基于基本圖形的自然解法

● (鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué)，浙江 寧波 315100)

2017-06-19

蔡衛(wèi)兵(1976-)，男，浙江象山人，中學(xué)高級教師.研究方向數(shù)學(xué)教育.

基于基本圖形的自然解法

●蔡衛(wèi)兵
(鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué)，浙江 寧波 315100)

文章從基本圖形出發(fā)，嘗試通過添加輔助線來解答初中幾何問題，從而找到解題的切入口，順利地把條件與結(jié)論有機(jī)串聯(lián)起來，使得解法簡潔、流暢.基本圖形是輔助線添加的源頭，它驅(qū)動(dòng)著思維起航，催生著解題思路的自然、連貫.

數(shù)學(xué)解題；基本圖形；自然解法

1 題目再現(xiàn)

圖1

題目如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=30°，D是AB上任意一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DC，作DE⊥DC，EA⊥AC，DE與AE交于點(diǎn)E，則DE,DC有什么數(shù)量關(guān)系？請給出證明.

本文基于6種基本圖形(如圖2所示)，用13種解法解決了該問題.

① ② ③

④⑤⑥

2 解法展示與思考

2.1 基本圖形①

圖3

解法1如圖3，過點(diǎn)D作DF⊥AB,且DF與AC的延長線交于點(diǎn)F.因?yàn)镈E⊥DC，所以

∠FDC=∠ADE.

又EA⊥AC，從而

∠F=∠DAE,

于是△FDC∽△ADE,進(jìn)而

由∠ACB=90°，∠CBA=30°，知

∠FAD=60°.

因此在Rt△FDA中,

故

解法2如圖4，過點(diǎn)D作DF⊥AB，且DF與AE的延長線交于點(diǎn)F.由解法1得

△ADC∽△FDE，

從而

又由解法1得∠F=60°，于是

故

圖4 圖5

解法3如圖5，過點(diǎn)D作DF⊥AC，DG⊥AE，垂足分別為F，G.由EA⊥AC可知四邊形AGDF為矩形，從而DG=FA.同解法1得∠FAD=60°，于是

又∠CDF=∠EDG，從而

Rt△CDF∽Rt△EDG，

于是

故

思考關(guān)于有公共頂點(diǎn)的雙直角的基本圖形模型，這是浙教版《數(shù)學(xué)》七年級上冊“余角和補(bǔ)角”中的例題:指出圖中哪些角是互余的？哪些角是相等的？顯然根據(jù)同角的余角相等已證一對銳角相等，接著考慮將要求的兩條線段DC,DE分別放到已得的一對角相等的兩個(gè)三角形中，然后只需再證一對角相等便可判定兩個(gè)三角形相似，借助相似三角形的對應(yīng)邊成比例將要求的“線段DC,DE之比”轉(zhuǎn)化為“已知關(guān)系的兩線段之比”.由于學(xué)生對此種基本圖形模型比較熟悉，相似三角形的構(gòu)造、判定、性質(zhì)運(yùn)用比較常見，因此解法1～3的輔助線容易想到，求解過程比較常規(guī)，是學(xué)生自然而然能想到的方法.

2.2 基本圖形②

解法4如圖6，過點(diǎn)D作GF⊥BC，且GF與BC交于點(diǎn)G，與AE的延長線交于點(diǎn)F.由∠ACB=90°，EA⊥AC可知四邊形ACGF為矩形，從而CG=FA.易證∠DCG=∠FDE，于是

Rt△CDG∽Rt△EDF，

因此

易得

∠FDA=60°，

圖6 圖7

解法5如圖7，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，過點(diǎn)E作EG⊥DF，垂足為G.同解法4可知四邊形AFGE為矩形，從而EG=FA,同解法4又可得

Rt△CDF∽Rt△DEG，

于是

因?yàn)?/p>

所以

圖8

解法6如圖8，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，過點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G.同解法5可得

Rt△CDF∽Rt△DEG，

從而

于是

CF·EG=DG·DF.

由Rt△ACF∽Rt△EAG,得

從而

CF·EG=AG·AF,

于是

DG·DF=AG·AF，

即

因此

進(jìn)而

DG=AF,

于是

故

圖9

思考關(guān)于3條邊分別互相垂直的兩個(gè)直角三角形的基本圖形模型，這是浙教版《數(shù)學(xué)》八年級上冊“全等三角形”和九年級上冊“相似三角形”中的作業(yè)題，提煉模型：如果兩個(gè)直角三角形對應(yīng)邊互相垂直，當(dāng)對應(yīng)邊相等時(shí)，那么這兩個(gè)直角三角形全等；當(dāng)對應(yīng)邊不相等時(shí)，那么這兩個(gè)直角三角形相似[1].解法4～6的本質(zhì)相同，都是通過作輔助線構(gòu)造“三垂直”相似模型，前兩種線段之間的代換不涉及任何技巧，這也是比較接近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)的一種解題思路.其中解法6需要比例式與等積式之間的多次轉(zhuǎn)化，運(yùn)用合分比性質(zhì)得出DG=AF使問題得解，其所蘊(yùn)涵的思維量和所涉及的計(jì)算能力不是學(xué)生能自然而然所獲得的.

2.3 基本圖形③

解法7如圖9，延長CD交AE的延長線于點(diǎn)F.由∠ACB=90°和EA⊥AC得BC∥AF，從而△BCD∽△AFD，于是

由∠F=∠F，∠FDE=∠FAC=90°得

△FAC∽△FDE，

從而

于是

因此

故

圖10

2.4 基本圖形④

解法8如圖10，聯(lián)結(jié)CE，作△CDE的外接圓，因?yàn)镈E⊥DC，所以CE為圓的直徑，又EA⊥AC，從而點(diǎn)A在以CE為直徑的圓上，即點(diǎn)A,C,D,E在同一個(gè)圓上.由圓周角定理推論知

∠DEC=∠DAC=60°，

從而

于是

思考“直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”是圓的基本性質(zhì)，學(xué)生能比較熟練地想到運(yùn)用上述性質(zhì)，通過補(bǔ)上輔助的隱形圓，是此種解法的突破口，接著利用“同弧所對的圓周角相等”和銳角三角函數(shù)就能順利求解.

2.5 基本圖形⑤

解法9如圖11，截取DF=DC，作∠GDA=∠EAD=30°.在四邊形ACDE中,

∠CDE=∠CAE=90°，

從而

∠DCA+∠E=180°.

因?yàn)椤螪FC+∠DFA=180°，∠DCF=∠DFC，所以

∠DFA=∠E.

又因?yàn)椤螪AF=60°，∠DGE=∠GDA+∠EAD=60°，所以

∠DAF=∠DGE,

從而

△DAF∽△DGE，

于是

即

故

圖11 圖12

解法10如圖12，截取DF=DC，AG=AD，聯(lián)結(jié)DG.同解法9得

∠DFA=∠E,

因?yàn)椤螪AF=∠G+∠ADG=60°，∠G=∠ADG，所以

∠G=30°.

又∠DAE=30°，從而

∠G=∠DAE,

于是

△DFG∽△DEA，

因此

于是

故

解法11如圖13，截取DF=DE，作∠GDA=∠EAD.同解法9得

∠F=∠DCA， ∠DGF=∠DAC=60°,

從而

△DAC∽△DGF，

于是

因此

故

圖13 圖14

解法12如圖14，截取DF=DE，AD=AG，聯(lián)結(jié)DG.同解法10得

∠F=∠DCA， ∠DAF=∠G=30°,

從而

△DCG∽△DFA，

于是

因此

故

思考以上4種解法本質(zhì)相同，都是基于“等腰三角形的兩腰相等進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)化”和“等腰三角形的兩底角相等進(jìn)行角之間的轉(zhuǎn)化”，接著依賴于視點(diǎn)的依次轉(zhuǎn)換，順勢而思，通過構(gòu)造包含相關(guān)的線段和已有的相等角的相似三角形：解法9和解法11再構(gòu)造一對60°的角，解法10和解法12再構(gòu)造一對30°的角，然后借助頂角為120°的等腰三角形的腰和底邊之間的關(guān)系加以求解.這里解題思路的探尋一環(huán)扣一環(huán)，完全根據(jù)解題的需要，步步推進(jìn)，但整個(gè)構(gòu)造轉(zhuǎn)化的過程較為復(fù)雜，學(xué)生獲得這4種解法有一定的難度.

2.6 基本圖形⑥

圖15

直線DE的解析式為

故

思考“定位”是坐標(biāo)系特有的本領(lǐng)，根據(jù)本題的條件易將這個(gè)圖形放在一個(gè)合適的平面直角坐標(biāo)系中來思考，逐一定點(diǎn)、定線、定距離，通過“以數(shù)解形”使問題的解決水到渠成.用字母表示圖中有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或直線解析式或線段的長度，體現(xiàn)出符號意識，計(jì)算較繁瑣，這是學(xué)生很難實(shí)現(xiàn)的“自然解法”.

3 反思

崇尚自然、重視常規(guī)而淡化技巧性是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一個(gè)方向和追求.方法的生成應(yīng)該從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)和思考基礎(chǔ)出發(fā)，從記憶儲(chǔ)存中提取有關(guān)的基本圖形和常用結(jié)論,選擇準(zhǔn)確、科學(xué)的思維起點(diǎn)，使得解題的思路更加開闊，輔助線的添加也更為自然，從而催發(fā)方法自然生長[2].從思維的角度看，基于基本圖形的數(shù)學(xué)模型解題體現(xiàn)思維定勢正遷移的積極作用，化生為熟，化非常規(guī)為標(biāo)準(zhǔn)題的化歸過程；從方法論的角度看，借助基本圖形的數(shù)學(xué)模型思考問題，既可防止無關(guān)信息的負(fù)面干擾，又能以“塊到塊”的思維模式代替“點(diǎn)到點(diǎn)”的思維模式，提高思維的敏捷性.

在平時(shí)的解題教學(xué)過程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的內(nèi)容整理歸納出類型和方法，經(jīng)過加工提煉，得出有長久保存價(jià)值的基本圖形的數(shù)學(xué)模型，有意識地記憶下來，在新問題中喚醒頭腦中積累的基本圖形，并選擇較簡單的求解過程的數(shù)學(xué)模型加以運(yùn)用，從而建構(gòu)解決問題的方法體系.這樣，學(xué)生頭腦中能快速辨認(rèn)、隨時(shí)提取、簡單和諧的基本圖形分析法，自然流暢和快捷有效，由此成為學(xué)生的自然解法.

[1] 王堯興.一個(gè)數(shù)學(xué)模型的中考情結(jié)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2013(10)：37-41.

[2] 蔡衛(wèi)兵.在基本圖形的導(dǎo)航下進(jìn)行合理思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016(6)：51-55.

O123.1

A

1003-6407(2017)10-13-04