根據(jù)教學(xué)內(nèi)容選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段和方法，進而直接影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升.這道平面向量填空題作為試卷中的關(guān)鍵性題目，雖然有著“入手易，解法多”的特點，但是在操作的過程中，有部分學(xué)生仍然有力不從心的感覺[1].因此，在平時的教學(xué)中我們應(yīng)該更多關(guān)注以下幾個方面：

4.1 關(guān)注基礎(chǔ)，重視本質(zhì)

張奠宙教授曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性關(guān)鍵在于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗.”

在2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試卷中，對知識的概念考查、對問題的本質(zhì)考查貫穿于整張試卷，應(yīng)該說是考查的重點.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識是從認識起步到理解、掌握，并在這個過程中逐漸清晰數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，同時形成數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維[2].正如章建躍先生曾說過：“要讓學(xué)生養(yǎng)成‘回到概念去’思考和解決問題的習(xí)慣.”我們平時所說的中檔題目或者難題就是多個知識點進行交叉和互融的考核，因此，無論是新授課還是專題課的教學(xué)都應(yīng)該從基礎(chǔ)出發(fā)，在平時的教學(xué)中要盡量留給學(xué)生足夠的時間讀題、審題，在這個過程中讀出若干個思維角度，審出題目的結(jié)構(gòu)，理解問題的本質(zhì)，這才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根基所在.

4.2 強化通法，滲透巧法

高考是選拔性考試，既要保證考生在考場上走好尋常路，同時又要讓那些有創(chuàng)造性的考生能夠脫穎而出，因此在試題的設(shè)置上表現(xiàn)為“通性通法”重點考查.學(xué)生在考試的過程中，不同的學(xué)生對不同的知識理解是有差異的，數(shù)學(xué)素養(yǎng)比較高的學(xué)生會把多種通法綜合到一起，從而創(chuàng)造出含有“技巧性元素”的方法.因此，在平時的教學(xué)中，要求教師更加注重對知識的“通性通法”的教學(xué).只要對問題解決的通性通法過關(guān)、熟練、高效，某些試題的技巧性方法自然就會應(yīng)運而生.解決問題的通法就是把握數(shù)學(xué)的學(xué)科思維特征，遵循數(shù)學(xué)的思維特征看待問題、分析問題和解決問題.

4.3 加強探究，提升素養(yǎng)

解題是一種創(chuàng)造性的活動，是理論到實踐的過程.通過學(xué)生解題的過程可以發(fā)現(xiàn)：有一些題目的類似題或者原題已經(jīng)教了許多遍，但是學(xué)生還是不能很好地掌握.因此，在教學(xué)中教師要敢于等待學(xué)生，陪伴學(xué)生重筑數(shù)學(xué)知識的形成之路，而不是在某些經(jīng)典的知識點或者試題上“一滑而過”.正如波利亞曾形象地指出：“好問題同某些蘑菇有些相似，它們大都成堆的生長，找到一個之后，你應(yīng)當(dāng)在周圍再找一找，很可能就有幾個.”在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計有探究價值的題目，鼓勵學(xué)生參與其中，實現(xiàn)做中學(xué)、學(xué)中悟，從而實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

總之，2017年的浙江省數(shù)學(xué)高考試卷，打破了高考中的文科生和理科生的固定思維模式，開啟了文理合卷的新篇章，高考試題無論在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識方面，還是在學(xué)生駕馭知識的應(yīng)用能力上都達到了選拔人才的效果，在數(shù)學(xué)試卷中更多地強調(diào)了每位考生必須具備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考核，更加有利于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的可持續(xù)性.正所謂素養(yǎng)本天成，向量妙顯之！

[1] 李學(xué)軍,曲文瑞.平凡真功顯 秒解素養(yǎng)現(xiàn)——由2017浙江省高中數(shù)學(xué)模擬卷17題說起[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2017(4):39-41.

[2] 許欽彪.概念化教學(xué)是改進現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的有效途徑[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2017(6):1-6.

O123.1

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1003-6407(2017)10-29-04