一類擴(kuò)散食物鏈模型正解的多重性和唯一性

李海俠

(寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 寶雞 721013)

一類擴(kuò)散食物鏈模型正解的多重性和唯一性

李海俠

(寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 寶雞 721013)

研究了一類具有Crowley-Martin反應(yīng)函數(shù)的食物鏈模型。首先利用全局分歧理論和度理論討論了正解的存在性和多重性，得到了正解分歧的基本形狀。接著運(yùn)用擾動(dòng)理論給出了正解的唯一性和穩(wěn)定性條件，結(jié)果表明當(dāng)d充分大時(shí)系統(tǒng)在一定條件下存在唯一且穩(wěn)定的正解。

Crowley-Martin反應(yīng)函數(shù)；分歧；擾動(dòng)；多重性；唯一性

本文在齊次Robin 邊界條件下討論如下具有C-M反應(yīng)函數(shù)的食物鏈模型

其中 Ω∈RN是帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域。系統(tǒng)(1)是食物鏈模型，其中u是食餌，v是以u(píng)為食物的捕食者，w是以v為食物的捕食者。r1和r3是食餌u和捕食者w的增長(zhǎng)率。r2是捕食者v的死亡率。a1,a2,c和d分別代表了捕食者v的捕獲率、轉(zhuǎn)化率、處理時(shí)間和捕食者間的干擾度。u0(x),

(1)

當(dāng)系統(tǒng)(1)沒(méi)有捕食者w且d=0時(shí)，系統(tǒng)(1)變?yōu)榫哂蠬olling-II反應(yīng)函數(shù)的兩物種捕食-食餌模型。文獻(xiàn)[12-14]在Neumann邊界條件下運(yùn)用分歧理論研究了非常數(shù)正解的不存在性和存在性以及周期解的存在性。如果系統(tǒng)(1)沒(méi)有捕食者w，則系統(tǒng)(1)變?yōu)榫哂蠧-M反應(yīng)函數(shù)的兩物種捕食-食餌模型。文獻(xiàn)[15]在Neumann邊界條件下考察了系統(tǒng)平衡態(tài)正解的圖靈不穩(wěn)定性和Hopf分歧。

本文將重點(diǎn)考慮系統(tǒng)(1)對(duì)應(yīng)的平衡態(tài)系統(tǒng)

(2)

正解的存在性、多重性、穩(wěn)定性和唯一性。

令

為了得到重要結(jié)論，這節(jié)最后給出一些預(yù)備知識(shí)。

則λ1(q)連續(xù)依賴q,λ1(q)是簡(jiǎn)單的。而且，如果q1≤q2,q1?q2，則λ1(q1)<λ1(q2)。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，記λ1(0)為λ1，相應(yīng)于λ1的主特征函數(shù)記為 ?1,?1>0且‖?1‖∞=1。

考慮如下非線性問(wèn)題

-Δu=u(r-u),x∈Ω;

(3)

眾所周知，若r>λ1，則(3)有唯一正解。定義唯一正解為Θr。特別地，Θr≤r且Θr連續(xù)依賴r。

1 正解的存在性和多重性

本小節(jié)應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論和分歧理論討論系統(tǒng)(2)正解的存在性和多重性條件。首先類似文獻(xiàn)[17]定理2的證明給出系統(tǒng)(2)共存解的先驗(yàn)估計(jì)。

引理1 如果a2r1>r2(1+r1c)，則系統(tǒng)(2)的任意共存解(u,v,w)有先驗(yàn)估計(jì)

u(x)≤r1,v(x)≤Q,w(x)≤r3+b2

注1 下面總假設(shè)a2>max{r2(1+r1c)/r1,cλ1}。

引理2 如果系統(tǒng)(2)有共存解，則r1>λ1,r2<Λ,r3+b2>λ1。

利用引理2和上下解方法易得

接下來(lái)，以r2為分歧參數(shù)研究系統(tǒng)(2)關(guān)于強(qiáng)半平凡解(Θr1,0,Θr3)的分歧。為了應(yīng)用分歧理論引入如下空間:

令U=Θr1-u,V=v,W=w-Θr3，則U,V,W>0滿足

(4)

其中

G1(U,V,W)=U2+(Θr1-U)·

G2(U,V,W)=

G3(U,V,W)=

令

G(U,V,W)=

(G1(U,V,W),G2(U,V,W),G3(U,V,W))

顯然,G(0,0,0)=0且G連續(xù)。而且，F(xiàn)réchet導(dǎo)數(shù)D(U,V,W)G(0,0,0)=0。令K是帶有Robin邊界條件的-Δ的逆，則問(wèn)題(4)成為

定義T:R+×E→E為

T(r2,U,V,W)=

KG1(U,V,W),

則T(r2,U,V,W)是可微緊算子。令F=I-T。顯然，F(xiàn)是C1函數(shù)且F(r2,0,0,0)=0。而且，F(xiàn)(r2,U,V,W)=0當(dāng)且僅當(dāng)(r2,Θr1-U,V,Θr3+W)是系統(tǒng)(2)的非負(fù)解。

‖φ1‖2=1，

接著，將局部分歧延拓為全局分歧。

令r2,i(μ)(μ≥1)是如下特征值問(wèn)題的特征值

-ΔU=r1U,x∈Ω;

x∈Ω;

下面應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論討論系統(tǒng)(2)共存解的多重性。為此，記

W=K⊕K⊕K,

D={(u,v,w)∈W|u(x)

v(x)

定義算子At:D→W為

At(u,v,w)=(-Δ+q)-1·

接下來(lái)運(yùn)用類似文獻(xiàn)[19]的方法給出算子A在平凡解和半平凡解處的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)，在此省略其證明。

引理4

(i) indexW(A,D)=1；

(ii) 若r1≠λ1,r3>λ1，則indexW(A,(0，0，0))=0；

(iii) 設(shè)r1>λ1。若r2<Λ,r3>λ1，則indexW(A,(Θr1,0，0))=0；

(iv) 設(shè)r3>λ1。若r1>λ1，則indexW(A,(0,0,Θr3))=0；

下面計(jì)算A在P1的指數(shù)。結(jié)合引理4用類似于文獻(xiàn)[19]的方法有

引理5 若r1>λ1,r2<Λ,r3+b2>λ1, 則indexW(A,P1)=0。

由引理4、引理5和度的可加性得系統(tǒng)(2)正解的存在條件。

這里ν∈[0,1]。顯然系統(tǒng)(2)有非負(fù)解當(dāng)且僅當(dāng)A1在D中有不動(dòng)點(diǎn)。

令D1=DDδ。由引理1可知Aν在?D1上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)。于是根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的同倫不變性可知indexW(A1,D1)=indexW(A0,D1)。顯然A0在D1內(nèi)有不動(dòng)點(diǎn)(0,0,0),(Θr1,0,0),(0,0,Θr3)。用Dancer指數(shù)定理易證得在已知條件下A0在平凡解和半平凡解處的指數(shù)都為0。于是，indexW(A1,D1)=indexW(A0,D1)=1。最后結(jié)合引理4和引理5得

indexW(A1,D1)=

indexW(A1,(0,0,0))+indexW(A1,(Θr1,0,0))+

indexW(A1,(0,0,Θr3))+indexW(A1,P1)

這表明系統(tǒng)(2)在DDδ內(nèi)至少有一個(gè)正解。

圖1 系統(tǒng)(2)正解可能的分歧曲線(a) 定理2條件下；(b) 定理4條件下Fig.1 Possible bifurcation diagrams of positive solutions to system (2)(a) under the conditions of Theorem 2;(b) under the conditions of Theorem 4

2 正解的唯一性和穩(wěn)定性

這一節(jié)考察當(dāng)d充分大時(shí)系統(tǒng)(2)正解的穩(wěn)定性和唯一性。我們注意到當(dāng)d充分大時(shí)，系統(tǒng)(2) 的正解只有一種類型。也就是說(shuō)，如果(u,v,w)是系統(tǒng)(2)的任意正解，則對(duì)于充分大的d，(u,dv,w) 接近于如下問(wèn)題的正解:

(6)

如果r1>λ1，則問(wèn)題(6)等價(jià)于

(7)

首先，我們給出系統(tǒng)(7)正解非退化和線性穩(wěn)定的條件。

證明假設(shè)χ是系統(tǒng)(7)的正解，則由系統(tǒng)(7)可得

(8)

接下來(lái)，證明系統(tǒng)(7)任意正解的穩(wěn)定性。假設(shè)χ是系統(tǒng)(7)的任意正解?？紤]如下特征值問(wèn)題

x∈Ω;

(9)

由(9)得

于是唯一性得證。

又因?yàn)閣i≥Θr3， 所以考慮如下兩種情況：

(i) 如果v≡0。則(ui,vi,wi) 接近于(Θr1,0,Θr3)，與假設(shè)矛盾；

(ii)如果v≥0,?0,w>0。由Harnack不等式得v>0。于是h=0,v≡0。同情況(i)與假設(shè)矛盾。

這表明

‖u-Θr1‖C1+‖v‖C1+‖w-Θr3‖C1≤σ

成立。

x∈Ω;

(10)

設(shè)divi=χi。則χi滿足

(11)

x∈Ω;

(12)

；

最后給出系統(tǒng)(2)正解的穩(wěn)定性和唯一性條件。

(13)

(14)

(15)

由式(15)的第一和第三個(gè)方程得ξ≡0,ζ≡0。如果η?0，則由式(15)的第二個(gè)方程可得

此矛盾表明系統(tǒng)(2)的任意共存解(如果存在) 是非退化和線性穩(wěn)定的。

1=indexW(A,D)=

這表明系統(tǒng)(2)存在唯一正解。

3 結(jié) 論

本文在齊次Robin邊界條件下考察了一類擴(kuò)散食物鏈模型共存解的存在性、多解性、穩(wěn)定性和唯一性。研究結(jié)果表明當(dāng)捕食者間的相互干擾度不強(qiáng)且物種v的死亡率在一定范圍內(nèi)時(shí)，三物種出現(xiàn)多重共存態(tài)；當(dāng)捕食者間的相互干擾度非常強(qiáng)且物種v的死亡率不超過(guò)某臨界值時(shí)，三物種出現(xiàn)唯一的穩(wěn)定共存態(tài)。

[1] WANG M, WU Q. Positive solutions of a prey-predator model with predator saturation and competition [J]. J Math Anal Appl, 2008, 345(2): 708-718.

[2] WEI M H, WU J H, GUO G H. The effect of predator competition on positive solutions for a predator-prey model with diffusion [J]. Nonlinear Analysis, 2012, 75(13): 5053-5068.

[3] DONG Q L, MA W B, SUN M J. The asymptotic behavior of a Chemostat model with Crowley-Martin type functional response and time delays [J]. Journal of Mathematical Chemistry, 2013, 51(5): 1231-1248.

[4] LIU X Q, ZHONG S M, TIAN B D, et al. Asymptotic properties of a stochastic predator-prey model with Crowley-Martin functional response [J]. Journal of Applied Mathematics and Computing, 2013, 43(1/2): 479-490.

[5] 李海俠, 李艷玲. 一類帶有Crowley-Martin反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型的定性分析[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2014, 53(5): 66-72.

LI H X, LI Y L. Qualitative analysis for a predator-prey system with Crowley-Martin functional response [J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2014, 53(5): 66-72.

[6] MENG X Y, HUO H F, XIANG H, et al. Stability in a predator-prey model with Crowley-Martin function and stage structure for prey [J]. Applied Mathematics and Computation, 2014, 232(3): 810-819.

[7] LI H X. Asymptotic behavior and multiplicity for a diffusive Leslie-Gower predator-prey system with Crowley-Martin functional response [J]. Computers and Mathematics with Applications, 2014, 68: 693-705.

[8] ZHOU J. Qualitative analysis of a modified Leslie-Gower predator-prey model with Crowley-Martin functional responses [J]. Communications on Pure and Applied Analysis, 2015, 14(3): 1127-1145.

[9] LI S B, WU J H, DONG Y Y. Uniqueness and stability of a predator-prey model with C-M functional response [J]. Computers and Mathematics with Applications, 2015, 69(10): 1080-1095.

[10] DONG Y Y, LI S B, LI Y L. Multiplicity and uniqueness of positive solutions for a predator-prey model with C-M functional response [J]. Acta Applicandae Mathematicae, 2015, 139(1): 187-206.

[11] TRIPATHI J P, TYAGI S, ABBAS S. Global analysis of a delayed density dependent predator-prey model with Crowley-Martin functional response [J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2016, 30(1/2/3): 45-69.

[12] WONLYUL K, KIMUN R. Qualitative analysis of a predator-prey model with Holling type II functional response incorporating a prey refuge [J]. J Differential Equations, 2006, 231(231): 534-550.

[13] YI F Q, WEI J J, SHI J P. Bifurcation and spatiotemporal patterns in a homogeneous diffusive predator-prey system [J]. J Differential Equations, 2009, 246(5): 1944-1977.

[14] PENG R, SHI J P. Non-existence of non-constant positive steady states of two Holling type-II predator-prey systems: Strong interaction case [J]. J Differential Equations, 2009, 247(3): 866-886.

[15] SAMBATH M, GNANAVEL S, BALACHANDRAN K. Stability and Hopf bifurcation of a diffusive predator-prey model with predator saturation and competition [J]. Applicable Analysis, 2013, 92(12): 2439-2456.

[16] KUANG Y, BERETTA E. Global qualitative analysis of a ratio-dependent predator-prey system [J]. J Math Biol, 1998, 36(4): 389-406.

[17] 姜洪領(lǐng). 一類蜘蛛-昆蟲(chóng)模平衡態(tài)正解的存在性[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2016, 55(3): 64-67.

JIANG H L. The existence of steady-state positive solutions for a spider-insect model [J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2016, 55(3): 64-67.

[18] WU J H. Global bifurcation of coexistence state for the competition model in the chemostat [J].Nonlinear Analysis, 2000, 39(7): 817-835.

[19] LI H X, LI Y L, YANG W B. Existence and asymptotic behavior of positive solutions for a one-prey and two-competing-predators system with diffusion [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2016, 27: 261-282.

Multiplicityanduniquenessofpositivesolutionstoadiffusivefood-chainmodel

LIHaixia

(Institute of Mathematics and Information Sciences, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji 721013, China)

A food-chain system with Crowley-Martin functional response is studied. By making use of the global bifurcation theory and degree theory, the existence and multiplicity of positive solutions are discussed and the basic shape of bifurcation curve of positive solutions is obtained. Moreover, the conditions of the uniqueness and stability of positive solutions are given by means of perturbation theory. It turns out that there exists a unique asymptotically stable positive solution under certain conditions whendis sufficiently large.

Crowley-Martin functional response；bifurcation; perturbation；multiplicity；uniqueness

O175.26

A

0529-6579(2017)05-0051-09

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.05.007

2016-09-19

國(guó)家自然科學(xué)基金(11501496,11401356)；陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃(16JK1046)；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃(2014JQ2-1003)

李海俠(1977年生), 女；研究方向偏微分方程計(jì)算及其可視化；E-mail: xiami0820@163.com