觸及題目的背后
——談高三數(shù)列復(fù)習(xí)

● (常州市第一中學(xué),江蘇 常州 213003)

2017-08-30

江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題(B-a/2015/02/008)

陸建明(1981-)，男，江蘇溧陽人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向數(shù)學(xué)教育.

觸及題目的背后
——談高三數(shù)列復(fù)習(xí)

●陸建明
(常州市第一中學(xué),江蘇 常州 213003)

文章從2017年江蘇省南通市二模數(shù)學(xué)卷第20題引入，探索此題的背景，指出評(píng)講高三數(shù)列壓軸題應(yīng)該兼顧一輪、推而廣之、旁征博引，從而真正實(shí)現(xiàn)高三復(fù)習(xí)定位于突出重點(diǎn)、掌握思想、學(xué)會(huì)探究的目標(biāo)，即提升能力,力爭(zhēng)突破難題.

等差數(shù)列;等比數(shù)列;好數(shù)列

高三下學(xué)期復(fù)習(xí),在學(xué)生系統(tǒng)掌握了基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)方法后，教學(xué)更多的是以練帶動(dòng)復(fù)習(xí)，此時(shí)教師評(píng)講作業(yè)如果和學(xué)生一樣只是就題論題，那么學(xué)生怎會(huì)有質(zhì)的飛躍，怎會(huì)有深刻認(rèn)識(shí)，并形成深刻的反思！作為教師，要給學(xué)生一碗水，自己必需有一桶水，站在更高的高度看待高三復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)目標(biāo)應(yīng)該定位于突出重點(diǎn)、掌握思想、學(xué)會(huì)探究，即提升能力,力爭(zhēng)突破難題.下面以2017年江蘇省南通市二模數(shù)學(xué)卷第20題評(píng)講為例，站在更高的高度探索數(shù)列終極復(fù)習(xí).

例1設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(其中n∈N*)，且滿足：

① |a1|≠|(zhì)a2|;

②r(n-p)Sn+1=(n2+n)an+(n2-n-2)a1,其中r,p∈R,且r≠0.

1)求p的值；

2)數(shù)列{an}能否是等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由；

3)求證：當(dāng)r=2時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

分析1)p=1；2)利用特值法得到{an}不是等比數(shù)列,過程略.

3)證明由題意可得

2(n-1)Sn+1=(n2+n)an+(n2-n-2)a1.

當(dāng)n=1時(shí)，上式恒成立.

當(dāng)n≥2時(shí)，

上式賦n為n+1，得

(2)

式(2)-式(1)，得

兩邊同除n+1,得

令bn=an-a1,得

2cn+2=(n+2)cn+1-ncn

即

2(cn+2-cn+1)=n(cn+1-cn).

令dn=cn+1-cn,得

累乘可得

從而

dn=0.

an=a1+(n-1)(a2-a1).

經(jīng)檢驗(yàn)，n=1符合上式.

教師引領(lǐng)，站在一定的高度反思這個(gè)問題：條件r(n-1)Sn+1=(n2+n)an+(n2-n-2)a1是整個(gè)題目的核心，r=2怎么來的呢？事實(shí)上，反過來想：如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，那么可以借助基本量化簡(jiǎn)得

r(n-1)Sn+1=

(3)

(n2+n)an+(n2-n-2)a1=

n(n+1)a1+(n-1)n(n+1)d+(n-2)(n+1)a1=

2(n-1)(n+1)a1+n(n+1)(n-1)d,

(4)

對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)r=2時(shí)，式(3)和式(4)相等，因此可以大膽猜測(cè)當(dāng)r=2時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列.此外，還有其他角度的解釋嗎？

如果只是滿足于解決這一道題目，那么學(xué)生不可能發(fā)現(xiàn)其背后的問題，更沒法做到深度地思考與反思.正好在前面的復(fù)習(xí)中，我們遇到了一個(gè)“好數(shù)列”的題目.

例2設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，我們稱滿足條件：“對(duì)任意的m，n∈N*,均有(n-m)Sn+m=(n+m)(Sn-Sm)”的數(shù)列{an}為好數(shù)列(問題略).

對(duì)于這個(gè)問題，我們需要思考的是:上述定義的來源是什么，滿足“好數(shù)列”的背景是什么？事實(shí)上，經(jīng)過嘗試，我們發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列滿足上述定義，也就是如果{an}是等差數(shù)列，那么可以證得

(n-m)Sn+m=(n+m)(Sn-Sm).

反思第一輪中做過的一道題目：

例3已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=m,Sm=n(其中m,n∈N*,m≠n)，則Sm+n=-(m+n).

事實(shí)上，這是一個(gè)很實(shí)用的等差數(shù)列性質(zhì)，在文獻(xiàn)[1]中有詳細(xì)解析.由此可以猜想數(shù)列中有很多問題都是可以反過來思考的，這與文獻(xiàn)[2]的研究思路類似.如：

2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的m,n∈N*，都有

(n-m)Sn+m=(n+m)(Sn-Sm),

則{an}是等差數(shù)列；

3)若{an}的前n項(xiàng)和為Sn=A-Aqn(其中A是不為0的常數(shù)，q≠0且q≠1),則{an}是等比數(shù)列；

4)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意m,n∈N*,都有

Sm+n=Sn+qnSm(其中q≠0)，

則{an}是等比數(shù)列.

上述含有參數(shù)m,n的數(shù)列性質(zhì)，有點(diǎn)類似抽象函數(shù)表達(dá)式的來源.回到例1，將已知條件作進(jìn)一步思考：

2(n-1)Sn+1=(n2+n)an+(n2-n-2)a1，

取其中1為任意的正整數(shù)m，上式可以變形為

2(n-m)Sm+n= [n2+n-(m2-m)]an+

[n2-n-(m2+m)]am，

我們大膽利用上述思想推而廣之.

思路1取m=1，回到例1中的證明.

思路2賦m=2,n=1,得

a1+a3=2a2；

賦m為n+1，得

即S2n+1=(2n+1)an+1；

(5)

再賦m為n+2,n為n-1，得

(6)

由式(5)和式(6)可得

3an+1=2an+2+an-1，

從而 2(an+2-an+1)=an+1-an+an-an-1.

令bn=an+1-an,得

2bn+1=bn+bn-1,

即

2(bn+1-bn)=-(bn-bn-1).

又因?yàn)閎2-b1=a3+a1-2a2=0，所以

bn-bn-1=0，

即

an+1-an=an-an-1，

故數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

評(píng)注上述問題給學(xué)生提供了更大的思維空間，并且將問題推廣到更一般的情況，讓學(xué)生從一定的高度進(jìn)行思考與分析，為日后遇到類似問題提供方法.

例5已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的m,n∈N*,(Sm+n+S1)2=4a2ma2n.

2)求證：{an}為等比數(shù)列.

1)解令m=n=1，可得

因?yàn)閍1>0,a2>0，所以

a2+2a1=2a2，

即

2)證明令m=1,n=2,得

(2a1+a2+a3)2=4a2a4.

令m=n=2,得

S4+S1=2a4,

即

2a1+a2+a3=a4,

從而

a4=4a2=8a1，

于是

a3=4a1.

又(Sn+1+S1)2=4a2na2,(Sn+2+S1)2=4a2na4,兩式相除可得

即

亦即

Sn+2+S1=2(Sn+1+S1)，

進(jìn)而

Sn+3+S1=2(Sn+2+S1)，

上面兩式相減可得an+3=2an+2.經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)n≥2時(shí)，均有an=2an-1，故數(shù)列{an}為等比數(shù)列.

數(shù)學(xué)本身是一個(gè)整體，教師只有站在學(xué)科的高度看問題，深入挖掘知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想的教育價(jià)值，才能充分抓住機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生從整體、系統(tǒng)的角度進(jìn)行分析,積極探索數(shù)學(xué)問題的“本源”，從而積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)分析問題、解決問題的能力，提高數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).

[2] 陸建根.一道試題的深度研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016(7):39-41.

O122.1

A

1003-6407(2017)10-20-03